Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если пренебречь переходами между различными орбитальными состояниями электронов, а также образованием полярных состояний (когда в состоянии с данным Л находится больше одного электрона с о= +'/2 или †'/2), что выражается условием гомеополяр- ности то (2.12.1) упрощается и принимает вид 1 ч"2 Н= Е,— — ~; /(/2Л2! 12Л2) а1,ци, а11,„и,а1,р„„,а;,>,„„, 2 Ь' 1323221рь (2.12.2) где / (/~Л,; /~Л~) — $'(/~Л~,' /~Л2; /2Л2! /2Л2)— обменный интеграл между состояниями /!Л! и /2Л2.
Кулоновское самовзаимодействие мы отс!ода исключили: /!Ф/2, Поскольку орбитальные переходы считаются запрещенными, то единственными динамическими переменными являются спнновые переменные, поэтому гамильтониан (2.12.2) можно выразить только через операторы спиноз. По Боголюбову (см. 1481), эти операторы связаны с операторами а" и а соотношениями х 1 + +! 512= — (а ! а !+а ! а !), 2 12- — Р+ — Р+ — 12 — — ' 2 2 2 2 5~~= — (а+, а ! — а+ ! а !), 2 Р+ — Р.— — 1! — Р+— 2 г 2 г ф„= ! (а+ ! а ! — а+ ! а ! ). (2.12.3) 2 1й — — 12 — — В+ — Р+— 2 2 2 2 Справедливость (2.12.3) доказывается проверкой соотношений коммутации. Докажем, например, что -и гху ! /-+ ар.э!2= — !а ~ а ! а ! а 4 Р— — 12-!.
— ГХ+ — 12 —— 2 2 2 2 -+ + + + — а ! а ! а ! а ! + а ~а ! а ! а+ , а 1 — — Р+ 12- — 12+ — ' 12+- 12+ — 12 — — 12+ — ' 12- — ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (и, (1 — и, ) — п, (1 — и, )) = — 51ы (2.12.6) 4 12 — — ' Р.+ — 1ь+— Р„' 2 г 2 2 2 Аналогично получаем, что т. е.
справедливость (2.12.4) доказана. Из (2.12.6) и (2.12.6) следует также, что 3$$12+3125К =О. Аналогичным образом можно проверить все соотношения коммутации для операторов спина. Используя (2.12.4) и условие гомеополярности, можно получить ряд полезных соотношений, связывающих Ферми-операторы вторичного квантования и спиновые операторы: + 1 х . р ! а и = — (512 -- 151'ь) = — 51', — — 1ЗЬ+ — 2 2 2 + 1 -х .-р 1 а ! а у = — (5гх — 1512) = — 5Р, (2.12.7) 1, 2„+ — 12 — — 2 2 г где 51' и 51 носят название операторов повышения и понижения спина соответственно.
Заменим теперь произведение Ферми-операторов а в гамнльтониане (2.12.2) на операторы спина. Мы получим четыре члена в Н, придавая а значения ( +-'/г). Заменяя их на операторы спина из (2.12.7), получаем для Й следующее выражение: у = Ео ~,«(1»х»; 1»ьз) ((1 — ' 5«,~„) (1 + «,» ) —, «Р Ф«зь (ф 13~««,) (3«,». — 3«д.) —,— (5«д, 1®ы)(5«и~ ~ «~х) Я „) (1 3«» )) — 1/и ~~) *,~(1»А»~ 1») з) (86«.,3«д,) 6ЬФЮ* (2.12.8) где Г, не зависит от операторов спина.
Чтобы из (2.!2.8« получить обменный гамильтониан, разобьем сумму в (2.12.8) на две части; первая относится к взаимодействиям между атомами 1«Ф1», а вторая — внутри атомов (1«=1»): Й= (7 — »1~ У(1,).»; 1хл ) (3«,»,5«д,) — ~~)~,)(1л»; 16 )3««„3«ы. бе~6 м,», мФ3 (2,12.12) 8« = '~ 8«ы а именно Я = (р; — ~', у (1.1 ) 8«.8«:.
«юФЬ Это выражение с точностью до обозначений совпадает с гейзенберговским гамнльтонианом (2.3.22); этим продемонстрирован приближенный характер его. Метод решения задачи с гампльтонианом (2.12.13) состоит в том, что после перехода и новым операторам вторичного квантования форма операторов 12.12.2) из физических соображений сводится к бинарной и затем диагонализуется. Используем пре- (2.12.13) 162 (2.1 2.9) Введем еще два предположения. Первое — интегралы обмена между узлами слабо зависят от орбитальных состояний, т.
е, У(1»6„1,хз) = /(1» 1») (1»~1») (2.12 10) и второе — обменная связь электронов внутри атомов (хундовская связь) заметно больше межатомной связи, т. е. ~ 1,(1)«,, 1А) ()> 7(1»л»; 1,л,) (1» ~1). (2.12.11) В силу (2,12.11) можно пренебречь операторным характером последней суммы в (2,12.9) и считать ее постоянной величиной. Считая также обменные интегралы У(1«),6 1злз), не зависящими от орбитальных индексов, можно выразить гамильтониан (2.12.9) через операторы суммарного спина электронных незамкнутых обо- лочек образование Холстей«»а — Примакова и покажем, что в области низких температур обменный гамильтониан можно представить в виде О= ~Е»пы где Ех — энергия спиновой волны, а и» вЂ” число возбужденных спиновых волн с данной энергией Е«,.
Компоненты векторного оператора спина удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям: 3«3«г — 3«6 5« — 15«бп о~3*,. — 3;.3; = »3«" б««„ 3«5«" — 3«'3« = !Ц бц, где 1 — номер узла решетки. Квадрат оператора спина имеет собственное значение 5(5+1), а его х-компонента может принимать только 25+! значение в представлении, где 5, диагонален. Это дает следующие соотношения: 3«5« = 5(5+ 1) П (3«г) = О. (2.12.16) Из (2.12,14) и (2.12.16) следует, что 3» 3+ = 5 (5+ 1) — 5,* — (5,*)', 3,"5-, = 5!5 — Ц-- 5,* — (5))'. (2.12.17) Для случая 5 = 112 из (2.12.17) имеем 1 г — — 1) 3,"3; .= ( 1) О, 5, =- — —; + е 5«5« = и«, где п = — 0 или 1. Для оператора момента количества движения известны следую- щие формулы: 3-фэ(о) = ~(5-«- о) (5 — о-- 1)»рз(о — 1), 5,»рз(о) = о»рз(о), (2.12.18) (2.12,19) (2.12.20) 163 Вместо операторов 3«(а= х, у, г) введем операторы 5« =5«'-»-15~. 5«, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям 3)ь3~ — 303«" = 2У~ б«гь 3«*5« — 3«3«~ = ~ 3«ьб«« .
(2,12.16) в+ (25)ид/1 ~ ~ ) ~ Ь„ (2.12.25) и аналогично для 31 можно получить 5 — (25)иаьг-11 ! )'' (21225.) Преобразования (2.12.25) были предложены Холстейном и Примаковым [49]. Полный гамильтониан системы в присутствии однородного внешнего поля Н вдоль оси г и при учете только ближайших соседей может быть записан в виде У (Гд 1 ~ 5д31ч-д 2)ддН ~ $~!> (2, 12,26) где Х вЂ” обменный интеграл для ближайших соседей, вектор 9 соединяет атом !' с его ближайшими соседями, р,— магнитный момент атома. В основном ферромагнитном состоянии системы (решетка из М атомов) имеем а — текущая координата г-компоненты спина, 5 — максимальное значение з-компоненты спина. Введем оператор спинового отклонения а! — — 5 — 51, (2.12.21) собственное значение которого 5 — а= — и .
Далее получаем 5 -д- а -,'— 1 = 5 — , '(5 — и ) + 1 = 25 (1 — и ~25), (2. 12. 22) Й+~дрз(5 — п~) = (и!25(! — и!~25))пздрз(5 — и + 1), (2.!2.23) обозначим фз(5 — и1) через д)з(и ), так как 5 — просто число, а не переменная; тогда 5~' фз(п ) = (25)пап~~~~(! — и д25)пддрз(и — 1). (2.12.24) Оказывается, что пд можно считать Бозе-числами заполнения, которые можно выразить через операторы вторичного квантования рождения и уничтожения одного кванта спинового отклонения. Подставляя А+51 —— и1 в формулу (2.12.24), где Ь+ и Ьд удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям (2.11.18), полу- чаем Будем вычислять отклонения от этого основного состояния.
Для этого в (2.12.26) заменим спиновые операторы на операторы вторичного квантования с помощью подстановки (2.12.25). При этом мы вводим много нефизических состояний. Оператор числа базанов п; имеет произвольно большие собственные значения, в то время как 5,=5 — иг принимает только (25+1) значений (от — 5 до +5). Нефизические состояния не будут вносить ошибок в области низких температур, когда число <иу> мало.
Параметром малости является величина пд~25<<1. Перед подстановкой (2.12.25) в (2.12,26) разложим квадратные корни в ряд и перейдем к Фурье-компонентам операторов Ьд+ и Ьь а именно: Ь~ = Мнз~[ ехр(1йЯ Д+, Ь1 — — Мнз'~ ехр( — (йй )$, (2.12,28) где Ь вЂ” волновые векторы в первой зоне Бриллюэна. Перестано+ вочные соотношения для Вь и 5д такие же, как для бозевских операторов рождения и уничтожения ИФ вЂ” ~ь$а — — бм, ЪД' — й5,= Ь+Ъ+ — К+А+=9. При получении этих соотношений учитываем, что ~'ехр((А — Ь')дс = Мб„,. (2.12.29) Для 5) имеем после преобразований точную формулу Я= 5 — Ьг+Ь = 5 — М вЂ” '~~~'ехр[Е(А — Ь') й~] Ц+~$ .
(2.12 30) Можно подсчитать оператор полного отклонения спина решетки М5 — ~.'51=~ Ь~16 = ~[. (М вЂ” ')ехр[1(й — й')А']$~+Ц = Е Ькв' =~ь'ь=~ ., (2.12.31) (2.12.27) 165 164 Д. 8 )'= М5(5+ 1), Я (51) ™5. при вычислении используется соотношение (2.12.29). Из (2.12.31) видно, что величину 5+ $, можно рассматривать как оператор числа заполнения состояний Й для ферромагнонов (спиновых ВОЛН). Для 5+ и 5 — получаем приближенные формулы 5-=(25)пг[Ь,— (Ь+Ь,Ь,)145-Е ...[= = (25)'~» Д ехр(йй»Д» — (4М5)-' ~ ехр[1(Ь вЂ” Ь' — Ь"))7 ] й»Д», ~».~, » »»»" 5 = (25)"" (Ь+ — ф~+31~Ь1)/45 + ° .. ) =- (25) пг ~ ~~~' ехр ( — лЯ+†(4Н5) — ~ '[, ехр [1(Ь+ Ь' Ь") Н,ДД»+$».~. (2,12,32) Используя (2.12.30) и (2.12.32), можно выразить гамильтониан (2.12.26) через Бозе-операторы ~»+ и $»: ' ".=--'~"-=-'~Х"'- —,'"'" ''Ч= ы ~е ( 1 + »~[ = — ! (5 — п1)(5 — и1+е) —, — (Ь! Ь!+е, Ь1 Ь1+е)~ + ...
= 2»1 + 75~~[(Ь~ Ь ) —.-' Ь|+е Ь1+е[ ~~(Ь1Ь1+е + Ж Ь|+е) 1-Я» 1+е Аналогично ~,"Ъ+Ь,+, = ~[, ехр( — (АД»+в»= ~ т- »ь»ь»»+ (2 12 36) е» » где 2 у» = ~ ' ехр (Йд), е 1 (2.12.37) (2.12.33) де в Я, включены все члены более высокого порядка по л1. Рассмотрим отдельные члены в (2.12.33): '~,(Ь! Ь вЂ”, Ь1++еЬ1+е) = 2г~ $»' ~», (2.12.34) ~.'..,,-= — 'У Ъ' Ь Ь~1, е = — — — У Ъ~ ехр ( й'Я1) ехр й (Я + д) ~Д»+ = 1 1 —,е м 1е ы — У ~1~~ехр1(Ь вЂ” Ь') й ехр(йе)) Ц»+ = ~~ ~~~ ехр (й)) Я».6»», = У.~.~ е,»»' е» = э ехр Йд Я~~ = ~~1, АД»~, (2.12.36) Если кристаллическая решетка имеет центр симметрии, то где Е» — — Я»а» = 21г5 (1 — г») — , '2р»Н, + л, =-в» 4». (2.12.39) ,1(ля малых волновых векторов спиновых волн, т.
е. при условии Ьд«1, величину у» можно разложить в ряд и получить 2г (1 — у») см Е (Ьд)', (2.12.40) е откуда следует квадратичный закон дисперсии для спиновых волн Е» = 2)»»Н 'г )5~(Ь»?)», (2.12.4!) который, как показано в 3 2 4, приводит к закону Блоха для тем- пературной зависимости самопроизвольной намагниченности ~»т ~м (2. 12. 42) Если в разложении (2.12.40) учесть члены более высоких степеней, то в формулах для 7,(Т) появятся члены, содержащие более высокие степени по Т: Тч~», Тпв и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
