Krinchik-GS-Fizika-magnitnyh-yavlenii (1239154), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Дальнодействующий и осциллирующий характер косвенного обменного взаимодействия между 41-ионами позволяет понять сово- купность специфических магПку нитных свойств редкоземельных металлов (РЗМ), а также ко магнитных аномалий их немагнитных характеристик. Первым обобщил теорию РККИ для РЗМ де Жен [46). В РЗМ интегралом движения является не полный спин атома 5„, а полный момент 3„=5„+(.„. Поэтому де Жен предложил заменить З„в (2.10.7) егопроекцией на 2„, которая равна Ркс. 2.32 (д — 1) Л„. Тогда вместо (2.10 7) получаем 2уа1 = — 2(п — 1) ~' 7с1 (1'1 14а) (3'За)- (2 10 26) г» Оач гг оОО 25О УОО Рпс. 2.33. Парамагкпгпап точка Кюри Огьч как фуккппк атомного номера редкоземельного металла.
1 — опорная точка длк Осе. 2 — рассчитанные значения О пм по формуле 12.10.27), 8 — соогаегсгауюпгпе эксперкмекталькые зпа- чеккп сзпьг ХО Используя гамильтониан (2.10.26) в теории молекулярного поля, можно найти точку Кюри для РЗМ: 154 сс зп [ пс ) 1 (~ 1)з 1(г 1 1) ~Ч~~ Е(2йп)7а) (2,10.27) а=е Явное вычисление суммы дает, как правило, 0)0. Вслп считать, что различные РЗМ отличаются друг от друга только значениями й' и Х, а остальные параметры, входящие в (2.10.27), считать постоянными, то можно найти 9 для всех редких земель.
Де Жен потребовал, чтобы точка Кюри гадолиния совпадала с экспериментом. При этой нормировке был построен график О для всех РЗМ (рнс. 2.33). Как видно, наблюдается хорошее согласие экспериментальных и теоретических значений. Осцнллирующнй характер косвенного обмена через электроны проводимости в РЗМ приводит к появлению в них спиральных геликондальных или синусондальных атомных магнитных структур (см. $4.6). $2.11. МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ В настоящем параграфе кратко описан математический метод, известный под названием метода вторичного квантования [47).
В методе вторичного квантования совершается переход к новым переменным — числам заполнения, которые определяют число частиц, находящихся в данном квантовом состоянии системы. Этот метод требует введения операторов, действующих на числа заполнения, операторов рождения и уничтожения частиц в данных квантовых состояниях. Пусть задана система из й1 тождественных частиц. Волновая функция такой системы (в случае статистики Ферми) может быть получена ($2,4) в виде линейной комбинации слетеровскнх детерминантов, построенных из одночастичиых функций электрона в изолированном атоме ф„, (дг), т. е.
любая волновая функция может быть представлена в виде ф„(д„...,с)м) = ')" а(а„а„..., ам)фа,, „„(дг,, Ом) сс,...аа (2.11.1) где фаь...о (г)г с 1)м) = (йс)) )' ( ' 1)афас(17г) фа,(г)з) ° ° (2.11.2) Суммирование производится по всем У! перестановкам, и все одиочастичные состоЯниЯ аь аз, ..., ам Разные.
Множитель ( — 1)и показывает, что нечетные перестановки входят в сумму (2.11.2) со знаком «минус». В силу тождественности частиц не важно, какая частица находится в данном одночастичном состоянии, а важно знать только, занято данное состояние или нет.
Поэтому можно 155 ф (д),..., дх) = ~,"а(..., п.„...))р,„.. ()1„..., г!и), ла (2.11.3) где суммирование производится уже по всем наборам чисел заполнения и, каждое из которых в случае Ферми-частиц может принимать значение 0 нли 1. Представление волновых функций в виде (2.11.3) называется представлением вторичного квантования, а функции от чисел заполнения а (аа па, ...) называются волновыми функциямп в представлении вторичного квантования. Аналогичным образом в случае статистики Бозе волновая функция системы !)) тождественных частицможет быть представлена в виде 'Ф (Ч)' ' ' ', ))и) = ~~~) ~а (..., па, ...) ф , „а (!!д, ..., (2.11.4) где (»)! ~ ~~),)фа ()!!) фа.
(М... (2.11.5) л симметризованное произведение одночастичных функций, а(ла и, ...) — волновые функции в представлении вторичного квантования, числа заполнения и могут принимать любые целые положительные значения, а Хп„= 1т'. Если волновые функции в (2.!1.2) и (2.1!.5) ортонормированы, то . ° ') ') ~ "Ч Ь = ~ ~ о (..., и„...) ~'-', (2.11 6) следовательно, величину (а(..., и, ...) !' можно интерпретировать как вероятность пребывания системы в состоянии, характеризующемся данным набором чисел заполнения (..., па, ) одночастнчных состояний. Установим теперь соотношения, по которым операторам в координатном представлении сопоставляются соответствующие операторы в представлении вторичного квантования для Ферми-статистики. Пусть г)!) есть некоторый симметричный по всем частицам оператор вида Р = ~), )"а, а (2.11.7) 156 пронумеровать волновые функции с помощью чисел заполнения и при дополнительном условии, что "и =М, и представить волновую функцию системы в виде 1) ...ла... лн) диагональные (Р )'".а'" ='~) -О) ),о Н1) недиагональные (Г )К!» = ~) и ' » где берется знак плюс или минус в зависимости от четности обего числа частиц в состояниях, находящихся между 1- н Й-состояниями (все одночастичные состояния а), ..., ам пронумеров фиксированной последовательности), а ))») = ~ф.',И) Р' ф.,Ф й).
(2.11.9) Введем операторы а! с матричными элементами ! — ! ~Р л! -О +! 11 а'=а! 1=( — 1) 11 а! (2.11.10) С помощью этих операторов можно записать г!ц= ~~ 7)па+а !» (2.11.11) Действительно, матричные элементы этого оператора совпадают с (2.11.8). Это и есть представление оператора Р)1) в представлении вторичного квантования. Оператор а! ('а!) носит на ратора рождения (уничтожения) частиц, так как, действуя на функцию от чисел заполнения ф(п!), он увеличивает (уменьшает) на единицу число частиц в состоянии 1: ! — 1 л! о!)В(п!)= ( — 1)'=' б(п;)!р(п! — !), ! — ! л! а!+ф(п!) = ( — 1)'=' 5(1 — п)ф(п! пс 1). (2.! 1.12) Из (2.11.12) видно, что действие оператора и! на функцию с п»=0 дает нуль, это означает, что нельзя уничтожить частицу в незанятом состоянии.
Действие Ферми-оператора а!+ на функцию с аргументом п»=1 также равно нулю в соответствии с тем, что в данном состоянии не может находиться более одной Ферми-частицы. 157 где )'!') — оператор, действующий только на функции от да. Такой оператор, действуя на функцию ф„,а,, переводит ее в ту же самую функцию либо в другую, соответствующую изменению состояния одной из частиц. Ввиду этого матричные элементы г)!) по функциям (2.11.2) имеют вид (а~~ь, й/) = а»+ а/+ а а+ = бс, (а,а/)= (а/+ас ) = О, а+а, = лс. (2.11.13) Таким образом, Ферми-операторы вторичного квантования являются антикоммутирующими. Аналогичные операторы рождения и уничтожения частиц могут быть введены и в случае частиц, подчиняющихся статистике Бозе.
Матричные элементы Р<» по функциям (2.11.4) в этом случае имеют вид: диагональные (г'~>) "',"""' = ~ ' !»»> л, т ЯЕДИаГОНаЛЬНЫЕ (ЕП>)„"Ста „' = (1»1> )с'П,Л . с — 1 ~ь Оператор Е»» можно представить в виде (2.11.11), если ввести операторы Р» которые уменьшают на единицу число частиц в состоянии с и имеют матричные элементы фс)„"' '=[/йп (2.1!.15) (2.11.14) и операторы ~с~, которые увеличивают на единицу число частиц в состоянии с и обладают следующими матричными элементами: Фс')."с > = [(Р,)„"~ ['=Улс.
(2.1! .16) Действуя последовательно операторамп а~с и а» на некоторую функцию от чисел заполнения ф(л»), легко получить перестановочные соотношения: (двухчастичный оператор 7,'~ действует на функции от с!а и»/) имеет вид гп>= ~~, /сьс п~ йс йсйт (2.11.20) см (статистика Ферми), (2.1! .21/ Е»В = ~;"/сь>.Р; Р ГЧР. »йст (статистика Бозе), где /»тст = ) >рс (с/») фь(с/») /» фс (с/>) фт(с/а) с/с/»с/»!з.
Гамильтониан, интересующий [нас, при учете только парных взаимодействий г>с= — — ~ А/-!- Ч'»с(г/ — 11»)+»>> )с(г/, г/), ! ц /т/' г — радиус-вектор !-того электрона, Кс †фиксированн радиус-век> тоР 1-того ЯдРа, может быть записан чеРез опеРатоРы ас в виде Н= '~ Ноас а„+ ~! )>[7, ас+аазпса, (2.11.22Т м сьст где Н»П = — — Ас +»с (гс). 2т Согласно формулам (2.11.15) и (2.11.16) произведения р+ и рс представляют собой диагональные операторы р+; рс = ли рс рс~ = л, —;-- 1, (2.11.17) и далее можно получить перестановочные соотношения для опера- торов рс: (2. 11.18) аь 158 Р Ж 1=- Р ~" — Ф/ 1; = бс/, [Р»Р/[= [р+ [)+[= О. Таким образом, Бозе-операторы вторичного квантования коммутируют. На языке вторичного квантования симметризованный оператор гсз> ~ а И> (2.11.19) Если в качестве ф» выбраны собственные функции гамильтоииана Нь то первый член в (2.11.22) равен сумме энергий одночастичных состояний Й»'> = ~~)~ Е,ас ас = ~' Ес/>сс.
с (2.1!.23г й ЗЛ2. ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН ПО МЕТОДУ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ Рассмотрим кристалл, в узлах (с радиус-вектором !) решетки которого находятся атомы с незамкнутой электронной оболочкой. Пусть между электронами оболочки действует рассел-саундерсовская связь, поэтому атому в целом можно сопоставить спиновое квантовое число и и орбитальное А, Тогда в представлении вторичного квантования гамильтониан системы можно записать, учитывая ортогональность спииовых функций, в виде 159 (512, 5Ц =15!2. (2.12.4) Вычислим: + х — а !а !а',а !)= 12+ — 12 — — Р.— — 12+ 2 2 2 ~ й1222П122 = 1 а (2.12.6) + 1 а ! а ~ = — (1 — 5)'2); 1д, + — 1пи+ — 2 г а а =- — (1 —,51), 161 б г.
с. Криииии 160 8= ХН!!!(/Л, /'Л')а~ма! 2 -1- — 22 р (/2Л2 /222! 6Л! 12Л2) й! ми п1ггви й!'х'и 1 х и 2 ! 1~ 22' Первое слагаемое в (2.12.1) (бинарная форма операторов вторичного квантования) легко диагонализуется с помощью преобразования Фурье-операторов а- и а (см. ниже), и мы должны получить результат одноэлектронной теории металлов Е= ~" Еьпии причем собственными функциями гамильтониана Нсо будут блоховские функции (см. 2.11.23). Нас будет интересовать второе слагаемое, учитывающее взаимодействие электронов и обусловливающее появление ферромагнетизма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
