Borovik-ES-Eremenko-VV-Milner-AS-Lektsii-po-magnetizmu (1239152), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В 1930 г. Л.Д. Ландау показал, что диамагнитный момент возникает даже в случае электронного газа, подчиняющегося классической статистике. Дело в том, что при движении электронов в магнитном поле имеет место своеобразный эффект квантования, при котором квантуется движение электрона, перпендикулярное полю. Остановимся на этом вопросе подробнее.
Определение восприимчивости для вырожденного электронного газа математически сложно, поэтому рассмотрим сначала восприимчивость электронного газа с распределением Больцмана, а затем попытаемся учесть влияние вырождения. В рассматриваемом случае статистическая сумма имеет вид О(Т,Н) = 2 д,е к'7(~т1 и магнитный момент вычисляется по '~пар (6.1 !) 2 Ео Формула (6.11) отличается от формулы (4.9) для восприимчивости идеальных парамагнетиков тем, что в ее знаменателе вместо тепловой энергии йТ стоит граничная энергия Ферми Ео.
Поскольку Ео » йТ, восприимчивость металлов должна быть меньше восприимчивости идеальных парамагнетиков. Второй важной особенностью металлов является отсутствие зависимости их восприимчивости от температуры. Дело в том, что функция распределения у вырожденного газа от нее почти не зависит. Следует отметить, что при более точном вычислении, с учетом изменения функции распределения с температурой, в формуле (6.11) возникает небольшой поправочный член, зависягций от Т. Магнитные свойства свободных электронов не исчерпываются спиновым парамагнетизмом. Оказывается, они обладают и диамагнитными свойствами. /л.
б. Магнитные свойства металлов 78 Е~ = 2 1+ — Ьии = 2 Н 1+ — =-2рпН 14 — . (612) Таким образом, энергия движения электрона перпендикулярно полю квантуется. Энергия его движения вдоль поля изменяется непрерывно и, если поле параллельно оси У, равна рз,г(2т). Полная энергия электрона составляет Е = — '+ 2рвН~1+ -(. = Р' 7' 2т 27 (6.13) Теперь для вычисления статистической суммы нужно определить число квантовых состояний, отвечающих данному квантовому числу 1 и интервалу г(р, изменения р,.
Поступим следующим образом. Выделим в пространстве импульсов объем в виде кольца с внутренним радиусом р (рнс. 6.3). ПлосР кость этого кольца параллельна плоскости р,„рю так что р = р~ +р~, его с1Р, толгцина" -"-' с(р, высота — с(ре. 6бъем кольца равен 2ярс(рс(1э„ а число квантовых состояний, отвечающих этому объему в пространстве импульсов, согласно формуле (6.1) составляет = 2г' Рнс. 6.3 Форма элемента объема в пространстве им- пульсов Выберем толщину кольца г(р так, чтобы она отвечала изменению 1 на единицу. Нужная величина получается из следующих простых преобразований: — = Š— — ' = 2рпН~1+ — ~; йта 2т ( 2 ~' если сз( = 1, то рс(р = 2рвН, откуда число квантовых состояний еН а; = 2(л —,г1р,.
сн (6.14) формуле (2.25): йй = ХВТ вЂ” О(Т,Н). Электроны в магнитном поле НУ движутся по кругу с частотой ин = сН7'(4яптс). Круговое движение можно рассматривать как сумму двух линейных гармонических колебаний по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Принципы квантования гармонического колебательного движения известны. Энергия осциллятора равна (1+ 1)2))йин, где 1 целое число.
Каждому квантовому числу 1 соответствует два колебания вдоль взаимно перпендикулярных направлений. Следовательно, энергия 79 б 3 Диамагнетизм свободных электронов Учитывая непрерывность изменения ре, при составлении статистической суммы суммирование по р. следуе~ заменить интегрированием. В результате имеем в-ао О[Г,В)=т ) гг,",~в ~ ( )О ) '.О»11 ~=о Ьс еЪ'Н ьгБтИ' 2 вЬ (рвН7(И')) Отсюда магнитный момент единицы объема 1 = ДгкТ вЂ” „Н 1пО(Т, Н) = -Дг~рв сб!т Р~~, — . (6,16) рвН Нетрудно убедиться, что этот результат, т.е.
отличная от нуля магнитная восприимчивость, получается лишь при квантовании движения электронов в магнитном поле. Действительно, если в пределе перейти к классическому случаю, т.е. 6 — О, то величина рв в формуле (6.16) будет стремиться к нулю; тогда в соответствии с теоремой Ван ЛевенТерлецкого формула (6.16) даст 7 = О. двН В обычных условиях,, « 1. Поэтому можно разложить входя- рвН щую в (6.16) величину с$Ь,, в ряд и ограничиться первыми членами разложения. В результате получаем 1 Нрв ма и а ив (6.17) Таким образом, газ свободных электронов обладает как парамагнитной, так и диамагнитной восприимчивостью.
Однако полученная нами формула (6.1?) относится к невырожденному газу свободных электронов, имеющему классическое распределение Максвелла — Больцмана. Попытаемся использовать ее для определения диамагнитных свойств вырожденного газа. Хотя в классической формуле для статистической суммы и учитывается квантование энергии, в ней не принимается во внимание запрет Паули. Это естественно, поскольку при достаточно высокой температуре в любом интервале энергии имеется большое число свободных, не занятых электронами квантовых состояний.
При низкой температуре все квантовые состояния практически вплоть до граничной энергии Ео заняты; поэтому н магнитное поле не может изменить функции распределения электронов. Только в узкой (порядка (гТ) полосе энергий вблизи Ео электроны занимают лишь часть квантовых состояний. К этим электронам можно применить формулу (6.17). Их число в единице объема, и,', составляет лишь малую долю от общего числа электронов и, и по порядку величины может быть оценено как ЗИУ2 п =и Ео Гл. б. Магнитные свойстви металлов 80 Если мы хотим использовать формулу (6.17) для вычисления свойств вырожденного электронного газа, то мы должны считать, что входящее в нее число Аг равно числу электронов и', находящихся в полосе энергий шириной порядка энергии теплового движения.
Подставив полученное выражение для и' в (6.17), находим 1 пдв и Лиьм о (6.18) Разумеется, наш грубый вывод не может гарантировать правильность численных коэффициентов в (6.18). Однако и более точный вывод, сделанный впервые Ландау, приводит к этой формуле. Таким образом, вырожденный газ свободных электронов, кроме не зависящей от температуры парамагнитной восприимчивости, определяемой формулой (6.! 1) и связанной с ориентапией спинов в магнитном поле, обладает, в соответствии с (6.18), также и не зависящей от температуры диамагнитной восприимчивостью, которая появляется изза квантования движения электронов в магнитном поле. Сравнение формул (6.11) и (6.!8) показывает, что диамагнитная восприимчивость составляет ровно одну треть от парамагнитной.
В следующем параграфе мы рассмотрим, в каких пределах свойства модели свободных электронов отвечают свойствам реальных металлов. ф 6.4. Экспериментальные данные о магнитной восприимчивости металлов. Сравнение с теорией Металлы широко распространены в природе. Более восьмидесяти процентов элементов периодической системы обладают металлическими свойствами. Однако ббльшая часть металлов относится к так называемым переходным элементам (см. гл. 4), и их магнитные свойства в основном связаны с магнитным моментом незаполненной внутренней и'- или 1-оболочки. Металлы, имеющие полностью заполненные внутренние оболочки, носят название простых непереходных металлов.
К ним относятся все металлы 1 и 11 групп периодической системы элементов, А1, Оа, 1п и Т) из П! группы, Бп (белое) и РЬ из 1Ч группы, Ав, БЬ и В) из Ч группы и Те и Ро из У1 группы — всего 29 элементов. У этих металлов магнитные свойства определяются восприимчивостью, связанной с электронами проводимости, и диамагнитной восприимчивостью ионов. На рис. 6.4 показана температурная зависимость восприимчивости некоторых металлов.
Как видно из рисунка, для большинства из них характерны малое значение восприимчивости и слабая зависимость ее от температуры. Слабая зависимость восприимчивости от температуры получается и для модели свободных электронов. Таким образом, 6.4 Экспериментально~в с!аниме о магнитной восприимнивости 8! качественно поведение большин- у 1О" ства простых, и даже некото- ~8 1,0 рых переходных металлов отвечает свойствам модели свободных элек- А! тронов. Количественное сравнение 0,5 с приведенной выше теорией затрудняется тем, что значение вос- 0 В8п Си приимчивости электронов проводимости мало и в экспериментально определяемой восприимчивости металла существенную часть со- -1,0 ставляет диамагнитная восприимчивость ионного остова.
Последняя, как было показано в гл.5,мо- 0 400 800 7; К жет быть определена лишь косвенно с небольшой точностью. В табл.б.! приведены непосредственные экспериментальные данные по атомной восприимчивости металлов первых двух групп, их ионной восприимчивости и электронной восприимчивости, рассчитанной на грамм-атом. Для вычисления последней использовалось предположение об аддитивности восприимчивости: — 0,5 Рис. 6.4.
Температурная зависимость восприимчивости некоторых металлов (6.19) Мь мм ~сн где гс„— измеренная молярная восприимчивость металла; мь — восприимчивость электронов проводимости; м„— восприимчивость ионного остова. Величина м„ определялась так, как это указано в гл. 5. Существенно меньшей достоверностью этот способ введения поправок на диамагнетизм ионного остова обладает в применении к элементам с большим числом валентных электронов. Дело в том, что, повидимому, не все валентные электроны участвуют в проводимости и понятие ионного остова оказывается неопределенным.
Поэтому приводимые в табл. 6.2 данные для электронной восприимчивости элементов третьей и четвертой групп неточны. Простые металлы пятой группы обладают большой диамагнитной восприимчивостью: у В! она составляет м„ =- †2 10 ", у ВЬ ми =- = †1 1О ", а у Аз — гс„ = — 55 10 ". По-видимому, у этих металлов лишь очень незначительная часть валентных электронов принимает участие в проводимости.
Поэтому введение поправки на восприимчивость ионного остова здесь невозможно. Как видно из таблип 6.1 и 6.2, электронная восприимчивость у всех простых металлов групп ! — 1Ч, за исключением Ве, положительна. Это качественно согласуется с результатами теории свободных электронов, согласно которой диамагнитная восприимчивость электронов составляет одну треть от парамагнитной.
7л. б. Мигнитные свойства металлов 82 Т абли ца 6. аы 10а Металл м., !О" — м„. !О Предполагаемый ион аблица 62 Т Количественное сравнение с теорией свободных электронов имеет смысл лишь для элементов первых двух групп (табл.б.!), но даже для них экспериментальные данные согласуются с расчетными только по порядку величины, Экспериментальные значения электронной восприимчивости металлов первой группы существенно больше вычисленных по теории свободных электронов; например, для калия вычисленное значение м, = !7 . !О а, а экспериментальное м, = 35 10 з; для меди вычисленное м, — — 5 .1О з, а экспериментальное м, = 12,5 10 з. У элементов второй группы такое сравнение дает весьма различные результаты для разных металлов; восприимчивость Са и Вг в несколько раз больше вычисленной, у М8 и Сг! экспериментальное значение лишь на 30 —: 40% превышает расчетное, у Хц — на 25% меньше вычисленного и, наконец, у Ве электронная восприимчивость отрицательная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
