Borovik-ES-Eremenko-VV-Milner-AS-Lektsii-po-magnetizmu (1239152), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Предложенная ими теория ферромагнетизма являлась обобщением простейшей задачи квантовой химии — задачи о свойствах молекулы водорода. Поэтому в следующих параграфах будет рассматриваться именно эта задача. ф 8.2. Некоторые сведения из квантовой механики Для рассмотрения задачи о движении электронов в молекуле водорода потребуются некоторые понятия нз квантовой механики. Необходимый круг понятий достаточно элементарен и обычно излагается в курсах физики [82~. Предполагая нужные нам представления известными, напомним некоторые из них. Опыт показывает, что электроны, в отличие от обычных макроскопических частиц, обладают существенными волновыми свойствами.
Со свободно движущимся электроном связано волновое поле с длиной волны Л = — =- Р П~пе Для электрона, обладающего энергией 1 эВ, Л = 12 А. Волновые свойства электронов обнаруживаются в экспериментах, аналогичных классическим экспериментам по интерференции и дифракции в оптике. Однако правильные интерференционные максимумы получаются лишь в опытах с большим числом электронов; предсказать же путь каждого отдельного электрона оказывается невозможно. Можно указать лишь вероятность его попадания в данную область пространства.
Согласно классической механике, если заданы поля, в которых движется частица, а также ее начальное состояние, то однозначно определяются координаты и импульс этой частицы во все последующие моменты времени. В квантовой механике в общем случае в результате решения подобной задачи получаются лишь вероятности значений фи- Гл. В. Природа ферромагнитного состолнил зических величин. Например, вероятность нахождения частицы в некотором интервале координат от д~ до д1 + с1ды ..., от до до уо + 0д„равна 14'(ум уз " ян, г) пу~йдг ...
сЬ7н (8.1) где И"(у,1) — плотность вероятности. Обычно в результате решения задачи определяют не непосредственно плотность вероятности, а некоторую комплексную волновую функцию ф(у,г), которая связана с плотностью вероятности соотношением Волновая функция тесно связана с волновыми свойствами электрона. Так, для свободно движущегося электрона, обладающего постоянным импульсом, волновая функция Я~ — вг ф„(яку, =,1) =- Ае~~г (8.3) представляет собой плоскую волну с длиной Л = 6/р. Задаваемая формулой (8.3) величина ~фр(л,у,г,с)~з не зависит от координат и времени, и частица, описываемая волновой функцией фр, с равной вероятностью локализована в любой точке пространства. Разумеется, всякая реальная частица в определенной степени взаимодействует с окружающими телами и волновая функция в виде плоской волны отражает некоторое идеализированное состояние.
Сумма вероятностей всех возможных значений координат должна быть равна единице, поэтому (8.4) Функции ф(д,1) должны быть однозначны, конечны и на бесконечности стремиться к нулю. В некоторых случаях интеграл (8.4) расходится (например, для функции вида (8.3)). Тогда ~ф~ не определяет абсолютного значения вероятности, но отношение значений )ф~~ в двух разных точках задает отношение соответствующих вероятностей. Одним из важнейших законов, определяющих свойства волновых функций, является принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: если система может находиться в состоянии, описываемом волновой функцией уй(д,1), и в состоянии, описываемом волновой функцией фз(д,«), то любая линейная комбинация этих функций также описывает состояние системы.
Поскольку определены лишь вероятности нахождения частицы в данной точке пространства, постольку в общем случае в квантовой механике могут быть определены лишь средние значения физических величин. Средние значения величин, зависящих только от координат, определить легко. Действительно, если задана некоторая функция 8 2 Некоторые сведения из квантовой механики 1О! (8.5) следующей из определения волновой функции. Сложнее определить среднее значение импульса или некоторой его функции.
Оказывается, в этом случае получается выражение формально подобное (8.5), но содержащее вместо самой функции некоторый оператор. Например, среднее значение составляющей импульса д Формула (8.6) означает, что операцию дифференцирования — — нужно дде применять к функции ц(д, Ц, стоянтей справа от оператора Рь. Оператор импульса, таким образом, определяется как 6 д Рь =- 2я~, дде' (8.7) В общем случае Е(р, д, ~) = ф*(д, ~)Š—, —, д ф(д, 1) й~. (8.8) Итак, для нахождения среднего значения произвольной функции координат и импульсов следует в этой функции все величины импульсов заменить их операторами по формуле (8.?), «зажать» получившийся оператор между тэ'(д,1) и ф(д, 1) и проинтегрировать по всем возможным значениям координат д.
В квантовой механике уравнения движения классической механики заменяются уравнением Шредингера: т6,,~ .= Йгк дт (8.9) Входящий в (8.9) оператор Й носит название оператора Гамильтона и имеет вид 6' / де д" д' т 6 Й ' ~7 + + )+1х(д)= — — "~ Л,+Ч(д), (8НО) 2га (, дте др' дх,' ) 2щ где Г(д) — потенциальная энергия, 6 = 6/(2я). Оператор Гамильтона получается заменой квадрата импульса на квадрат оператора импульса из классической функции Гамильтона: координат с'(д), то ее среднее значение с'(д,с) в некоторый момент времени дается формулой 1О2 Гл. В. !1рирода ферромагнитного состоянил -У 6 О Н ( —, —, О фо(9) =.
Ефесе). ( 2я! да ' (8.1 1) Выясним смысл параметра Е. По общему правилу (см. (8.8)) Н = () с'"'Йфс(с! =- Е; Н =-()и'(й)офс(с! = Е, откуда (Н)" = Н" — Е". Однако такое равенство возможно лишь в случае, когда энергия Н имеет точно определенное значение, равное Е. Следовательно, для конкретной системы частиц при данном виде оператора Гамильтона решение уравнения (8,11) возможно лишь при некоторых дискретных значениях Е =- Ен Ез ... Ео энергии системы. Разрешенные значения Еь называются собственными значениями оператора энергии.
Волновые функции, являющиеся решениями стационарного уравнения Шредингера (8.11), носят название собственных функций системы. Таким образом, квантование энергии, являющееся в квазиклассической теории атома Бора †Зоммерфель следствием произвольных предположений, в квантовой механике естественно получается из основных уравнений. В 8.3. Молекула водорода и обменная энергия Задача о движении электронов в молекуле водорода была решена в 1927 г. Гайтлером и Лондоном (24). Френкель и Гейзенберг использовали идеи этого решения для объяснения явления ферромагнетизма.
Молекула водорода состоит из двух 1' положительно заряженных ядер (протонов) и двух электронов. Обозначим -е 6 е ядра буквами а и 6, расстояние межа ду ними — буквой Н, а электроны— цифрами 1 и 2. На рис.8.1 показано обозначение нужных нам расстояний. Ввиду большой массы ядер их можно рассматривать как классические объекты и в первом приближении считать неподвижными.
Задача заключается в определении зависимости энергии системы от Н. Рнс. 8 1. Обозначение расстоя ннй в молекуле водорода В атомных системах в большинстве случаев мы имеем дело с так называемыми стационарными состояниями, в которых распределение вероятностей не зависит от времени, т.е.
И'(й,!) — И'(9). Последнему условию удовлетворяет волновая функция ф(д,!) = е Г ' фо(9), где Е постоянная, смысл которой будет выяснен ниже. Подстановка этой функции в (8.9) дает Йф = Еф, и после сокращения экспоненциального множителя с ь получаем 104 Гл. 8. Природа ферромагнитного состияиил В силу принципа суперпозиции состояния системы также описываются произвольной линейной комбинацией произведений первого и второго вида: фо(ЧыЧ2) = сьев (В)2рь(Чг) + 23фи(Ч2)2оь(Ч1) (8 15) Будем считать входящие в (8.15) функции нормированными, т.
е, ~)дь (Ч) ~' дЧ = ~У (Ч) (2 дЧ = 1, и полагать, что функции, относящиеся к разным ядрам, ортогональны, т. е. Г р. (Ч) ф (Ч) ДЧ = О где с(Ч вЂ” элемент конфигурационного пространства электрона, а Ч— совокупность трех его координат. Предположение об ортогональности функций основано на том, что волновые функции достаточно быстро убывают при удалении от ядра. При достаточном сближении ядер волновые функции частично перекрываются (рис. 8.2) и условие ортогональности соблюдается неточно, однако учет Ь этой неточности дает поправку второго порядка малости. Перейдем к рассмотрению следующего первого приближения. При сближении ядер неучтенные в (8.13) и (8.14) взаимодействия электронов и ядер приведут к изменению собственных значений энергии системы: Е = 2Ео + Е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
