Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Вычислить ln 1  x2/ 3 dx по формулам Гаусса с точностью1ε = 10–3.Р еше н ие . Воспользуемся четностью подынтегральной функции:1 11ln 1  x 2 / 3 dx  2 ln 1  x 2 / 3 dx .0199VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕОценим количество узлов интегрирования по квадратурным формулам Гаусса, необходимое для достижения заданной точности. Для этогонам нужны оценки сверху величин производных подынтегральнойфункции f (x) = ln(1 + x2/3):f ( x) 2x3 x2x  3i  x  3i( x  3i)( x  3i)1x  3i1x  3i,   x  3i  ,33f ( x)  2  x  3i   2  x  3i  ,44f ( x)  6  x  3i   6  x  3i  ,44 4max f ( x)  6  3   6  3   ,3[0,1]f ( x)   x  3i22тогда ошибка интегрирования на двух узлах на интервале единичнойдлины в соответствии с (3.4) – (3.5) будет оценена как1 1 (4)1 4(7.1)r2Г  5f ( )   3 104   .4320 32 135Таким образом, для достижения заданной точности нам достаточнодвух узлов для вычисления интеграла по отрезку [0, 1]:1 ln 1  x12 / 3 dx  2 c1 ln 1  x12 / 3  c2 ln 1  x22 / 3 .(7.2)Здесь c1 и c2 – веса квадратурной формулы на отрезке [0, 1]:, а x1 и x2 –узлы квадратуры на этом интервале.На [–1, 1] узлы и веса c1  c2  1, t1  t2  3 3 .

Выполняя линейную замену (3.3), для весов и узлов квадратурной формулы получим:c1 = c2 = 1/2, x1,2 = 1/2 ± 3 /6. Подставляя это в (7.2), получим22 11 1 3 11 1 3 ln 1  x 2 / 3 dx  2  ln 1       ln 1        2  3  2 6   2  3  2 6   1173  ln 1   0.2031928. 36 9200VII.7. Задачи с решениямиСравнивая вычисленный результат с точным значением интеграла42 32ln  4  0.2029629 , видим, что точность оценки погрешности33(7.1) получилась высокой.VII.7.5. Предложить метод вычисления несобственного интеграла1 1  x5 dx0с точностью  = 10–4.Решение. Разобьем интеграл на два:1 1  x50Mdx 1 1  x5dx 01 1  x5 dxM.(7.3)Параметр M можно выбирать из условия, что значение второго интеграла в правой части (7.3) окажется меньше половины требуемой точности,а вторую половину допустимой погрешности можно было бы использовать для приближенного вычисления первого интеграла, например, методом трапеций или прямоугольников.Поступим иначе.

При больших M значение второго интеграла малоотличается от интеграла, вычисляемого точно:11 x5 dx  4M 4 .(7.4)MВыберем M из условия, что разность этих двух интегралов по модулю не превосходит половины заданной точности:1 1 xM1dx 51xdx 5M11 x5 (1  x5 ) dx M11 x10 dx  9 M 9  2   2 104.MЭто неравенство позволяет определить M  2.3534 . ВозьмемM = 2.5, тогда второй интеграл в (7.3) в соответствии с (7.4) с нужнойточностью будет равен 0,0064.

Для вычисления первого интеграла в(7.3), например методом прямоугольников со средней точкой, нужнооценить шаг численного интегрирования, обеспечивающий нужную точность. Оценим вторую производную подынтегральной функции на отрезке [0,2.5]:201VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕf ( x)  f ( x) 5x4(1  x5 )2,f ( x) 30 x8  20 x3(1  x5 )330 x 2 (7 x10  16 x5  2)(1  x5 )3,.8  50, макси7мальное значение второй производной f ( x)  3.5 . Тогда для обеспечеТочки экстремума второй производной x1,2  5ния заданной точности формулы прямоугольников со средней точкойнужно выбрать шаг интегрирования, удовлетворяющий неравенству1 211h   2.5  0   3.5    104 ,2422откудаh < 0,012.Возьмем,например,h = 0,01.Тогдаxk  k  h, k  0,..., 250 ,2.51 1  x50dx 2492491k 0k 0 1  ( xk h / 2)5 h  f ( xk  h / 2)  0.01 .VII.8.

Теоретические задачиVII.8.1. Описать алгоритм автоматического выбора шага, основанный наэкстраполяции по Ричардсону.VII.8.2. Оценить погрешность квадратурной формулыbnak 1 p  x  f  x  dx   ck f  xk  ,порожденную погрешностями в таблице значений f  xk  .VII.8.3. Пусть ΔАВС – треугольник в плоскости (x,y), точки M, N, K –середины его сторон. Показать, что квадратурная формула1f ( x, y )dxdy  SABC  f (M )  f ( N )  f ( K ) 3ABCточна для всех многочленов второй степениf ( x, y)  a11 x2  a12 xy  a22 y 2  b1 x  b2 y  c .202VII.8.

Теоретические задачиПоказать,VII.8.4.чтоквадратурнаяформула n1  k  f   для вычисления интегралов вида I ( f )   f ( x) dxbIn ( f ) n k 0  n aточна для всех тригонометрических многочленов с периодом ω степенине выше n – 1.1VII.8.5. Для вычисления f  x  dxприменяется составная формула тра-0пеций. Оценить минимальное число разбиений N, обеспечивающее точность 10-3 на двух классах функций:1) f  C  1 ,2) f  L 11 f   x  dx  1 .0Указание: воспользоваться результатом задачи 7.6.3.VII.8.6. Получить формулу Симпсона методом неопределенных коэффициентов.VII.8.7. Доказать, что формула Эйлера–Маклоренаxk 1hh2x f ( x) dx  2  f ( xk 1 )  f ( xk )   12  f ( xk 1 )  f ( xk )  , h  xk 1  xkkимеет по крайней мере четвертый порядок аппроксимации. Как на этойоснове построить уточнение составной квадратурной формулы трапецийдля интеграла от заданной аналитически функции на равномерной сетке?VII.8.8. Оценить минимальное число N разбиений отрезка для вычисления заданного интеграла по составной квадратурной формуле трапеций,обеспечивающее точность 10-4:1а) I   e  x dx ,20б)1 sin  x  dx .20VII.8.9.

Предложить метод вычисления приближенного значения инте2гралаe| x 1|( x 1)dx с заданной точностью ε по методу трапеций.1VII.8.10. Покажите, что квадратурная формула Гаусса203VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ11  1  f 3 31точна для полиномов третьей степени. f t  dt  f  VII.8.11. Покажите, что квадратурная формула Гаусса–Кристоффеля1 3 f  x   31 1  x2 dx  3  f   2   f  0  f  2   точна на многочленах пятой степени.VII.8.12.

Построить квадратуру Гаусса–Кристоффеля с двумя узлами длявычисления интеграла:а) I ( f ) 1x2f ( x )dx,б) I ( f )  /2cos x f ( x )dx,д) I ( f )   sin x f ( x )dx,1  x2,г) I ( f )   exp( x) f ( x)dx ,0ж) I  exp( x2) f ( x) dx ,01f ( x)dx /2з)11в) I ( f ) 11  x 2 f ( x) dx .1VII.8.13. Построить квадратурную формулу Гаусса–Кристоффеля с двумя узлами для вычисления интегралация:1 p( x) f ( x) dx , p(x) – весовая функ0а) p(x) = x;в) p(x) = exp(x);д) p(x) = 1 – x;б) p(x) = sin πx;г) p(x) = ln(1 + x);е) p(x) = exp(–x).VII.8.14. Вычислить приближенное значение интеграла, используя квадратурную формулу Гаусса с двумя узлами и оценить ее погрешность:14xdxа) I   sin x 2 dx ,б) .23x 400  VII.8.15.

Применяя метод Канторовича выделения особенностей, предложить алгоритм приближенного вычисления интеграла204VII.8. Теоретические задачи10dxx 1  x с точностью до 10-5.11 x sin xdxVII.8.16. Предложить способ вычисления интегралас точно-0стью 5 · 10-5.VII.8.17. Предложить способ вычисления интеграла11x (1  x)0dx с точ-ностью 10-4. Оценить величину шага интегрирования.VII.8.18. Предложить способ вычисления интеграла1 cos x dxс точно-0стью 5 · 10-5.VII.8.19. Предложить способ вычисления интеграластью 10-3. Оценить величину шага интегрирования.10ln x1 xdx с точно-VII.8.20.

Путем устранения особенности предложить способ приблиsin( x)dx с точностью не ниже 10–4.женного вычисления интеграла x1Количество шагов интегрирования не должно превышать 10 4.VII.8.21. Путем устранения особенности предложить способ прибли1dxженного вычисления интеграла с точностью не менее 10–3.xx10Количество шагов интегрирования не должно превышать 103.VII.8.22. Путем устранения особенности предложить способ приближенного вычисления интегралаcos( x 2 )–41 x dx с точностью не менее 10 .Количество шагов интегрирования не должно превышать 10 4.205VII.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕVII.8.23. Путем устранения особенности предложить способ прибли1/ 2  1 женного вычисления интеграла  ln  ln    dx с точностью не менее  x 0-410 . Количество шагов интегрирования не должно превышать 10 4.VII.8.24. Предложить способ вычисления несобственного интеграла сзаданной точностью. Оценить величину шага интегрирования:11а)01в)x (1  x)ln x1 x01xд)12sindx ,  = 10–4,dx ,  = 10–3,б)1 cos x dx ,  = 5 · 10011–5 x sin x dx ,  = 5 · 10г),–5,01dx , ε = 10–4.x2VII.8.25. Предложить алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью , используя метод регуляризации подынтегральной функции:cos  x 2а) 2x  x04в)00.5e0ж)2014 x 2  x3xд)x2dx ,dx ,sinг)dx ,е)5x30 x  dx ,3x 2  x30x  2x22x  x2302 sin  x exб)1  ex5x  x2e x3x 3 xdx ,dx ,dx .VII.8.26.

Предложить алгоритм вычисления интегралаba f ( x) cos  x dx,если f(x) задана как сеточная функция на отрезке [a,b].206VII.9. Практические задачиVII.9. Практические задачиVII.9.1. Для функции, заданной таблично, вычислить значение интегралас использованием указанной формулы. Уточнить полученное значениеинтеграла с помощью экстраполяции Ричардсона.а) формулы Симпсонаx–1f(x) –1–0.75 –0.5–0.25 0–0.14 –0.032 0.0100.25 0.50.7510.002 0.003 0.0031 0.0029б) формулы трапецийx0 0.250.5f(x) 0 0.028 0.0540.7511.250.0780.1 0.21.51.7520.133 0.145 0.154VII.9.2. Для функции, заданной таблично:x0 0.250.50.75f(x) 0 0.004 0.015 0.03411.250.059 0.0891.51.750.123 0.320.2вычислить значение интеграла, пользуясь формулой Симпсона.

Характеристики

Список файлов книги