Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

д. – разделенныеразности.Формула (8.3) является формулой четвертого порядка аппроксимации. Если опустить последнее слагаемое, то получим формулу третьегопорядка, если опустить еще и предпоследнее, то – второго. Если же положить τn = const, то формула значительно упростится:222VIII.6. Экстраполяция Ричардсонаun 1  un  f n 221 f n 51233 2 f n  4 3 f n ,8где Δk fn – k-я конечная разность назад от правой части. На интервале[tn, tn + 1] представление (8.1) является экстраполяцией, что обуславливаетнебольшую область устойчивости явных методов Адамса.Явные методы Адамса, от первого до четвертого порядка аппроксимации, на равномерной сетке представляются в видеyn1  yn  f n ,13yn1  yn    f n  f n  1 ,22165 23yn1  yn   fn  fn  1 f n  2 ,1212 1259379 55yn 1  yn   fn fn  1 fn  2 fn  3  .24242424В общем виде методы Адамcа могут быть представлены следующимобразом:k 1un 1  un     j  j f j .j 0Если в интерполяционном многочлене использовать значение f(tn+1),то аналогичным образом строятся неявные методы Адамса.

Неявныеметоды Адамса требуют решения нелинейного уравнения для нахождения yn + 1.VIII.6. Экстраполяция РичардсонаПусть в точке t известно значение решения u (t ). Пусть методомРунге–Кутты порядка аппроксимации р в результате выполнения численного интегрирования на двух шагах величины τ найдено численноезначение y в точке t  2, а в результате выполнения одного шага 2τ получено значение y2τ (в той же точке). Тогда выражениеy  y τ y τ  y 2τ2 p 1аппроксимирует величину u(t  2) с порядком p  1.

Другими словами,223VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙэкстраполяция Ричардсона позволяет увеличивать на единицу точностьметода.VIII.7. Задачи на доказательствоVIII.7.1. Доказать эквивалентность двух определений устойчивости разностной схемы в случае линейного разностного оператора.VIII.7.1. Задача Коши для системы ОДУ x  2 y, y  2 x, x(0)  0,y(0)  1 решается с помощью метода Рунге–Кутты с таблицей Бутчера:011.12 12Доказать, что решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной.VIII.7.2. Задача Коши для системы ОДУx  2 y, y  2 x,x(0)  1, y(0)  1 решается с помощью метода Рунге–Кутты с таблицейБутчера:0112.0 1Доказать, что решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной.VIII.7.3. Задача Коши длярешаетсяx(0)  0, y(0)  1системы ОДУx  10 y, y  10 x,спомощьюметодатрапеций:y n1  y n f n1  f n.2Доказать, что метод консервативен (в разностной задаче выполняетсятот же закон сохранения, что и в дифференциальной задаче).VIII.7.4.

(Л. А. Чудов) Рассматривается задача Коши для системы уравнений:u  v ,v   u,u(0) v (0)  1.224VIII.7. Задачи на доказательствоСистема имеет первый интеграл (закон сохранения энергии):u22v22 1.Что будет происходить с энергией системы в случае примененияявного метода Эйлера.VIII.7.5. Задача Коши для системы ОДУx  10 y, y  10 x,x(0)  0, y(0)  1 решается с помощью методов Рунге–Кутты с таблицами Бутчера:011и0112 1212.0 1Доказать, что в разностной задаче нет закона сохранения, аналогичногозакону сохранения энергии для решения дифференциальной задачи колебаний маятника.VIII.7.6. Нелинейное автономное дифференциальное уравнение решается с помощью явного метода Рунге–Кутты второго порядка аппроксимации с числом стадий, равным двум.

Указать коэффициенты метода,имеющего минимальную погрешность аппроксимации для данного класса задач.VIII.7.7. На основе определения сходимости доказать сходимость иопределить ее порядок для явной и неявной схем Эйлера и метода трапеций применительно к решению дифференциальной задачи:y  ay, y(0)  1.VIII.7.8. Вывести условия прядка (до 3 включительно) для явного метода Рунге–Кутты с произвольным числом стадий.VIII.7.9.

Доказать лемму 1.VIII.7.10. (Л. А. Чудов) Система уравнений колебаний маятникаdxdy  y,xdtdtс начальными условиями x(0)  0, y(0)  1 решается с помощью неявного метода Эйлера. Доказать, что для решения данной задачи R  1 , что225VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙприводит к нефизичной диссипации энергии. Какой закон сохранениясуществует для дифференциальной задачи? Насколько на каждом шагепо времени нарушается закон сохранения для разностной задачи?VIII.7.11.

Доказать, что «классический» четырехстадийный метод Рунге–Кутты представляет собой обобщение формулы Симпсона численного интегрирования для случая ОДУ.Указание. Рассмотрите точное равенство (1.4).VIII.8. Задачи с решениямиVIII.8.1. (А. И. Лобанов)ЗадачаКошидлясистемыОДУx  2 y, y  2 x, x(0)  0, y(0)  1 решается с помощью метода трапеn 1nn 1nций y  y  f  f . Доказать, что решение разностной задачи схо-2дится к решению дифференциальной.Решение. Решение дифференциальной задачи легко ищется.Рассмотрим решение разностной задачи.x n1  x ny n1  y n  y n1  y n , x n1  x n , откудаn 1nn22   x  x cos   sin   x 1 1      ,1  2  2 1  2   y  y sin  cos   y Имеемгде cos  1  21  2.T /n x cos   sin  Тогда    y  sin  cos  TT 0  cos   sin  0 x  x   . sin T  cos T    y  y VIII.8.2.

Получить все явные методы Рунге–Кутты с числом стадий от 1до 3.Решение. Получим простейшие методы Рунге–Кутты. Для этоговведем погрешность()  u (t  )  u (t ) rj 0bjk j 226VIII.8. Задачи с решениямии представим ее в виде разложения в ряд Маклорена: ( ) p (0)i!i 0где ( р1) ( )( р  1)!i  ( р1) ( )( р  1)! р1 , р1– остаточный член ряда; 0 < θ < 1.Будем полагать (что можно сделать соответствующим выбором коэффициентов) (0)   (0)     ( p) (0)  0.В таком случае разложение для ξ(τ) имеет более простой вид: ( )  ( р1) ( )( р  1)! р1 ,где р – порядок точности метода.1.

Пусть p = 1, s = 1. Тогда ()  u(t  )  u(t )  b1 f (t , u),(0)  0,(0)  [u(t  )  b1 f (t , u)] t 0  f (t , u) (1  b1),отсюда (0)  u(t   ).Видно, что условие ξʹ(0) = 0 выполняется лишь при b1 = 1, что соответствует методу Эйлера, при этомu (t  )  u (t ) f (t , u ) (t  )2  R ,где Rτ – невязка, имеющая первый порядок малости по .2. Рассмотрим более сложный случай: p = 2, s = 2. Тогдаξ() = u(t + ) – u(t) – b1f (t, u) – b2f (t + c2, u + a21f (t, u)).Вводя обозначения t  t  c2 , u  u  a21f (t, u), получим следу227VIII.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙющие выражения для производных погрешности  по аргументу :()  u(t  )  b1 f (t , u)  b2 f (t , u) b2 [c2 ft(t , u)  a21 fu (t , u) f (t , u)],()  u(t  )  2b2 [c2 ft(t , u)  a21 fu (t , u) f (t , u)] b2 [c22 ftt(t , u)  2c2 a21 ftu (t , u) f (t , u) 2 a21fuu (t , u) f 2 (t , u)],()  u(t  )  3b2 [c22 ftt(t , u) 2 2c2 a21 ftu (t , u) f (t , u)  a21fuu (t , u) f (t , u)]  o().Подставим в эти выражения следующие следствия исходного дифференциального уравнения: f 2  fuu.u  ft  fu f , u  ftt  2 ftu f  fuuu  f ,С учетом этих следствий получим (0)  0,(0)  (1  b1  b2 ) f (t , u),(0)  (1  2b2c2 ) ft(t , u)  (1  2b2 a21 ) fu (t , u) f (t , u),(0)  (1  3b2c22 ) ftt(t , u) (2  6b2c2b21 ) ftu (t , u) f (t , u) 2 (t , u) f 2 (t , u)  fu (t , u) u (t ).(1  3b2 a21) fuuВторое из полученных соотношений выполняется при b1 + b2 = 1,третье – при 1 – 2b2c2 = 0, 1 – 2b2a21 = 0.Таким образом, мы имеем три алгебраических уравнения и четырепараметра.

Эти уравнения определяют однопараметрическое семействосхем. Задавая один из параметров, можно получать различные методыРунге–Кутты с погрешностью 2-го порядка. При формально одинаковомпорядке аппроксимации они будут обладать различными свойствами(реальной погрешностью).Так, при b1 = 1/2 имеем: b2 = 1/2, c2 = 1, a21 = 1; метод будет выглядеть следующим образом:228VIII.8.

Задачи с решениямиun 1  un  [ f (tn , un )  f (tn 1, u~n 1 )].2Положив b1 = 0, имеем: b2 = 1, c2 = 1/2, a21 = 1/2; соответствующийметод будет иметь видun 1 / 2  un 2f (tn , un ),un 1  un  f  tn  , un 1 / 2 .23. При p = 3, s = 3 аналогично получаем систему уравнений:c3  a31  a32 ,c2  a21,b3a32c2  1/ 6,b2c2  b3c3  1/ 2,b1  b2  b3  1,b2c22  b3c32  1/ 3,которая также имеет бесконечное множество решений.Все условия порядка приводят к четырем независимым уравнениямдля шести неизвестных:b3a32 a21  1/ 6, b2 a21  b3 (a31  a32 )  1/ 2,b1  b2  b3  1,2b2 a21 b3 (a31  a32 )2  1/ 3.Это приводит к двухпараметрическому семейству решений:2  3v2  3uv (v  u ), b3 ,, a32 c2  u, c3  v, b2 6u (u  v)u (2  3u )6v(v  u )b1  1  b2  b3 , a21  u, a31  v  a32 .видВспомогательные векторы k i одного из возможных методов имеютk k2  f  tn  , un  1 ,22k1  f (tn , un ),k3  f (tn   , un  k1  2k2 ),un 1  un k1  4k 2  k36.229VIII.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙВ случае p = 4, s = 4 имеем двухпараметрическое семейство методовРунге–Кутты. Соотношения порядка (условия на коэффициенты, когдаметод имеет порядок аппроксимации 4) получаются аналогичным образом, предлагаем читателям вывести систему соотношений порядка самостоятельно. Из семейства явных методов четвертого прядка наиболееизвестен следующий «классический» метод:k1  f (tn , un ),k k2  f  tn  , un  1  ,22k k3  f  tn  , un  2  ,22 k4  f (tn  , un  k3 ),un 1  un k1  2k 2  2k3  k 46.VIII.9. Теоретические задачиVIII.9.1.Исследоватьнаустойчивостьметодтрапецийyn 1  yn 1  f (tn , yn )  f (tn 1 , yn 1 )  , y0  u0 .

Каковы условия строгой2устойчивости для этого метода?fОтвет: метод строго устойчив при 0 для любых значенийuсеточного параметра.VIII.9.2. Исследовать на устойчивость метод Эйлера с пересчетомy  ynv  yn  f (tn , yn ), n 1 f (tn , v), y0  u0 . Каковы условия строгой2устойчивости для этого метода?ff 2.Ответ: метод строго устойчив при0 и uuVIII.9.3. Построить сеточный аналог общего решения обыкновенногодифференциального уравненияd 2u xu  xdx 2на равномерной сетке Dh = {xm: xm = hm; m = 0, ±1, …, ±∞} .230VIII.9. Теоретические задачиVIII.9.4. Построить семейство явных трехстадийных методов Рунге–Кутты, основанных на квадратурной формуле Гаусса:1 1  1  f ( x )dx  f   f .3 31Исследовать его на аппроксимацию для случая автономного нелинейного уравнения.0Ответ:3 363 363 3603 361212VIII.9.5.

Характеристики

Список файлов книги