Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Пусть разностнаясхема Lτy = fτ приведена к каноническому виду (2.1), и пусть выполненынеравенстваy0  C 2 f ,ρ n  C2 f .Тогда для устойчивостиy n  C2 f(2.2)достаточно, чтобы нормы степеней оператора Rmhбыли равномернопо τ ограничены, т.е. чтобы выполнялась оценкаRm  C3 , m  1,..., N .При этом в качестве числа C в оценке (2.2) может быть взята величинаC = (1 + T) C2C3.(2.3)Доказательство следует из цепочки равенствy1 = Rτ y0 + τ ρ0,215VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙy2 = Rτ y1 + τ ρ1 = R2τ y0 + τ (Rτ ρ0 + ρ1),…yn = Rτ yn – 1 + τ ρn = Rnτ y0 + τ (Rи следующего отсюда неравенстваmax yn  max Rnnny0n–1τρ0 + Rn–2τρ1 + … + ρn – 1) N  max n .nС учетом Nτ = T из последнего неравенства следует неравенство(2.2) с константой C, определяемой выражением (2.3).Для проверки выполнения требования(2.4)Rm  C3 , m  1,..., Nможно воспользоваться необходимым спектральным признаком устойчивости. Для ОДУ он заключается в следующем.

Для нормы операторасправедливо неравенствоR  max i .iТогда для выполнения требования (2.4) необходимо, чтобы все собственные значения оператора послойного перехода лежали в кругеi  1  c ,(2.5)при этом постоянная c не должна зависеть от сеточных параметров.Тогда1  c  ecT , m  1,..., N .(2.6)mПри выполнении условия (2.5) будем называть устойчивость нестрогой, а в случае, когда выполнено более сильное условиеi  1 ,(2.7)будем говорить о строгой устойчивости. Требование строгой устойчивости кажется оправданным в том случае, когда расчет ведется не до заранее определенной правой границы интервала расчета по t, а до выполнения каких-либо условий для решения.Пример 1. Исследуем устойчивость явной схемы Эйлера решениязадачи Коши для ОДУ u = f (t, u), u(0) = u0:yn 1  yn f (tn , yn ), y0  u0 .Запишем разностную схему в видеyn 1  yn   f (tn , yn ) .Для приведения к каноническому виду линеаризуем разностнуюсхему в окрестности некоторой гладкой траектории φ(t), тогда получим216VIII.2.

Исследование устойчивости разностных схем для ОДУfyn 1  yn    f (tn , (t ))  ( yn  (t ))  ,uffyn 1  Rh yn  n , Rh  1   , n  f (tn , (t ))  (t ) .uuПоэтому для нестрогой устойчивости (2.5) явной схемы Эйлера достаточно, чтобы была ограничена производная правой части по решениюfc,uа для строгой устойчивости ограничения на спектр оператора переходаболее жесткие:f1  1   1 , что приводит к двум условиям:u1ff 0,   2.uuПример 2. Исследуем устойчивость неявной схемы Эйлера решения задачи Коши для ОДУ u = f (t, u), u(0) = u0.

Неявная схема Эйлераимеет видyn 1  yn f (tn 1 , yn 1 ), y0  u0 .Для этого запишем разностную схему в видеyn 1  yn  f (tn 1 , yn 1 ) .Линеаризуем разностную схему в окрестности некоторой гладкойтраектории φ(t), тогда получимfyn 1  yn    f (tn 1 , (t ))  ( yn 1  (t ))  ,u1`f fyn 1  R yn  n , R  1    , n  f (tn 1 , (t ))  (t ).u uПоэтому для нестрогой устойчивости (2.5) неявной схемы Эйлерадостаточно, как и для явной схемы, чтобы была ограничена производнаяправой части по решениюfc,uа для строгой устойчивости требуем217VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ1f 1  1     1 .u ffДля 0 оба эти условия выполнены всегда, а в случае0uuвозникает требование1f.uКак видим, область строгой устойчивости неявного метода Эйлеразначительно больше, чем у явного.В дальнейшем для жестких систем ОДУ понятие строгой устойчивости будет обобщено на понятие A-устойчивости метода.

Неявный метод Эйлера обладает самой большой областью устойчивости.Пример 3. Исследуем устойчивость схемы с центральной разностью для решения ОДУ u = f (t, u) видаyn 1  yn 1 f (tn , yn ) .2Это пример схемы, для которой формальный разностный порядоксхемы не совпадает с порядком дифференциального уравнения, т.е.

длянахождения значения yn + 1 нам необходимо знать не только yn, но и yn – 1.В этом случае порядок аппроксимации определяется не только порядком аппроксимации уравнения, но и порядком аппроксимациинахождения y1.Отметим также, что для неявных методов строгая устойчивостьиногда приводит к нежелательным последствиям – численное решениеоказывается «устойчивым» и стремится к положению равновесия, а точное решение задачи устроено совершенно иначе. Для того чтобы понять,почему этот эффект нежелателен, достаточно рассмотреть систему линейных дифференциальных уравнений, описывающую малые колебаниямаятника (Задача VIII.7.10). Замечательный советский математикЛ. А. Чудов в своих лекциях иногда называл это явление «сверхустойчивостью неявной схемы».Сделаем два замечания.

Как мы видели на простейших примерах,при рассмотрении устойчивости определяющую роль играет производная правой части по решению. В случае систем уравнений – матрицаЯкоби правой части системы. Второе замечание касается того, что длятрехслойных схем привести их непосредственно к виду (2.1) достаточносложно. Мы не будем этого делать, а предположим, что для собственных2218VIII.3.

Методы Рунге–Куттызначений оператора перехода λ последовательные значения y связанысоотношениемyn + 1 = λ yn, yn = λ yn – 1.С учетом этих двух замечаний для определения собственных значений оператора перехода будем иметьf 2  2   1  0 .uПо теореме Виета имеем λ1λ2 = –1, что означает, что при действительном дискриминанте D = 4τ2(fu )2 + 4 разностная схема строгойустойчивостью обладать не может.

При достаточно малом шаге имеемf1,2  1  c, c  2, т.е. условие нестрогой устойчивости выполненоuпри ограниченности производной правой части по решению.VIII.3. Методы Рунге–КуттыНаиболее распространенными при численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений являются методы Рунге–Кутты. Ихпринято представлять в следующей форме.S-стадийный одношаговый явный метод для численного решениязадачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (1.1):k1  f (t n , yn ) ,k 2  f (t n  c2 τ, yn  τa21k1 ),k3  f (t n  c3 τ, yn  τ(a31k1  a32k2 )), ...,(3.1)ks  f (tn  cs τ, yn  τ(as1k1  ...

 ass1ks1 )),yn1  yn  (b1k1  ...  bs ks ),где ki – промежуточные вспомогательные величины.Коэффициенты, определяющие конкретный метод, могут бытьпредставлены в виде таблицы Бутчера (табл. 1).219VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙТ абл и ца 10c2c3…cSa21a31…aS1b1a32…aS2b2………aSS - 1bS - 1bSОбычно также используют условие, предложенное Куттой и не являющееся обязательным, однако упрощающее вывод условий порядкааппроксимации для многостадийных методов:cn   anj .jЯвные методы Рунге–Кутты являются одношаговыми – для построения решения на данном шаге необходимо знать только искомые значения на предыдущем.VIII.4.

Устойчивость явных методов Рунге–КуттыДля исследования устойчивости методов Рунге–Кутты для численного решения задачиdu f (t , u), u(0)  u0dty n 1  y n F(tn , y n ) ,здесь F(tn, yn) – функция приращения метода Рунге–Кутты, она, конечно,связана с функцией правой части системы ОДУ.представим ее дискретный аналог в видеСформулируем вначале следующую лемму.Лемма 1. Пусть C – постоянная Липшица для функции правых частей системы f(t, u), тогда функция приращения F(t, u) для метода (3.1)удовлетворяет неравенству F(t, un )  F(t, vn )  C2 un  vn ,гдеC2  C   ci iCi, jci aij  2C 2220i, j , kci aij a jk .VIII.4.

Устойчивость явных методов Рунге–КуттыВ некоторых важных частных случаях эту оценку можно улучшить,рассматривая более тонкие свойства рассматриваемой функции. Дляправильных методов Рунге–Кутты C2  CeCτ.Теорема 2. (Устойчивость методов Рунге–Кутты). Пусть праваячасть системы ОДУ f(t,u) удовлетворяет условиям Липшица по аргументу u с постоянной C:|| f (t , u)  f (t, v) ||  C || u  v ||(эта оценка не зависит от сеточного параметра).

Пусть также C2τ << 1.С2 оценено в лемме 1. Тогда метод Рунге–Кутты устойчив, и имеет местооценкаyn  vn  e C2T y0  v0  2εeC2T.C2Здесь  – максимальная ошибка округления на данной ЭВМ,{yn} – «точное» сеточное решение задачи, {vn} – решение возмущеннойзадачи, T – длина отрезка интегрирования.Замечание. Данный вывод не зависит от порядка метода Рунге–Кутты. Более тонкие оценки получаются с учетом информации о характере решения.Пусть матрица1A(u)  (fu (u)  fu* (u))2строго отрицательна, т. е. (A(u)ξ, ξ)  a(ξ, ξ) для любых , u и a > 0(траектория, в окрестности которой выполняется это условие, называется устойчивой). Тогда при интегрировании правильным методом Рунге–Кутты k-го порядка аппроксимации погрешность приближенного решения есть O(τk) при любом t > 0 при выполнении условий aτ << 1.При численном интегрировании устойчивой траектории методомРунге–Кутты порядка k при всех t > 0 погрешность метода есть O(τk).Пусть теперь (Ay, y) ≤ 0 для любого вектора y.

Такие траекторииназываются неустойчивыми (нейтральными).При численном интегрировании нейтральной системы методомРунге–Кутты порядка k  2 точность метода падает на порядок приt = O(1/τ).Такие случаи возникают, когда имеется необходимость проводитьчисленные расчеты при исследовании процессов с большим количествомколебаний, вращений и т. д. Важно отметить, что оценки погрешности221VIII.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙчисленного решения получены с использованием более сильных, чемусловие липшиц-непрерывности, свойств правых частей рассматриваемых дифференциальных уравнений.VIII.5. Методы АдамсаДля решения ОДУ или систем ОДУ существуют методы Адамса.Эти методы являются многошаговыми и одностадийными. Строятсяони следующим образом.Пусть нам известно приближенное решение в некоторых узлах расчетной сетки: tn, tn - 1, …, tn - m. В окрестности этих узлов заменим f(t, u)интерполяционным полиномом, записанным в форме Ньютона:f (t )  f (tn )  f (tn , tn1 ) (t  tn ) (8.1) f (tn , tn1, tn2 ) (t  tn ) (t  tn1)  f (tn , tn1, tn2 , tn3 )(t  tn )(t  tn1 )(t  tn2 ) Чтобы вычислить решение в точке n + 1, запишем его в интегральном виде:un1  un tn 1f (t , u (t )) dt tntn 1(8.2)f (t ) dttnи подставим в это интегральное представление интерполяционный полином:un 1  un  n f (tn ) 2n62n2f (tn , tn 1 ) (2n  3n 1 ) f (tn , tn 1 , tn  2 ) 2n12(2n2  8n n 1  (8.3) 4n n 2  62n 1  6n n 2 ) f (tn , tn 1 , tn 2 , tn 3 ).Здесь n  tn 1  tn , f (tn , tn 1 ), f (tn , tn 1 , tn  2 ) и т.

Характеристики

Список файлов книги