Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

Результаты измерений представлены в таблице.t,сT,К52967520974411982131248151570172256192256212256С помощью интерполяции найти t*, при котором производная dT/dt максимальна.VI.9.31. (Т. К. Старожилова) У пациента больницы через каждые полчаса измерялась температура тела.

Результаты измерений представлены втаблице.t, ч 11,52,02,33,03,54,04,55,0T, С 37,3 37,58 37,86 38,21 38,70 39,26 40,17 40,17 40,17С помощью интерполяции найти t*, при котором производная dT/dt максимальна.VI.9.32. Согласно переписи население США менялось следующим образом:1910 – 92 228 496 человек,1920 – 106 021 537,1930 – 123 202 624,1940 – 132 164 569,1950 – 151 325 798,1960 – 179 323 175,1970 – 203 211 926,1980 – 226 545 805,1990 – 248 709 873,2000 – 281 421 906.а) По приведенным данным построить интерполянт в форме Ньютона.

Вычислить экстраполированное значение численности населенияСША в 2010 году и сравнить с точным значением 308 745 538 человек.179VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙб) По этим же данным построить сплайн-аппроксимацию, экстраполировать данные на 2010 год, сравнить с точным значением. Какие дополнительные условия для построения сплайна нужно поставить в этомслучае?в) Какой из результатов оказывается более точным?VI.10. Библиографическая справкаТеория интерполяции – обширный раздел вычислительной математики.

Более подробно материал изложен в [2, 7, 21]. О сплайнах можнопрочитать в [31, 32]. Про тригонометрическую интерполяцию см. также[33], из этой же книги взята задача VI.7.12.В связи с развитием алгоритмов машинной графики бурно развивается теория сплайн-интерполяции. О применении сплайнов и кривыхБезье см. также [22]. О применении В-сплайнов см. [34].180VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕЗадача приближенного вычисления определенного интеграла в зависимости от полноты входящих данных может ставиться по-разному.Первая постановка связана с вычислением интеграла от табличнозаданной функции (значения которой, например, получены в результатеэксперимента).

В этом случае отсутствует априорная оценка гладкостиподынтегральной функции, возможности выбора узлов интегрированиявесьма ограничены. В этом случае наиболее эффективными будут интегральные формулы интерполяционного типа (формулы Ньютона–Котеса).Вторая постановка связана с вычислением определенного интеграла от известной функции. Наиболее дорог с вычислительной точки зрения в этом случае подсчет значений функции.

В этом случае желательнопостроить метод, обеспечивающий как можно более высокую точностьпри минимальных вычислениях. Так как свобода выбора узлов квадратурной формулы в этом случае в руках вычислителя, то наиболее эффективными будут квадратурные формулы Гаусса.VII.1. Квадратурные формулы Ньютона–Котесационного типа)(интерполя-Пусть необходимо вычислить определенный интегралbI f ( x)dx.(1.1)aПусть имеется некоторое разбиение отрезка [a,b]:a = x0 < x1< … <xn = b.(1.2)Тогда в качестве приближения значения интеграла можно использовать интегральную суммуIn1(xk 1 xk ) f (ξ k ), xk  ξ k  xk 1 .(1.3)k 0В этом случае точки ξk называются узлами квадратурной формулы,а величины (xk + 1 - xk) – весами квадратурной формулы.181VII.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕФормула (3) точна в том случае, если f (x) постоянна на каждом отрезке разбиения (т.е. на многочленах степени ноль). Оказывается, если вкачестве узлов квадратурной формулы взять центральную точку интервалаξk = 0.5(xk + 1 + xk),то квадратурная формула (3) будет точна и для линейной функции накаждом отрезке разбиения.

При любом выборе узлов формула (3) носитназвание формулы прямоугольников.К вычислению интеграла (1) можно подойти как к вычислениюплощади под кривой, и тогда в предположении кусочно-линейной интерполяции подынтегральной функции на каждом отрезке разбиенияполучается формула трапеций для приближенного вычисления интеграла (1):In1 2 ( f (xhkk 1 ) f ( xk )), hk  xk 1  xk .(1.4)k 0Формула Симпсона получается с помощью построения квадратичной интерполяции подынтегральной функции по трем равноотстоящимузлам xi, xi +1/2, xi +1 на каждом отрезке разбиенияf(x) ≈ P2(x) = f(xk) + f(xk, xk + 1)(x - xk) ++ f(xk, xk + 1, xk + 1/2) (x - xk) (x - xk+1),(1.5)что приводит к интегральной формуле видаIn1 6 ( f (xhkk 1 )  4 f( xk 1/ 2 )  f ( xk )), hk  xk 1  xk .(1.6)k 0Для разбиения полного отрезка интегрирования на сдвоенные интервалы равной длины можно получить формулу Симпсона несколькодругого вида:I[ n / 2]h2k( f ( x2k )  4 f ( x2k 1 )  f ( x2k 2 )).3k 0(1.7)Аналогично, интерполируя подынтегральную функцию полиномомтретьей степени по четырем равноотстоящим точкам, получим выражение интеграла (1.1) в соответствии с «правилом 3/8»:182VII.1.1.

Оценка погрешности квадратурных формулn 1hk(1.8) f ( xk )  3 f ( xk 1/3 )  3 f ( xk  2/3 )  f ( xk 1 )  .i 0 8Квадратурные формулы интерполяционного типа более высокогопорядка рассматриваются редко по двум важным взаимосвязанным причинам. Заметим, что все приведенные выше формулы являются правильными, т.к. все веса квадратурных формул были положительными.При использовании интерполянтов более высоких степеней получающиеся квадратурные формулы перестают быть правильными: для полиномов степени выше седьмой среди весов квадратурных формул появляются отрицательные величины.

Более того, Д. Пойа показал, чтоI nlim   nk   ,n (1.9)k 0в то время как для самой суммы выполняется очевидное равенствоnk 0nkba .(1.10)Здесь αnk – веса квадратурных формул, получающихся при заменеf (x) интерполянтом степени n. Такое увеличение суммы абсолютныхзначений весов квадратурных формул связано с быстрым ростом постоянной Лебега при алгебраической интерполяции на равномерной сетке.VII.1.1.

Оценка погрешности квадратурных формулОценка погрешности квадратурных формул Ньютона–Котеса производится через оценку остаточного члена погрешности интерполяцииподынтегральной функции.1. Формула прямоугольников при произвольном выборе узла интерполяции на отрезке разбиения дает погрешность для отдельного интерваларазбиения:xk 1εk =maxxk  x  xk 1f ' ( x) xξxkkdx 1max f ' ( x) ( xk 1  xk ) 2 x2 k x  xk 11max f ' ( x) hk2 ,x2 k x  xk 1(1.11)а при суммировании по всем отрезкам равной длины с учетом равенства hk  b  a будем иметь формулу первого порядка аппроксимации:k183VII.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕε1max f ' ( x) (b  a)h .2a xb(1.12)Для формулы прямоугольников с центральной точкой для получения более точной оценки погрешности интегрирования интерполяциюпо значению в средней точке нужно рассматривать как интерполяцию скратным узлом, в котором известно не только значение функции, но ипроизводная.

В этом случае интерполяционный многочлен совпадает сотрезком ряда Тейлора из двух членов, а погрешность интегрированияна отдельном интервале выражается через остаточный член1εk max f ' ' ( x)2 xk  x  xk 1xk 1 (x  xk 1/ 2 )2dx xk1max f ' ' ( x) hk3 ,24 xk  x  xk 1(1.13)и для полной погрешностиε1max f ' ' ( x) (b  a)h 2 .24 a  x  b(1.14)2. Оценка погрешности формулы трапеций получается интегрированиемостаточного члена погрешности линейной интерполяции для отдельногоинтервала:εk 1max f ' ' ( x)2 xk  x  xk 1xk 1 ( x  x )( x  xkxkk 1 )dx 1max f ' ' ( x) hk3 .12 xk  x  xk 1(1.15)Суммарная погрешностьε1max f ' ' ( x) (b  a)h 2 .12 a  x  b(1.16)Как видим, формула прямоугольников со средней точкой и формулатрапеций являются формулами второго порядка аппроксимации, однакоконстанта погрешности у формулы прямоугольников в два раза меньше.3.

Оценка погрешности формулы Симпсона, как и в случае формулыпрямоугольников со средней точкой, может быть повышена на единицу,если рассматривать среднюю точку интервала как кратный узел интерполяции с известной производной, тогда интерполяционный многочленЭрмита представляется в виде суммы обычного многочлена второго порядка (5), построенного по трем точкам, и добавочного члена, обусловленного кратностью узла интерполяции:184VII.1.1. Оценка погрешности квадратурных формулP3(x) = P2(x) + f (xk, xk + 1, xk + 1/2)(x - xk)(x - xk + 1)(x - xk + 1/2),(1.17)где под разделенной разностью с кратными узлом понимается пределf ( xk , xk 1 , xk 1/ 2 , xk 1/ 2 )  lim f ( xk , xk 1 , xk 1/ 2   , xk 1/ 2   ). 0Для дифференцируемой функции этот предел существует и конечен.Добавочный член к P2(x) является нечетной функцией относительносередины интервала интерполяции, поэтому интеграл от него по отрезку[xk, xk + 1] обращается в нуль, а остаточный член интерполяции позволяетнайти ошибку интегрирования формулы Симпсона на элементарном отрезке:1εk max f IV ( x)24 xk  x  xk 1xk 1 ( x  x )( x  xkk 1 / 2 )2( x  xk 1 ) dx (1.18)xk1max f IV ( x) hk5x2880 k x  xk 1и на всем интервале интегрирования:εbamax f IV ( x) h 4 .2880 xk  x  xk 1(1.19)Аналогично, для формулы (7) со сдвоенными интервалами интерполяции будем иметь оценку погрешности:εbamax f IV ( x) h 4 .180 xk  x  xk 1(1.20)4.

Хотя формула «правило 3/8» строится по большему числу узлов посравнению с формулой Симпсона, однако, как и для формулы трапеций,для нее невозможно улучшить оценку. Это формула также четвертогопорядка аппроксимации:εbamax f IV ( x) h 4 .6480 xk  x  xk 1(1.21)185VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕVII.1.2. Связь между формулами прямоугольников, трапецийи СимпсонаРассматривая приближенное вычисление интеграла на отрезке[xk – h, xk + h] по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, будем иметьI kII  yk  2h ,I kT (2h) (1.22)1( yk 1  yk 1 )  2h  ( yk 1  yk 1 )  h ,2(1.23)I kT (h ) h( y  2 y k  y k 1 ) ,2 k 1(1.24)I kC (h) h( yk 1  4 yk  yk 1 ) .3(1.25)Полусумма (1.22) и (1.23) дает (1.24), т.е.1(1.26)I kT (h)   I kП (2h)  I kT (2h)  .2Аналогично, две третьих (1.22) и одна треть (1.23) в сумме дадут1(1.27)I kC (h)   2 I kП (2h)  I kT (2h)  .3Можно комбинировать формулы из одного класса с разными шагами для увеличения точности, например:1(1.28)I kC (h)  I kT (h)   I kT (h)  I kT (2h)  .3Последний член называется поправкой Ричардсона.VII.2.

Экстраполяция Ричардсона. Правило Рунге практического оценивания погрешности. Алгоритм РомбергаПусть к приближенному вычислению значения I данного интегралаприменяется некая квадратурная формула p-го порядка аппроксимацииI p из семейства составных формул Ньютона–Котеса. Если подынтегральная функция является p раз непрерывно дифференцируемой, тосуществует константа c, такая что выполняется условиеI  I p (h)  c  h p .(2.1)При уменьшении шага вдвое будем иметьp(2.2)I  I p (h / 2)  c1   h / 2  .186VII.3. Квадратурные формулы ГауссаПри малых h постоянные c и c1 близки (их отличие есть величинаO(h) ), тогда имеемI p (h)  c  h p  I p (h / 2)  c1   h / 2   I p (h / 2)  c   h / 2  .pОтсюда можем найтиc  c1   I p (h / 2)  I p (h) hp  h / 2pp.Тогда можно получить уточненное значение интеграла:I  I p (h / 2)   I p (h / 2)  I p (h)   2 p  1 .(2.3)(2.4)(2.5)К полученному равенству (2.5) можно относиться двояко:1) для контроля точности (принцип Рунге практического оценивания погрешности):(2.6)I  I p (h / 2)   I p (h / 2)  I p (h)   2 p  1 .Его применение считается правомочным, если выполнено неравенство2 p  I p (h / 2)  I p (h)   I p (h)  I p (2h)  1  0.1(2.7)2) для повышения порядка точности вычисления интеграла (экстраполяция Ричардсона):(2.8)I  I p (h / 2)   I p (h / 2)  I p (h)   2 p  1  O(h p 1 ) .Применение экстраполяции Ричардсона к формуле трапеций приводит к формуле Симпсона (ср.

Характеристики

Список файлов книги