Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Тогда погрешность интерполяции Rs(t) = f (t) – Ps(t)представляется формулойRs (t ) f ( s 1) ( z )( s  1)!(t  t0 )(t  t1 )(t  t s ),(2.10)где z = z(t) – некоторая точка интервала [α, β].Величина, определенная равенством (2.10), называется остаточнымчленом интерполяции, по аналогии с остаточным членом в форме Лагранжа при представлении функции по формуле Тейлора. Заметим, чтоинтерполяционные формулы в вычислительной математике играют туже роль, что формула Тейлора в математическом анализе.Из формулы (2.10) следует оценкаRs (t ) f( s 1)(t )( s  1)!(t  t0 )(t  t1 )(t  ts ) ,(2.11)где под нормой функции понимается ее максимальное значение на отрезке.144VI.2.4.

О сходимости интерполяционного процессаС минимизацией нормы функцииω(t) = (t – t0)( t – t1)... ( t – ts)связан вопрос об оптимальном выборе узлов интерполяции. На отрезке[–1,1] минимальна норма приведенного многочлена Чебышёва(см. приложение).VI.2.4. О сходимости интерполяционного процессаНа отрезке a ≤ х ≤ b будем рассматривать бесконечную последовательность узлов интерполяцииx11x12 , x22x13 , x23 , x33..............................x ,x ,x ,n1n2n3(2.12),xnn..............................и соответствующую последовательность интерполяционных многочленов Pn(x, f), построенную для некоторой функции f (x), принимающейконечные значения во всех узлах интерполяции.Теорема 4. (Фабера). Какова бы ни была последовательность узлов интерполяции, существует непрерывная функция f, для которой последовательность интерполяционных многочленов расходится.Теорема 5. Для каждой функции f, непрерывной на конечном отрезке, существует такая последовательность узлов интерполяции, чтосоответствующий ей интерполяционный процесс равномерно сходится к f.Теорема 6.

Не существует последовательности узлов, для которой интерполяционный процесс был бы равномерно сходящимся для всякой непрерывной на отрезке функции.Теорема 7. Если функция f имеет ограниченную производную наотрезке, то интерполяционный процесс, в котором за узлы принимаются корни многочленов Чебышёва, сходится равномерно к f.Интерполирующую функцию иногда называют интерполянтом.Гладкий кусочно-многочленный интерполянт называется сплайном.145VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙVI.2.5. Обусловленность задачи интерполяцииИнтерполяционный многочленnPn ( x)   ck k ( x),(2.13)k 0где φk(x) – фиксированные функции, а значения коэффициентов ck определяются из условия совпадения со значениями приближаемой функциив узлах интерполяции, можно записать в видеnPn (x)   f k lk ( x),(2.14)k 0для lk(xi) = 0, k ≠ i, lk(xk) = 1; k, i = 0, 1, …, n.

Многочлены lk(x) иногданазывают фундаментальными полиномами.Придадим значениям функции f (xj) возмущения δf (xj). Интерполяционный многочлен Pn(x, f) заменится многочленом Pn(x, f + δf).Так как Pn(x, f + δf) = Pn(x, f) + Pn(x, δf) в силу линейности (2.14) по f,то возмущение Pn(x, δf), которое претерпевает интерполяционный многочлен, можно оценить какPn ( x, f )  f ( x)n | l ( x) | .k 0(2.15)kЗдесь, как и в (2.11), под нормой функции понимается ее максимальноезначение на отрезке. Это возмущение при заданных узлах интерполяциии фиксированных базисных функциях lk(x) зависит только от f.nВведем в рассмотрение функцию Лебега Ln ( x)   | lk ( x) |.k 0За меру чувствительности интерполяционного многочлена к возмущениям задания функции в узлах f принимается наименьшее число Ln,при котором для каждого f выполнено неравенство(2.16)max | Pn ( x, f ) |  Ln f ( x) .a  x bЧисла Ln = Ln, зависящие от a = x0, x1, …, xn = b, называют константамиЛебега.

Эти числа растут с ростом n. Очевидно, что L n  max Ln ( x).a  x bДля алгебраической интерполяции (φk(x) = xk) в случае равномернорасположенных узлов доказана оценка146VI.3. Тригонометрическая интерполяция2 n 3(n  3/ 2) n  1 Ln  2n1 , n  4 ,т. е.

чувствительность результата интерполяции к погрешностям заданияфункции в узлах резко возрастает с ростом n. Такие погрешности неизбежны как при получении табличных значений в результате измерений,так и в результате округлений.Если узлами интерполяции являются корни полинома Чебышёва, тоLn 2ln n  1  n , 0  n  1/ 4 ,т. е. с ростом n константы Лебега растут очень медленно. Говорят, чтоузлы в нулях многочлена Чебышёва являются асимптотически оптимальными.

В этом случае вычислительная неустойчивость не являетсяпрепятствием для использования интерполяционных многочленов высокой степени. Аналогичная оценка константы Лебега справедлива и привыборе узлов в точках экстремума многочленов Чебышёва.VI.3. Тригонометрическая интерполяцияЗадача (линейной) тригонометрической интерполяции состоит внахождении тригонометрического многочлена вида2 ( x  x0 )2 ( x  x0 ) , sinQn  cosLLnk 0a k cos2k ( x  x 0 )Lnk 1bk sin2k ( x  x 0 )L.(3.1)Здесь k и n – натуральные числа, [x0, xn] – отрезок интерполяции, L = xn –x0 – положительное число (длина отрезка интерполяции), ak и bk – числовые коэффициенты.Теорема 8. (Первый вариант задания узлов интерполяции).

ПустьN = 2n + 1, n – натуральное число. При произвольном задании значенийфункции fm, периодической с периодом L, в узлах сеткиxm LmNL2N,m = 0, 1, …, N – 1существует один и только один интерполяционный тригонометрическиймногочлен147VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ2 x2 xQn  cos, sin, f LLn2kxk 0L  ak cosn 12kxk 1L  bk sin,(3.2)удовлетворяющий равенствамQn(xm) = fm,m = 0, …, N – 1.(3.3)Коэффициенты этого многочлена задаются формулами1a0 Nm02N 1Nak bk N 1m 0N 12Nm 1fm ,bn 1 1N 1 (1)Nmm0 2m   ,f m cos k N Nfm ,k  1, 2,  , n, 2m  f m sin k  ,N N(3.4)k  1, 2,  , n.Теорема 9. (Bторой вариант задания узлов интерполяции). ПустьN = 2n.

При произвольном задании значений функции fm, периодической спериодом L, в узлах сеткиxm LmN,m = 0, 1, …, (n – 1)существует один и только один интерполяционный тригонометрический многочлен2x2xQn  cos, sin, f LLn2kxk 0L  ak cosn 12kxk 1L  bk sin,(3.5)удовлетворяющий равенствам Qn(xm) = fm, m = 0, 1, 2, …,  (n – 1).Коэффициенты этого многочлена задаются формуламиa0 ak 1nfnm 02NN 1m0m,f m cos2kmN,k  1, 2,148, n  1.(3.6)VI.3. Тригонометрическая интерполяцияbk an 2N 1Nm 11NN 1f m sin (1)m0m2kmNk  1, 2,,, n  1.fm ,Теорема 10.

(Произвольное расположение узлов интерполяции наотрезке периодичности). Пусть заданы значения fi: i = 1, …, N, периодической с периодом L функции f(x) в N = 2n несовпадающих точках xi:i = 1, …, N, принадлежащих отрезку [a, b], b – a = L, f(a) = f1 = fN = f(b).Тогда существует один и только один интерполяционный тригонометрический многочлен2 ( x  a )2 ( x  a ) N 1, sin, f    f k  lk ( x ),Qn  cosLL k 0lk ( x ) sin ( x  x1  a )L ( xk  x1 a )sinLsin ( x  xi  a ) ( x  x N 1  a )sinL ( xk  xi a )sinL(3.7)L ( xk  xN 1 a )sinL.(3.8)В произведениях отсутствует сомножитель, соответствующий i = k, такчто lk(xk) = 1.Построенные тригонометрические многочлены обладают определенными преимуществами перед алгебраическим многочленом, построенным по значениям функции в узлах xm.Во-первых, при N → ∞ погрешность тригонометрической интерполяции2x2xR N ( x, f )  f ( x)  Q cos, sin, fLLравномерно стремится к нулю, если f (x) имеет хотя бы вторую производную, причем скорость убывания погрешности автоматически учитывает гладкость f (x), т.

е. возрастает с ростом числа (r + 1) производных:ln N max | RN ( x) |  O  M r 1 r  ,N xM r 1  maxxd r 1 f ( x)dx r 1.(3.9)Во-вторых, чувствительность тригонометрического интерполяционного многочлена к погрешности задания значений fm в узлах с ростомчисла узлов «почти» не возрастает.149VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙЭти два положительных свойства тригонометрической интерполяции, а именно возрастание точности при увеличении гладкости и вычислительную устойчивость, можно придать и алгебраической интерполяции функций на отрезке за счет специального выбора узлов интерполяции и использования алгебраических многочленов Чебышёва, обладающих многими замечательными свойствами.VI.3.1. Обусловленность тригонометрической интерполяцииЧувствительность интерполяционного тригонометрического многочлена к погрешности задания значений fm оценивается следующим образом.

Пусть вместо f = [fm] задана сеточная функция f + δf = {fm + δfm}. Тогда возникающая погрешность2x2xQn  Qn  cos, sin, f  ,LL(3.10)и, следовательно, мерой чувствительности интерполяционного тригонометрического многочлена к возмущению δf входных данных могут служить числа Ln, называемые константами Лебега (см. 2.16):max | Qn |  Ln max | f m | .x(3.11)mТеорема 11. Константы Лебега тригонометрического интерполяционного многочлена удовлетворяют оценке Ln ≤ 2n.Интерполяционный полином на сетке из нулей или экстремумов полиномов Чебышёва наследует от тригонометрической интерполяциислабый рост константы Лебега при увеличении n.VI.4. Классическая кусочно-многочленная интерполяцияРост константы Лебега при увеличении количества узлов сетки, атакже пример простой функции (функция Рунге – см.

Характеристики

Список файлов книги