Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

При p = 1 дополнительныхусловий уже не требуется, так что после извлечения корня и небольшихпреобразований имеем без единой точки интерполяции156VI.5.2. Аппроксимация Падеxarctg x 1  (2 x / )2.Даже такое грубое приближение дает погрешность не хуже 12%.При введении узлов интерполяции точность быстро возрастает (припредлагаемом способе аппроксимации узлы интерполяции нужно добавлять парами).VI.5.2. Аппроксимация ПадеПусть задан степенной рядf ( z )   ck z k ,(5.3)k 0представляющий функцию f(z).Аппроксимация Паде – рациональная функция видаL / M  a0  a1 z  ...

 aL z Lb0  b1 z  ...  bM z M,(5.4)разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением (5.3) до тех пор, пока это возможно. Как и в случае рациональной аппроксимации, весь набор из L + M + 2 коэффициентов определен с точностью до общего множителя. Мы для определенности положим b0 = 1. Теперь имеем L + M + 1 свободных параметров.Потребуем, чтобы коэффициенты тейлоровского разложения функции [L / M] совпадали с коэффициентами при степенях 1, z, z2,..., zL + M в(5.3). Другими словами, должно выполняться соотношениеa  a z  ...

 aL z L ck z k  10 b z1 ...  bk 01MzM O( z L  M 1 ).(5.5)Если ряд (5.3) сходится к f(z) в круге | z | < R, где 0  R   , то последовательность аппроксимаций Паде (5.4) может сходиться в более широкой области.Пример. Чтобы продемонстрировать, насколько хорошо срабатывают аппроксимации Паде в естественных ситуациях, рассмотрим следующий пример.157VI.

ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙf ( z) 1 z / 2339 1  z  z 2  ...1  2z432(5.6)Вычислим аппроксимацию Паде [1 / 1] этой функции из условий (5.5):a0  a1 z339 1  z  z 2  O( z 3 ) ,1  b1 z432или, умножая на знаменатель,39 2  3a0  a1 z  O( z 3 )  (1  b1 z ) 1  z z .32  4Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получимсистему уравнений для коэффициентов Паде-аппроксимации. В нашемпримере приравнивая коэффициент при z2 слева и справа, получимb1= 13/8.

Свободные члены слева и справа дают a0 = 1. И, наконец, изравенства коэффициентов при z можно получить a1 = 7/8. Таким образом, мы нашли1/ 1 1 7z / 8.1  13z / 8На рис. 6.1 приведены для сравнения графики функций f(z), первыетри члена разложения в ряд Тейлора и [1 / 1](z) при z  0 . В частности,7имеем f ()  0.5, 1/1 ()   0.54...13Рис. 6.1.

Функция (5.6), три члена ее разложения в ряд Тейлора и аппроксимацияПаде [1 / 1] этой функции158VI.6. Задачи с решениямиЭтот пример показывает замечательную точность, достигаемую аппроксимацией Паде, которая использует всего три члена разложения.В таблице 1 представлены несколько Паде-аппроксимаций экспоненты, большая часть которых встретится в разделах, посвященныхжестким системам обыкновенных дифференциальных уравнений в качестве функций устойчивости различных методов Рунге–Кутты.Аппроксимация Паде функции exp(z)LM01Т абл и ца 1 .20111 z11 z  z2 / 21111 z1 z / 21 z / 21  2z / 3  z2 / 61 z / 3121 z / 3221 z  z / 21  2z / 3  z / 61  z / 2  z 2 /121  z / 2  z 2 /12VI.6.

Задачи с решениямиVI.6.1. Вывести расчетные формулы для построения свободного сплайнаметодом неопределенных коэффициентов.Р еше н ие. Для построения сплайна можно искать решение на каждом отрезке [xk, xk+1] методом неопределенных коэффициентов в видеS3 ( x, k )  ak  bk ( x  xk )  ck ( x  xk )2  dk ( x  xk )3 .Общее число неопределенных коэффициентов – 4n , где n – количествоотрезков, на которые разбит отрезок [a, b]. Условия интерполяции налевом и правом концах отрезка [xk, xk+1] приh k = xk + 1 – xkдадутak = f(xk), k = 0,1,…, n –1,2(6.1)3ak + bkhk + ckhk + dkhk = f(xk + 1), k = 0,1,…, n –1 .(6.2)Непрерывность первой производной в точке xk слева и справа приведет ксоотношениям вида159VI.

ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙbk – 1 + 2ck – 1hk – 1 + dk – 1h2k – 1 = bk, k = 1,2,…, n –1.(6.3)Непрерывность второй производной2ck – 1+ 6dk – 1hk – 1= 2ck ,k = 1,…, n –1.(6.4)Дополнительные условия свободного сплайна приводят к условиям накоэффициенты2c0 = 0,(6.5)2cn – 1 + 6dn – 1hn – 1 = 0.(6.6)В задаче нет n-го отрезка, искусственно введем коэффициент cn, тогда, положивcn = 0,(6.7)граничное условие (6.6) приведем к виду условия (6.4).Тогда из условия (6.4) со сдвигом индексов имеемdk = (ck + 1 – ck) / (3hk).(6.8)Подстановка (6.8) и (6.1) в (6.2) приводит к соотношениюf(xk) + bkhk + ckhk2 + hk3(ck + 1 – ck) / (3hk) = f(xk + 1), илиbk = (fk + 1 – fk) / hk – hk (ck + 1 + 2ck) / 3.(6.9)Подставляя в (6.3) выражение (6.9) для соседних интервалов послеприведения подобных членов, получим систему линейных уравненийотносительно коэффициентов ck:hk – 1 ck – 1 + 2(hk – 1+ hk) ck + hk ck + 1 == 3 ((fk + 1 – fk) / hk – (fk – fk – 1) / hk + 1).(6.10)Это система с диагональным преобладанием и граничными условиями (6.5) и (6.7), решение этой системы существует и единственно.

Длярешения систем с матрицей трехдиагональной структуры существуетэффективный алгоритм прогонки. После нахождения коэффициентов ckостальные находятся с помощью формул (6.1), (6.9), (6.8).VI.6.2. (Т. К. Старожилова) При исследовании некоторой химическойреакции через каждые 10 минут измерялась концентрация одного из реагентов. Результаты измерений представлены в таблице.t, минC,моль/литр15253545556575700370160130220220220160VI.6.

Задачи с решениямиС помощью интерполяции найти минимальную концентрацию реагента. Метод интерполяции выберите самостоятельно, обоснуйте выборметода интерполяции.Решение. Пронумеруем измерения tn = 15 + nτ, τ = 10, n = 0, 1, …, 6 ипостроим таблицу разностей:N0123456C700 370 160 130 220 220 220(ΔC)n = Cn – Cn-1–330 –210 –30 90 00(Δ2C)n = (ΔC)n+1 – (ΔC)n120 180 120 –90 0(Δ3C)n = (Δ2C)n+1 – (Δ2C)n60 –60 –210 90Изменение концентрации должно описываться гладкой функцией.Решение может быть функцией с затухающими осцилляциями (если положение равновесия, к которому стремится система, есть устойчивыйфокус). Но информацию о решении мы имеем неполную – у нас естьтолько сеточная функция.

Таблица функции такова, что выход на постоянное значение может быть истолкован как проекция на сетку разрывнойфункции. В окрестности разрыва могут возникнуть осцилляции. Чтобыуменьшить их влияние в качестве интерполянта выберем кубическийсплайнStt(t )  mn (tn 1  t )  mn 1 (t  tn ), t [tn , tn 1 ]со свободными граничными условиями:Stt(t0 )  Stt(t6 )  0 .Тогда уравнения для определения mn в случае равномерной сеткизапишутся в видеm0  m6  0,mn 1  4mn  mn 1 n  1,66(Cn 1  2Cn  Cn 1 )  2 (  2C )n ,2, 5.Перепишем систему в видеm0  m6  0,4m1  m2  7, 2,m1  4m2  m3  10,8,161VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙm2  4m3  m4  7, 2,m3  4m4  m5  5,4,m4  4m5  0.Исключения в методе Гаусса будем вести одновременно сверху иснизу, получимm0  m6  0, m1  m2  1m2  1,8,444m3  (10,8  1,8),151552426m3  7, 2  (9  5, 4) 3, 6,151515m4  144m5  (5, 4), m5   m4 .41515Находим все моменты сплайна, которые запишем в виде таблицы00nmn11,3221,9231,845–1,92 0,4860C700370 160 130 220 220 220–330 –210 –309000(C )n  Cn  Cn 1Для того чтобы найти минимум S(t), необходимо проанализировать знаки St(t ) .

Заметим, что вторая производная Stt(t ) неотрицательная наотрезке [t0, t3], так как mn ≥ 0 при n = 0, 1, 2, 3. Следовательно, St(t ) –неубывающая на отрезке [t0, t3]. Вычислим St(t3 ) и St(t2 ) :St(t3 ) m3 (t3  t2 )2  m2 (t3  t3 )2 C3  C2 m3  m2( C )3 2m3  m2,266St(t2 ) m3 (t2  t2 )2  m2 (t2  t3 )2 C3  C2 m3  m2( C )3 m3  2m2,266St(t3 ) 30 36  19, 2 3  6  3, 2  6, 2  0 ,106162VI.6.

Задачи с решениями30 18  38, 4 3  3  6, 4  12, 4  0 .106St(t2 ) Следовательно, на отрезке [t0, t2], функция St′(t) отрицательная, а наотрезке [t2, t3], меняет знак. Оценим St′(t) на отрезке [t3, t4]:St(t ) C  C3 m4  m31(m4 (t  t3 )2  m3 (t  t4 )2 )  426m (t  t4 )2  m4 (t  t3 )2( C )4 m4  m3 3621,8(t  t4 )2  1,92(t  t3 )21,92  100 15,2  15,2  9,6  5,6  0.2020 15,2 Значит, на отрезке [t3, t4] функция St′(t) положительная. Рассмотримпроизводную сплайна на отрезке [t4, t5]:St(t ) C  C4 m5  m41(m5 (t  t4 )2  m4 (t5  t )2 )  5,26St(t5 ) C  C4 m5  m41(m5 (t5  t4 )2  m4 (t5  t5 )2 )  526 04,8  19, 2 0, 48(t5  t4 )2  1,92(t5  t5 ) 2620 04,8  19, 2 48 0  4  2, 4  1,6  0.620На отрезке [t5, t6] Stt(t ) неотрицательная, значит, St′(t) не убывает, тоесть St′(t) > St′(t5) > 11.4 > 0.

В итоге получаем, что минимумы интерполирующего сплайна (функции S(t)) находятся на отрезках [t2, t3], и [t5, t6],что следует из знаков второй производной. Эти экстремумы находятся изусловия St′(t) = 0.C  C2 m3  m21(m3 (t  t2 )2  m2 (t  t3 )2 )  30,26130 18  19, 2(180 z 2  192( z  1) 2 ) 0,20106где z t  t2. Приведя подобные слагаемые, получим163VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ3z 2  96 z  62  0 .Решив квадратное уравнение, выберем корень из условия 0≤ z ≤1:z  16 1186 18631482  186  16 1  1  2   16 .233848 2  48Следовательно, t *  t2  z  t2 Вычислим сам минимум:S (t * ) 31 – точка минимума функции S(t).381C m (m3 (t *  t2 )3  m2 (t3  t * )3 )   2  2  (t3  t * ) 66  C m   3  3  (t *  t2 ) 6  m 2 m 2 2(m3 z 3  m2 (1  z )3 )   C2  2  (1  z )   C3  3  z 66 6 1 31  17 180    192  6 48  48 33 192  17 180  31  160   130 6486  48 61178433 1319(5  313  6 173 )  128 17  3100  482304  8 12483 9, 68  109,92  119, 6.Оценим теперь второй минимум функции на другом отрезке.C  C5 m6  m51(m6 (t  t5 )2  m5 (t  t6 )2 )  6  0,2614,8( 48( z  1)2 )  0 0,206подходящим корнем уравнения является z  1  10 3.

Вычисляем значение минимума в этой точке:S (t ** ) 1C m C m5 (t6  t * )3   5  5  (t6  t * )   6  (t *  t5 ) 66    164VI.7. Задачи на доказательство34,8 0, 48  10 10 220   209.660  3 Ответ: 119,6 моль/литр.VI.6.3. Построить минимальную дробно-рациональную аппроксимациюдля функции f(x) = tg x на интервале 0  x < π/2.Р еше н ие. Функция имеет полюс первого порядка при x = π/2, причемf(x) ≈ (π/2 – 1) –1; при x  0 функция f(x) ≈ x и разлагается в ряд по нечетным степеням x.

Характеристики

Список файлов книги