Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Постройтепо этим данным линейную функцию-интерполянт F(x, y) для точек,находящихся внутри этого треугольника.б). Как будет выглядеть линейный интерполянт F(t), если значенияинтерполируемой функции f (t) = {fn,m, fn + 1,m, fn,m + 1, fn + 1,m + 1} заданы вчетырех точках – вершинах прямоугольника {xn, ym}, {xn + 1, ym},{xn, ym + 1}, {xn + 1, ym + 1}?VI.8.18.
Выбрать вид аппроксимации Паде и найти коэффициенты аппроксимации для функцийа) f(x) = x exp(– x);б) f(x) = x2 exp(– x);в) f(x) = x2 exp(– x2).VI.8.19. Вычислить определительW ( x1 , x2 ,111, x2n 1 ) sin x1sin x2cos x1cos x2sin 2 x1sin 2 x2cos 2 x1cos 2 x2cos nx1cos nx2sin x2 n 1 cos x2 n 1 sin 2 x2 n 1 cos 2 x2 n 1cos nx2 n 1Указание. Воспользоваться представлением Эйлера eix = cos x + isin x.Ответ: W ( x1 , x2 , , x2 n 1 ) 22 n2sinx j xi.2VI.8.19.
Как ведет себя оценка погрешности в задаче экстраполяции приудалении точки t от интервала [t0, tN]? Использована равномерная сетка.Рассмотреть случаи t [tN, tN + τ], t [tN + τ, tN + 2τ], t [tN + 2τ, tN + 3τ]..Ответ: при t tN , tN RN (t ) N 1 max f ( N 1) () ,1 i j 2 n 1[ t0 , tN ]171VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙпри t tN , tN 2 RN (t ) ( N 2) N 1Ппри t tN 2, t 3 RN (t ) max[t0 , tN 2]( N 2)( N 3)2! N 1f ( N 1) () ,max[t0 , t N 3]f ( N 1) () .VI.9. Практические задачиVI.9.1. Методом обратной интерполяции найти корень нелинейногоуравнения, используя приведенные таблицы.
Оценить точность полученного решения.а)б)в)г)д)е)x2 ln x 4 0xf(x)x1=1.5–1.345x2=1.6–0.970x3=1.90.252x4=20.693ex02xf(x)x1=0.20.029x2=0.25–0.080x3=0.27–0.122x4=0.3–0.185( x 1)2 x1=0–1xf(x)4 x cos x 04 x2 e x 0xf(x)x2=0.1–0. 595x1=0.50.288x3=0.30.245x2=0.60.086x4=0.51.122x3=0.7–0.135x cos x 0xf(x)x1=0.5–0.378x2=0.6–0.225x3=0.80.103x2 sin x 0xf(x)x1=0.5–0.229x2=0.6–0.205x3=0.8–0.077x4=0.8–0.392x4=10.460x4=10.159Ответ: а) x = 1.850; б) x = 0.213; в) x = 0.243; г) x = 0.651; д) x = 0.731;е) x = 0.877.VI.9.2. Для функции, заданной таблично, найти значение первой производной в указанной точке с максимально возможной точностью с помощью интерполяции, методом неопределенных коэффициентов.a)x1=0x2=1x3=3x4=4x5=5f (5) ? xf(x)0.50.30.30.20.1172VI.9. Практические задачиb)f (0.3) ?c)f (3.) ?d)f (2.) ?e)f (3.) ?x1=05x2=0.12.5x3=0.23x4=0.3–2.5x5=0.4–0.2xf(x)x1=0.4x2=1.2.5x3=2.1x4=3.–1x5=4.–2xf(x)x1=0.1x2=1.0.5x3=2.0.3x4=5.0.2x5=7.0.1xf(x)xx1=0.x2=2.x3=3.x4=5.x5=7.f(x)–10235Ответ: a) f (5) 0.085 , b) f (0.3) 58.
, c) f (3) 23/12 1.9 ,d) f (2) 2.18 , e) f (3) 1.6 .VI.9.3. Функция y(x) задана таблицей–3–7xy021457Найти значение x, при котором y(x) = 1.VI.9.4. Функция y(x) задана таблицейxy–5–22–3–426650Найти значение x, при котором y(x) = 10.функцииНаотрезке[2, 5]длядробно-линейнойx 3,5y ( x) построить квадратичный интерполяционный полиx 3 3,5ном в форме Ньютона на сетке из нулей полинома Чебышёва. Оценитьпогрешность данного метода интерполяции.VI.9.5.функцииНаотрезке[2, 5]длядробно-линейнойx 3,5y ( x) построить интерполяционный полином в форме Лаx 3 3,5VI.9.6.173VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙгранжа на сетке из экстремумов полинома Чебышёва с тремя нулями наданном отрезке.
Оценить погрешность этого метода интерполяции.VI.9.7. На области определения функции f(x) = arcos(x) построить ее интерполянт по 4 точкам с максимальной точностью. Какую сетку Вамследует использовать?VI.9.8. Для четной функции, заданной таблично, построить тригонометрическую интерполяцию с максимальной точностьюxf011/401/6–21/2–5115/407/6–23/2–5VI.9.9.
Для нечетной функции с периодом T = 1, заданной таблично, построить тригонометрическую интерполяцию с максимальной точностьюx1/81/61/3f122VI.9.10. На области определения функции f(x) = arcsin(x) построить ееалгебраический интерполянт по 5 точкам с максимальной точностью.Какую сетку при этом Вы должны использовать?VI.9.11. Для функции, заданной таблично30,25xf4–0,25–0,1вычислить корень уравнения f (x) = 0 с использованием свободногосплайна.
Для решения кубического уравнения использовать метод простых итераций. Доказать его сходимость.VI.9.12. Функция задана следующей таблицей. Определить значениеаргумента, при котором функция обращается в ноль:а)xf(x)0.1–0.90.2–0.60.30.30.40.6б)xf(x)–10.300.11–0.12–0.2Указание . Использовать обратную интерполяцию.VI.9.13. Про функцию известно, что она имеет максимум при x = 1 и еезначение равно 1. В точке x = 2 ее значение равно 0, а первая производная равна 3. Приблизить функцию интерполяционным полиномом наотрезке [1, 2].174VI.9.
Практические задачиVI.9.14. Про функцию известно, что она имеет минимум при x = 1 и еезначение равно 1. В точке x = 0 ее значение равно 5, а первая производная равна –3. Приблизить функцию интерполяционным полиномом на[0, 1].VI.9.15. Для функции sin(x), заданной в девяти узлах 0; ±π/6, ±π/4, ±π/3,±π/2, построить интерполяционный многочлен, позволяющий вычислитьзначение sin 20° c точностью ε = 10–2, записав его в виде алгебраическогомногочлена.VI.9.16. Среди всех многочленов вида 3x3 – a2x2 + a1x + a0 найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на [0,2].VI.9.17.
Дана таблица значений y(x). Построить интерполяционный многочлен степени не выше третьей, записав его в форме Лагранжа, в формеНьютона и в форме P4(x) = a0x4 + a1x3 + … a4:а)xy–316–27–1401б)xy–17–219032–5VI.9.18. Зависимость y = f(x) задана таблицей13xy27313421531643757Вычислить f (x), используя линейную, квадратичную и кубическую интерполяции при следующих значениях x:а) x = 2.1; б) x = 2.9; в) x = 3.1; г) x = 3.8; д) x = 5.8.VI.9.19. Пусть за узлы интерполяции приняты нули многочлена Чебышёва Tn + 1(x), т.е. точки xk = cos((π + 2πk)/(2n + 2)), k = 0, 1, 2, … , n.а) По заданной таблице функцийxyx0y0x1y1……xn – 1yn – 1xnynnзаписать интерполяционный полином Pn(x) в форме Pn ( x) ck Tk ( x) ,т.е. выписать формулы для вычисления ck.175k 0VI.
ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙnб) Осуществить вычисления и привести многочлен Pn ( x) ck Tk ( x) квиду Pn(x) = a0xn + a1xn – 1+ … an в случае n = 2 для функцииxyx02x11k 0x23Указание: многочлены Чебышёва определены следующим образом(см. приложение): T0(x) = 1;T1(x) = x;Ti + 1(x) = 2x Ti(x) – Ti – 1(x),i = 1,2,…Многочлены Tk(x), k = 1, 2, … , n, образуют ортогональный базис в пространстве сеточных функций, определенных в точках x0, x1, …, xn –нулях полинома Tn + 1(x).VI.9.20.
Пусть в узлах xk = k / (n + 1), k = 1, 2, … , n, заданы значения периодической с периодом 1 функции y = f (x).Пусть заданная периодическая с периодом 1 функция f(x) нечетная. Какие упрощения при этом возникнут?VI.9.21. Функция y = f(x) задана таблицей0.20500.20792xy0.20520.208130.20650.208960.20690.209900.20750.21053Вычислить f (0.2062), пользуясь линейной, квадратичной и кубическойинтерполяциями. В какой форме – Лагранжа или Ньютона – удобнеезаписывать интерполяционные многочлены?Составить представление о погрешности, используя остаточный членf ( n 1) ( )интерполяции Rn ( x) ( x x0 )( x x1 )...( x xn )(n 1)!и приближенное равенство max f ( k ) ( x) k ! max f ( x j , x j 1 ,..., x j k 1 ) ,xxjгде f(xj, xj+1, …, xj+k+1) – разделенная разность порядка k.VI.9.22.
При исследовании некоторой химической реакции через каждые5 минут определялось количество вещества, оставшегося в системе. Результаты измерений указаны в таблицеtA783.71272.91763.22254.72747.53241.42736.3Определить количество вещества в системе по истечении 25 минут посленачала реакции.176VI.9. Практические задачиУказание . Составить таблицу разделенных разностей.
Из этой табли-цы видно, что уже третьи разности теряют регулярный характер. Поэтому воспользуемся квадратичной интерполяцией.VI.9.23. По заданным значениям функции1–6xy2–12.515.6316найти значение x, при котором y = 0.VI.9.24. Используя таблицу значений функции y = sh x2.24.457xy2.45.4662.66.6952.88.1983.010.019найти значение x, при котором sh x = 5.VI.9.25. Используя значение функции y = lg x, указанные в таблицеxy201.3010251.3979301.4771найти значение x, при котором lg x = 1.35.VI.9.26.
Вычислить положительный корень уравнения z7 + 28z4 – 480 = 0посредством обратного интерполирования.Указание. Вычислить y = z7 + 28z4 – 480 при z = 1.90, 1.91, 1.92,1.93, 1.94. Убедиться, что корень лежит между 1.92 и 1.93.VI.9.27. В таблице приведены результаты измерения плотности воды (D)в интервале температур между 20 и 25 оС. Вычислить плотность водыпри температуре 22.7 оС.tD20 oC0.99823021 oC0.99801922 oC0.99779723 oC0.99756524 oC0.99732325 oC0.997071Указание: составив таблицу конечных разностей, увидим, что третьиразности практически равны нулю. Следовательно, естественно воспользоваться квадратичной интерполяцией.VI.9.28.
Функция f (x) задана таблицей своих значений в узлах интерполяции. Построить кубический сплайн для этой функции, предполагая,что сплайн имеет нулевую кривизну при x = x0 и x = x4. Вычислить приближенное значение функции в точке x*. Предложить способ вычис-177VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙленияинтегралаотбыстроосциллирующейфункцииx4I f ( x) sin100 pxdx .x0а) x*=1.5x0 = 00.00000x1 = 10.50000x2 = 20.86603x3 = 31.00000x4 = 40.86603б) x*=0.8x0=0.1–2.3026x1=0.5–0.69315x2=0.9–0.10536x3=1.30.26236x4=1.70.53063x1 = 1.71.3038x2 = 3.41.8439x3 = 5.12.2583x4 = 6.82.6077в) x*=3.0x0 = 00.00000г) x*=0.1x0 = –0.41.9823x1 = –0.11.6710x2 = 0.21.3694x3 = 0.51.0472x4 = 0.80.64350д) x*=1.5x0 = 01.00000x1 = 11.5403x2 = 2.01.5839x3 = 3.02.0100x4 = 4.03.3464Ответы.а) Отрезок [1,2] a = 0.5 b = 0.451808 c = –0.0722874 d = –0.134956f(x*) = 0.706145.б) Отрезок [0.5,0.9]a = –0.693147b = 2.72502c = –4.86964d = 4.32685 f(x*) = –0.197082.в) Отрезок [1.7,3.4]a = 1.30384b = 0.535474 c = –0.204257d = 0.0447927 f(x*) = 1.75317.г) Отрезок [–0.1,0.2] a = 1.67096b = –1.02012 c = 0885522d=–0.128102 f(x*) = 1.46946.д) Отрезок [1.,2.]a = 1.54030b = 0.252035c = –0.432401d = 0.223917 f(x*) = 1.58621.VI.9.29.
(Т. К. Старожилова) При исследовании некоторой химическойреакции через каждые 10 минут измерялась концентрация образующего178VI.9. Практические задачися в ходе реакции вещества. Результаты измерений представлены в таблице.t, минC,моль/литр1010203403055040580504906049070490С помощью интерполяции найти максимальную концентрацию вещества. Метод интерполяции выберите самостоятельно, обоснуйте выборметода интерполяции.VI.9.30. (Т. К. Старожилова) При исследовании некоторой химическойреакции через каждые 2 секунды измерялась температура смеси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
