Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Аналогично примеру из п. 5.1 будем аппроксимироватьf 2(x). Для передачи полюса будем искать аппроксимацию в видеf 2 ( x)  tg 2 ( x) x21  4 x2Pp ( x 2 )22/ 2  Qq ( x )p  q 1.;Соотношение степеней этих многочленов может быть произвольным, нодолжно выполнятьсяPp (0)Qq (0)Pp (2 / 4) 1,Qq (2 / 4)64.4Даже не привлекая ни одного узла интерполяции, можно взятьP1 ( x 2 )  1   4 / 2  256 / 6  x 2 , Q0 ( x 2 )  1.Это уже дает точность не хуже 0,2% на всем отрезке интерполирования.VI.7. Задачи на доказательствоVI.7.1. Докажите, что при выборе в качестве узлов интерполяции нулейполинома Чебышёва n + 1 степени алгебраический интерполяционныйполином можно записать в видеnPn ( x, f )   ak Tk ( x),k 0гдеa0 1nn 1m0f mT0 ( xm ),ak 2nn 1Здесь n + 1 – число узлов интерполяции.165m0f mTk ( xm ) .VI.

ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙVI.7.2. Докажите, что при выборе в качестве узлов интерполяции экстремумов полинома Чебышёва алгебраический интерполяционный полином можно записать в видеnPn ( x, f )   ak Tk ( x),k 0где коэффициентыa0 ak an 12n1n1n( f0  f n ) 1n 1nm 1( f 0  (1) k f n ) ( f 0  (1) n f n ) 2f mT0 ( xm ),n 1nm 11n 1nm 1f mTk ( xm ),f m (1) m Tn ( xm ).Здесь n + 1 – число узлов интерполяции.VI.7.3.

Доказать, что если узлы интерполяции расположены симметрично относительно некоторой точки c, а значения интерполируемой функции в симметричных узлах равные, то интерполяционный многочлен вформе Лагранжа ― четная функция аргумента x – с.VI.7.4. Разности функции f(x) с постоянным шагом h в точке x определяются для k = 0, 1, 2, … по следующим формулам:0 f  x   f  x  ,k f  x   k 1 f  x  h   k 1 f  x  , k = 1, 2, …Показать, чтоf  x   f  x  h   f  x  ,2 f  x   f  x  2h   2 f  x  h   f  x  ,.........k k f  x     1j 0k jCkj f  x  jh 166VI.7. Задачи на доказательствоVI.7.5. Пусть f (x) есть многочлен степени n.

Доказать, что тогда разность k f(x) порядка k  n есть многочлен степени n – k. В частности,при n = k n f(x) = const.Указание. 0 f(x) = f(x), k f(x) = k–1 f(x + h) – k–1 f(x), k = 1, 2, ...VI.7.6. Разделенной разностью порядка n с шагом h функции f(x) называ1 nется величинаПоказать, что для многочлена f  x .hnP2(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an разделенная разность порядка n совпадает сd n Pn  x 1производной порядка n: n  n Pn  x   a0 n ! .,,hdx nVI.7.7. Пусть разделенная разность n-го порядка f(x0,x1,…,xn) = 0 длялюбых a = x0 < x1 < …< xn = b.

Доказать, что тогда f(x) на отрезке [a,b]есть алгебраический полином степени не больше n.VI.7.8. Доказать методом математической индукции, что разделеннаяразность n-го порядка f(x0,x1,…,xn) может быть представлена в видеnf ( xk ).f ( x0 ,x1 ,..., xn )= k 0  ( xk  x j )j kVI.7.9. Функция e приближается на [0,1] интерполяционным многочленом степени 3 с чебышевским набором узлов интерполяции: 2k  1  , k = 14.1 1xk   cos2 28Доказать, что погрешность интерполяции в равномерной норме не превосходит величины 10–3.xVI.7.10.

При единственном n-кратном узле интерполяции x = (a + b)/2интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает с отрезком ряда Тейлораn 1Pn 1 ( x)  k 0f ( k )  ( a  b) / 2 k! x  ( a  b) / 2  k .Доказать, что погрешность интерполяции с единственным кратным узлом в 2(n – 1) раз больше погрешности интерполяции с оптимальным (каким?) выбором узлов интерполяции.VI.7.11. Показать, что на равномерной сетке норма многочленаωn+1(x) = (x – x0)( x – x1)... ( x – xn),167VI.

ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙn 1 ( x)  n!hn 1 , h  ( xn  x0 ) / n .VI.7.12. Докажите, что если f  [a, b] ― целая (то есть f есть ограничениена отрезок некоторой аналитической во всей комплексной плоскостифункции, принимающей вещественные значения на вещественной оси иимеющей особенности только в бесконечности), то для произвольногочисла q > 0 найдется A(q) > 0, такая, что для любой системы узлов интерполяции выполнена оценка ||f (x) – Pn(x0,…,xn,f)|| ≤ Aqn.Указание. Воспользоваться интегральным представлением Коши дляоценки f (n+1)(ξ).VI.7.13.

Докажите, что на равномерной сетке на отрезке [–1, 1] интерпо1ляционный процесс, примененный к функции Рунге R( x) ,1  25 x 2расходится.Указание. Воспользуйтесь доказательством, которое получено прирешении предыдущей задачи с соответствующими модификациями.Что можно сказать о сходимости интерполяционного процесса для этойфункции на равномерной сетке на [0, 2]?Что можно сказать о сходимости интерполяционного процесса для этойфункции на сетке из нулей многочленов Чебышёва?VI.7.14. Докажите, что константа Лебега не зависит от длины отрезкаинтерполяции, а зависит только от взаимного расположения точек наотрезке.VI.7.15.

Докажите, что алгебраический интерполяционный полином,построенный на сетке из нулей полинома Чебышёва, совпадает с тригонометрическим интерполяционным полиномом.VI.8. Теоретические задачиVI.8.1. С каким шагом надо составить таблицу значений функцииy = f(x), чтобы при использовании линейной интерполяции погрешностьне превосходила 10 –3:а) f(x) = sin x, б) f(x) = ln x, x  1, в) f(x) = e x, 0  x  1?VI.8.2. С каким шагом надо составить таблицу значений функцииy = f (x), чтобы погрешность квадратичной интерполяции не превосходила 10 –3а) f(x)=sin x;б) f(x) = ln x, x ≥ 1в) f(x) = e x, 0 ≤ x ≤ 1?168VI.8.

Теоретические задачиСравнить с результатом предыдущей задачи.VI.8.3. С какой точностью можно вычислить sin5o по известным значениям sin 0o, sin 30o, sin 45o, sin 60o, используя интерполяцию: а) линейную, б) квадратичную, в) кубическую?VI.8.4.

Построить тригонометрический интерполяционный полиномвторой степениT2(x) = a0 + a1 cosx + b1 sinx + a2 cos2x + b2 sin2x,удовлетворяющий условиямT2(0) = 0, T2(/4) = 1, T2(/2) = 1, T2(3/4) = 1, T2() = 1.VI.8.5. Пусть xi  a  b  a  i  1 ,i = 1  n. Вычислить ||ωn(x)|| приn 1n = 2, 3, 4.nУказание:   x     x  xi  .i 1VI.8.6. С какой точностью имеет смысл задавать значения таблицыf(x) = sin x на отрезке [0,1], если шаг таблицы h = 0.1 и предлагается использовать линейную интерполяцию?VI.8.7. С какой точностью можно извлечь кубический корень из 1200,интерполируя функцию f  x   3 x между узлами x0=103, x1=113=1331,x2=123=1728?VI.8.8. Оценить погрешность приближения функции e x интерполяционным многочленом Лагранжа L2(x), построенным по узлам x0 = 0,0,x1 = 0,1, x2 = 0,2 в точке а) x = 0,05, б) x = 0,15.1приближается на [–4,–1] многочленомA2  xЛагранжа по узлам x0 = –4, x1 = –3, x2 = –2, x3 = –1.

При каких значениях Aоценка погрешности в равномерной норме не превосходит 10 –5?VI.8.9. Функция f  x  VI.8.10. Составляется таблица значений функции y = sin x в неравноотстоящих точках x0 < x1 < x2 < … < xn,maxj(xj+1 – xj) = h = const.а) При каком h линейная интерполяция позволяет восстановить sin xс точностью 10–4 между узлами?б) Ответить на тот же вопрос для квадратичной интерполяции.169VI. ТАБЛИЧНОЕ ЗАДАНИЕИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙв) Какова в обоих случаях допустимая неточность в задании табличных значений, увеличивающая погрешность полученной интерполяции не более чем вдвое, т.е.

до 2 · 10–4?Ответить на последний вопрос при дополнительном предположении, что шаг сетки xj+1 – xj = h постоянен и без этого дополнительногопредположения.VI.8.11. Задана табличная функцияxsin(x)00π/60.5π/40.71π/30.87С какой точностью можно восстановить значение в точке x = π/5, еслиизвестно, что функция в узлах задана с абсолютной погрешностью, непревосходящей 10–2?VI.8.12. Задана табличная функцияx0π/6π/4π/3cos(x)10.870.710.5С какой точностью можно восстановить значение в точке x = π/5, еслиизвестно, что функция в узлах задана с абсолютной погрешностью, непревосходящей 10–2?VI.8.13. Задана табличная функцияx0π/6π/4π/3sin(x)00.50.710.87С какой точностью можно восстановить значение в точке x = 7π/24, еслиизвестно, что функция в узлах задана с абсолютной погрешностью, непревосходящей 10–2?VI.8.14.

Задана табличная функцияxcos(x)01π/60.87π/40.71π/30.5С какой точностью можно восстановить значение в точке x = 7π/24, еслиизвестно, что функция в узлах задана с абсолютной погрешностью, непревосходящей 10–2?VI.8.15. Значения интерполируемой функции f (t) заданы в узлах t1, t2, t3.Постройтедробно-рациональнуюфункцию(интерполянт)F(t) = (a0 + a1t)/(d0 + t), так чтобы f (ti) = F(ti), i = 1, 2, 3.170VI.8.

Теоретические задачиVI.8.16. Пусть значения интерполируемой функции f (t0), f (t1) и ее первой производной f '(t0), f '(t1) заданы в двух узлах сетки: t0, t1.3а) Постройте интерполянт p3  t    ai t i , удовлетворяющий услови0ям: f (t0) = p(t0), f '(t0) = p'(t0), f (t1) = p(t1), f '(t1) = p'(t1),б) Как будет выглядеть остаточный член такой интерполяции?VI.8.17. а). Пусть на плоскости заданы координаты трех вершин треугольника L, M, N: {1, 1}, {3, 3} {2, 4} и значения интерполируемойфункции fi = f (xi, yi), i = 1, 2, 3 (в этих точках соответственно).

Характеристики

Список файлов книги