Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Предложить сходящийся вариант метода простой итерации дляпоиска всех корней нелинейного уравнения tg x = x.Ответ: x(k 1) arctg x(k ) l , l – номер корня.IV.11.26. Выписать формулу метода простых итераций для поиска корнянелинейного уравнения. Начальное приближение к корню определитьграфически. Оценить априорно число итераций, необходимое для достижения точности ε = 0.001.а) x3 – x + 1 = 0;б) sin x – x2 + 1 = 0;г) tg x – 5x2 + 1 = 0, x [ –1, 1];д) x3 – x + 1 = 0.IV.11.27. Выписать формулу метода Ньютона для поиска корня нелинейного уравнения.
Начальное приближение к корню определить графически. Оценить априорно число итераций, необходимое для достиженияточности ε = 0.00001.a) ln(x + 2) – x2 = 0;б) ex – 2x – 2 = 0;108IV.11. Теоретические задачив) ln(x + 2) – x2 = 0.г) exp x – 2x – 2 = 0.IV.11.28. Выписать формулы метода простых итераций для поиска решения системы нелинейных уравнений, лежащего в первой четвертиа) x2 + x + 2y2 – 3 = 0, 2x2 + y – xy – 7 = 0;б) x2 – x + y2 – 1 = 0, y – tg x = 0;в) 2x – cos y = 0, 2y – ex = 0;г) exy + x – 4 = 0, x2 – 4y – 1 = 0;д) 2x – cos y = 0,2y – exp x = 0;Доказать сходимость метода. Начальное приближение определитьграфически.IV.11.29. Построить сходящийся метод простых итераций для поискаточек пересечения кривыха) x2 + y2 = 25, (x + 3)y = 1,б) x – tg y = 0, (x – 1) y =7.IV.11.30.
Построить алгоритм метода Ньютона для решения системыуравнений. Сходится ли метод при выборе в качестве начального приближения точки M?а) x – y3 = 1, (x + 3)(y – 1) = 5, M = (0, 0).б) x2 – y3 = 1, 4x2 + 25y2 = 225, M = (1, 1).IV.11.31. Предложить сходящийся итерационный метод (простых итераций) вычисления полуширины функции на полувысоте;а) x [0, + ∞) y(x) = 2xe-xб) x [0, + ∞) y(x) = x/(4 + x)3в) x [0, + ∞) y(x) = x exp(– (x + 1)2)IV.11.32.
Предложить метод простой итерации и определить область егосходимости для решения уравнения x = e2x – 1.IV.11.33. Определить порядок сходимости итерационного метода привычислении корня x = √a по формулеxn+1 = xn – (11xn4 – 4xn2a + a) (xn2 – a)/16 xn5.IV.11.34. Локализовать действительные корни алгебраического уравнения, выбрать точку начального приближения, написать итерационнуюформулу метода Ньютона для уточнения одного из действительных корней уравнения, проверить выполнения условий сходимости метода ипривести оценку достижения заданной точности при вычислениях8x4 + 4x3 – 14x2 – x + 2 = 0.109IV.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙIV.11.35.* Уравнение зависит от времени t, причем при t = 0 решенияочевидны. Предложить итерационный алгоритм (продолжения по параметру) для отыскания положения этих корней в зависимости от t за время от t = 0 до t = 1.а) tx3 + x2 – 1 = 0.Выяснить, при каком значении t эволюция отрицательного корнязаканчивается его исчезновением.б) tx4 + x2 – 5x + 6 = 0.IV.11.36. Для уравнения 0.01 sin(πx/2) + x2 – 1 = 0 получить выражениедля приближенных значений корней, используя метод продолжения попараметру.IV.11.37. Определить порядок сходимости итерационного метода длявычисления каждого из корней уравнения x3 + 1.5x2 – 0.5 = 0:52111x( n 1) x( n ) ( n ) 99 4x72( x( n ) )2 72( x ( n ) )3Ответ: третий порядок для корня x = 0.5 и первый для кратногокорня x = –1.IV.12.
Практические задачиIV.12.1. Найти все действительные решения уравнения0.001x5 + x2 – 1 = 0с точностью а) до 0.1; б) до 10–6Указание. Грубое приближение найти, используя метод деления отрезка пополам. Более точное – с помощью метода Ньютона.IV.12.2. Написать формулу метода Ньютона для итерационного решениясистемы нелинейных уравненийtg(y – x) + xy = 0,3,x2 + y2 = 1,5и провести расчет для определения решений с точностью 10–6.IV.12.3. Выписать формулы подходящего способа последовательныхприближений для нахождения положительного корня уравненияx – x3 + 0.1 = 0.Выбрав начальное приближение, оценить необходимое число итерацийдля достижения точности ε = 10 –3.IV.12.4.
Отделить корни следующих уравнений, а затем уточнить одиниз них с помощью подходящего итерационно процесса110IV.12. Практические задачиа) 2x2 + 5x – 3 = 0,б) 3x + 4x3 – 12x2 – 5 = 0,в) (0.5)x + 1 = (x – 1)2,г) (x – 3)cos x = 1, –2π ≤ x ≤ 2π,д) arctg(x – 1) + 2x = 0,e) x2 – 20sin x = 0,ж) 2tg x – x/2 + 1 = 0,з) 2lg x – x/2 + 1 = 0,2и) x – e /5 = 0,к) ln x + (x – 1)3 = 0,л) x 2x = 1,м) (x + 1)0.5 = 1/x.xIV.12.5. Вычислить с точностью ε = 10 –3 координаты точек пересечениякривыха) sin(x + 1) – y = 1.2,2x + cos y = 2;б) tg(xy + 0.4) = x2,0.6 x2 + 2y2 = 1;в) cos(x – 1) + y = 0.5,x – cos y = 3;г) sin(x + 2) – y = 1.5,x + cos(y – 2) = 0.5.IV.12.6.
Задана система уравнений, зависящих от времени t. Найти координаты точек пересечения при t = 0 и координаты точек пересечения,полученные при эволюции этих точек при изменении t от t = 0 до t = 1.а) x + y + 0.01 t x3y3 = 1,x – y – 10 –3t cos(x2y) = 2;б) x + 2y + 10 –3t e xy = 1,2x + y + 10 –2t x 2y 3 = –1;в) 2x – y + 10 –2tsin(xy 2) = 5,5x + y + 10 –2 t x 4y 2 = 2.Указание. Воспользоваться методом продолжения по параметру, см.например [Федоренко].IV.12.7. Отыскать с точностью до ε = 10 –5 все точки пересечения следующих линий:а) 2x2 – xy – 5x + 1 = 0,x + 3lg x – y2 = 0;б) (x – 1.4)2 – (y – 0.6)2 = 1,4.2x2 + 8.8y2 = 1.42;в) x2y2 – 3x3 + 6y3 + 8 = 0,x4 – 9y + 2 = 0;г) sin x – y = 1.32,cos y – x = – 0.85;111IV.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙд) x7 – 5x2y4 + 1510 = 0,y3 – 3x4y – 105 = 0.IV.12.8. (Е. Н. Аристова) Методом простой итерации найти ширинуфункции на полувысоте с точностью 10–3:a) f ( x) x exp 1/( x 2) , 0 x 2 ;b) f ( x) x exp( x2 ), x 0 ;c) f ( x) ln x / x2 , x 1 ;d) f ( x) ln x / x, x 1 ;e) f ( x) x exp( x), x 0 .Ответ.a) Т.
Max xmax 1, fmax 1/ e,f ( x) fmax / 2 : x1 0.335, x2 1.528, 1/2 x2 x1 1.193 .b) Т. Max xmax 1/ 2, f max 1/ 2 exp(1/ 2),f ( x) fmax / 2 : x1 0.226, x2 1.359, 1/2 x2 x1 1.133 .c) Т. Max xmax e , f max 1/ (2e),f ( x) fmax / 2 : x1 1.123, x2 3.816, 1/2 x2 x1 2.693 .d) Т. Max xmax e, fmax 1/ e,f ( x) fmax / 2 : x1 1.261, x2 14.561, 1/2 x2 x1 13.300 .e) Т. Max xmax 1/ 2, fmax 1/ 2 exp(1/ 2),f ( x) fmax / 2 : x1 0.051, x2 1.846, 1/2 x2 x1 1.795 .IV.12.9. (Е.Н.
Аристова) Профиль лазерного импульса по времени аппроксимируется формулойf (t ) (t / tm )2n exp(n(t / tm )2 ) ,в которой tm имеет смысл времени максимума лазерного импульса и (всилу большой степени касания в нуле) неточно измеряется в эксперименте. Известно, что эта величина примерно равна 400 пс. Найти целоеn, наиболее хорошо описывающее экспериментальный профиль, еслиизвестно, что ширина импульса на полувысоте, измеряемая точно, равна320 пс.Ответ.
Для n = 1 tm = 277 пс, для n = 2 tm = 388 пс, для n = 3tm = 474 пс. Поэтому выбираем n = 2.112VI.13. Библиографическая справкаVI.13. Библиографическая справкаИтерационным методам решения нелинейных уравнений и системпосвящена обширная литература. Для первоначального изучения вполнедостаточно ознакомиться с основными идеями и теоремами по книгам[2–6].С итерационными методами решения нелинейных систем тесно связаны различные дискретные отображения. Решение задачи циклах в логистическом отображении восходит к [23]. В данном пособии изложениеследует [24].
Часть задач в разделе взята из [8, 20, 22].113V. ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМАФУНКЦИИV.1. Основные понятияОпределение. Пусть на множестве U, состоящем из элементов uлинейного метрического пространства, определена скалярная функцияФ(u).1. Говорят, что Ф(u) имеет локальный минимум на элементе u*, еслисуществует его конечная ε – окрестность, в которой выполнено(u*) (u),2.u u* .(1.1)Ф(u) достигает глобального минимума в U на элементе u* (строгий,абсолютный минимум), если имеет место равенство(u*) inf (u ) .(1.2)UЗамечание . Если U – числовая ось, решается задача на нахождение минимума функции одного переменного, если U – n-мерное векторное пространство, имеется задача на нахождение минимума функции nпеременных, если U – функциональное пространство, то решается задачана отыскание функции, доставляющей минимум функционалу (задачаоптимального управления или динамического программирования).Если к (1.1) или (1.2) добавляются условияuk uk uk , k = 1, …, K,(1.3)Fi i (u) Fi , i = 1, …, I,(1.4)где uk , Fi – числа, a Φi – заданные функции, то это задача на отыскание условного минимума, если подобные ограничения отсутствуют, тоэто задача на отыскание безусловного минимума.
Причем, если функцииФi (u) линейны, задача поиска условного минимума называется задачейлинейного программирования, если хотя бы одна из этих функций нелинейна, то имеется задача нелинейного программирования. Обе эти задачивместе с задачей динамического программирования в теории оптимального управления называются задачами математического программиро114V.1.
Основные понятиявания. Задачи линейного программирования просты с идейной точкизрения, их сложность определяется количеством независимых переменных линейного функционала, количеством дополнительных условийтипа равенств и неравенств (1.3 – 1.4), определяющим геометрию многомерного выпуклого многогранника, в котором ищется минимум. Минимум достигается либо в вершине, либо на ребре, либо на грани и т.д.,и задача состоит в том, чтобы экономно дойти до нужной точки.
В экономических вузах курс линейного программирования длится семестр,этому разделу посвящены отдельные учебные пособия, например[25, 26], поэтому этот раздел здесь опущен.Без ограничения общности мы будем говорить об отыскании минимума функции, так как максимум функции Ф(u) является минимумомфункции – Ф(u).В задачах отыскания экстремума Ф(u) называют целевой функцией.Отметим связь между задачами вычисления корней системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) и минимизации.нийПусть на множестве U Ln решается система нелинейных уравнеf1 (u1,, un ) 0,…f n (u1,(1.5), un ) 0.Определим целевую функцию следующим образом:(u1,n, un ) f k2 (u1,k 1, un ).(1.6)В области U справедливо (u) 0, причем минимальное значениеФ(u) имеет при u = u*, где u* – корень рассмотренной системы.
Поэтому ее решение эквивалентно поиску минимума Ф(u) в U. Если Ф(u)строго больше нуля, то система решений не имеет.Теперь положим, что необходимо найти минимум целевой функцииФ(u), у которой существуют первые производные. В этом случае задачасводится к решению СНАУ(u1 , , un ) 0,u1…(1.7)115V. ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ(u1 , , un ) 0.unТочка, являющаяся решением указанной СНАУ, называется стационарной. Однако не всякая стационарная точка может быть точкой локального минимума целевой функции.Следующую теорему приведем без доказательства.Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
