Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Искать Pk(x) в виде Pk ( x) k C T ( x)j jи воспользоватьсяj 0тем, что многочлен Чебышёва: Tk(x), k = 0, 1, …, n+1 образуют ортонормированную систему векторов на множестве точек x0, x1, …, xn.а) осуществить вычисления в случае n = 3xyx02x11x2380x30III.5. Практические задачиIII.5.
Практические задачиIII.5.1. Для таблично заданной функции путем решения нормальной системы МНК найти приближающий многочлен первой степениа)ixiyiб)ixiyi0–1.0–0.510.00.00–1.00.8660321.00.510.01.032.00.8660321.00.8660343.01.032.00.5054.00.8660343.00.054.0–0.50III.5.2. Задана таблица приближенных значений функции yx a bx3 .Найти y 1 с помощью метода наименьших квадратов.–2–8XY–1–10151128III.5.3.Заданатаблицаприближенныхзначенийфункцииy(x) = a + bx + cx2. Определить коэффициенты a, b, c методом наименьшихквадратов.–3–10xy–2–5–1–20012253103 π/257 π/40III.5.4. Для заданной таблицы значений функции,xy01π/40π/253π/42π–15 π/42Построить обобщенный многочлен P4 ( x)2C eninxнаилучшего средне-n 2квадратичного приближения.III.5.5.
Для заданной таблицы значений функции, где в качестве узлов{xk} выбраны нули многочлена Чебышёва T6(x), определить элементy = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 (ai, i = 0, …, 3 – постоянные) наилучшего среднеквадратичного приближения81III. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВXYx00x1–1x20x30x41x50III.5.6. Найти обобщенное в смысле наименьших квадратов решение переопределенной системы уравненийx + y = 3.0; 2x – y = 0.2; x + 3y = 7.0; 3x + y = 5.0;III.5.7.
Составить программу для вычисления многочлена из задачи III.4.6в заданной точке x = x* [ – 1, 1] при произвольном n и произвольномнаборе чисел y0, y1, …, yn.III.5.8. Известно, что некоторая величина J зависит от времени t следующим образом: J = αe – pt . Измерения величины J, произведенные с одинаковой точностью, дали следующую таблицу зависимости J и t:02.010tJ11.21020.74030.450Найти значения параметров α и p в этой функциональной зависимости.III.5.9.
Сопротивление проволоки R линейно зависит от температуры t:R = a0 + a1t. По результатам следующих экспериментов определить a0 и a1.19.176.3tR25.077.830.179.7536.080.8040.082.3545.183.9050.085.10III.5.10. Выполнить квадратичную и линейную интерполяцию по методунаименьших квадратов для таких исходных экспериментальных данныха)XY0.22.2290.32.1800.71.9720.81.8871.21.6961.41.5901.81.3325.0–14.136.0–22.80Определить y для x = 0.578; x = 0.882; x = 1.356.xyб)1.01.882.00.962.5–0.133.0–2.084.0–6.724.5–10.67Определить y для x = 1.326; x = 3.712; x = 4.698.82III.5.
Практические задачив)xy0.02.3540.52.3071.02.9152.05.4572.26.3002.88.8933.010.0620.83.1491.03.985Определить y для x = 0.87; 2.54; 2.17; 2.91.г)xy–0.53.241–0.32.563–0.12.1380.21.9140.62.514Вычислить значения функции в точках x = 0, 0.378, 0.521, –0.435.III.5.11. Постройте наилучшую среднеквадратическую линейную аппроксимацию для функцииа) f(x) = x 1/2 при x [0; 1];б) f(x) = 1/x при x [1; 2];в) f(x) = ln (1 + x) при x [0; 1];г) f(x) = sin x при x [0; π];д) f(x) = x2 при x [0; 1];е) f(x) = e x при x [0; 1];ж) f(x) = sin x при x [0; π/2].III.5.12. Согласно переписи население США менялось следующим образом:1910 – 92 228 496 человек,1920 – 106 021 537,1930 – 123 202 624,1940 – 132 164 569,1950 – 151 325 798,1960 – 179 323 175,1970 – 203 211 926,1980 – 226 545 805,1990 – 248 709 873,2000 – 281 421 906.Используя многочлены степеней N = 2, 3, 4, 5, построить аппроксимациюэтих данных в смысле МНК. Аппроксимацию можно строить на основебазисных многочленов следующих видов:83III.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВа) f ( x) в) f ( x) NNn 0n 0 cn x n б) f ( x) cn ( x 1910)n ,NNn 0n 0n cn ( x 1955)n г) f ( x) cn ( x 1955) / 45 .Какое представление базисных многочленов является наилучшим?Используйте построенные приближения для предсказания численности населения США в 2010 году и сравните с точным результатом в 308745 538 человек.III.5.13.
В следующей таблице представлены уровни смертностисмертей на сто тысяч человек) для возрастов 20–45 лет в Англиистолетия:2021222324252627431409429422530505459499(числоначала29563378283884630587398363159540916326474195633669421014347464310763576044113436778285264510241) Нарисуйте прямую метода наименьших квадратов для аппроксимации этих данных и исходные данные. Хорошо ли прямая аппроксимирует данные?2) График исходных данных позволяет предположить, что для возрастных интервалов [20, 28], [28, 39] и [39, 45] данные можно приблизитьразличными прямыми. Методом наименьших квадратов постройте приближения на трех этих отрезках отдельно.3) Приближение, построенное в пункте 2), не является непрерывнымв точках 28 и 39. Один из способов обеспечить это свойство – выбратьбазисные функции, обладающие этим свойством. Поскольку для заданиятрех прямых линий нужно шесть коэффициентов, а непрерывность в точках 28 и 39 накладывает две связи на коэффициенты, то потребуется 6 –2 = 4 базисные функции, в качестве которых мы используем четырефункции, изображенные на рис.
3.1.84III.6. Библиографический комментарий112028394520282028394511202839453945Рис. 3.1. Базисные функции МНК для задачи III.5.13Все эти функции определены и непрерывны на отрезке [20, 45], иэтим же свойством обладает и любая их линейная комбинация. Постройтеразложение в смысле метода наименьших квадратов по этим базиснымфункциям. Какая из трех аппроксимаций: 1), 2) или 3) дает наилучшееприближение?III.6.
Библиографический комментарийИзложение материала в данном разделе близко к учебнику [2]. Некоторые задачи взяты из [1]. Ряд практических задач опирается на материалы книги [22].85IV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙIV.1. ВведениеМногие задачи математической физики приводят к необходимостирешать нелинейные уравнения или системы нелинейных уравнений, в томчисле очень большой размерности. В случае нахождения решения нелинейного уравнения одного переменного методы решения делятся на двухточечные, т.е. использующие информацию о локализации корня (об отрезке, на концах которого функция имеет различные знаки), и одноточечные, в такой информации не нуждающиеся.
На случай системы нелинейных уравнений могут быть обобщены только одноточечные методы, т.к. вмногомерном случае не существует понятия локализация корня. В этомразделе рассматриваются основные методы решения нелинейных уравнений и систем.Нелинейные уравнения и системы уравнений решаются с применением итерационных методов. Итерационные методы (их называют такжеметодами последовательных приближений) состоят в том, что решениеx* находится как предел последовательных приближений xn при числеитераций n, стремящемся к бесконечности. Критерии окончания итерационных процессов различны для методов разного порядка сходимости.Этот вопрос будет обсужден для каждого из методов в отдельном разделе.При решении нелинейных уравнений возникают две задачи: указаниеобластей, в каждой из которых находится единственное решение (задачалокализации корней), и задача отыскания какого-либо корня с заданнойточностью (задача уточнения корней).
Для локализации корней не существует общих приемов. Можно использовать построение графиков функции, отыскание участков ее монотонности, участков, на которых функцияменяет знак, теорема Руше (ТФКП) и другие частные приемы.IV.2. Метод деления отрезка пополам (дихотомии)Метод деления отрезка пополам не требует от функции F(x), нуль которой мы ищем, ничего, кроме непрерывности. Это метод двухточечный.Пусть на концах отрезка x [a, b] функция F(x) имеет разные знаки,т.е.
выполнено86IV.3. Методы, основанные на интерполяцииF(a) F(b) < 0.Возьмем среднюю точку отрезка с = (a + b) / 2.Если F(a) F(с) < 0, то переходим к отрезку [a1, b1] = [a, c], в противном случае к отрезку [a1, b1] = [c, b].Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность, т.е. длина очередного отрезка локализации [an, bn] не станетменьше желаемой точности:| an – bn | < .Метод обладает линейной скоростью сходимости:| an – bn | = 2–n | a0 – b0 |.Метод исключительно прост в реализации, всегда сходится к решению, однако методом дихотомии невозможно найти корни четной кратности. Это справедливо для всех методов, использующих локализацию корней.IV.3.
Методы, основанные на интерполяции1. Метод секущих основан на линейной интерполяции функции,нуль которой мы ищем. Метод также является двухточечным.Метод секущих можно рассматривать как приближенную реализацию метода Ньютона (см. ниже) с разностным вычислением первой производной, если аналитическое вычисление производной в силу различныхпричин невозможно.Этот метод существует в двух вариантах – с проверкой знаков и безпроверки знаков.В методе с проверкой знаков предполагаем, что задан отрезок локализации корня x [a, b] .Через крайние точки проводится прямаяF (b) F (a)y yn ( x a) ,baпересечение которой с осью является новымприближением к искомому корню (рис. 4.1):aF (b) bF (a)c.F (b) F (a)Рис.
4.1. Проверка знаков87IV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙВ качестве следующего отрезка локализации выбирается либо отрезок [a, c], либо отрезок [c, b], на концах которого функция имеет различные знаки.Метод секущих без проверки знаков. Метод не требует обязательной локализации корня на отрезке.Через две точки (xn – 1, F(xn – 1)) иn(x , F(xn)) проводится прямая. Абсцисса точки пересечения, полученной таким образомпрямой с осью х, и является новым приближением xn +1 к решению нелинейного уравнения (рис.
4.2).Рис. 4.2. Без проверки знаковВ случае реализации метода секущих без проверки знаков возможен вариант, при котором очередная точка приближения лежит вне области определения функции F(xn).Если корень найден с погрешностью , то линейная интерполяцияустраняет члены порядка O(), новая погрешность должна быть порядкаO(2), т.е. сходимость должна быть квадратичной. На практике даже околопростого корня скорость сходимости хуже и имеет порядок приблизительно 1,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
