Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Сделатьпечать невязок обоих методов. Указать критерий останова итераций метода Зейделя.b1 x1  c1 x2 f1a2 x1  b2 x2  c2 x3 f2a3 x2  b3 x3  c3 x4 f3,а) an xn 1  bn xn  cn xn 1  f npxpxpx f n 1 1 12 2n 1 n 1  pn xn  pn 1 xn 1n = 99, ai = ci = 1, bi = 10, pi = 1, fi = i.б) система п. а) приn = 9, b1 = 1, c1 = 0, f1 = 1,ai = ci = 1, bi = –2, pi = 2, fi = 2 / i2, i = 2, 3, …, n – 1,fn + 1 = –n / 3, p1 = pn +1 = 1.в) система п. а) приn = 19, b1 = 1, c1 = 0, f1 = 1,ai = ci = 1, bi = –2, pi = 2, fi = 2 / i2, i = 2, 3, …, n – 1,fn + 1 = –n / 3, p1 = pn +1 = 1.67II.

ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ x1  x2   x98  x99  x100 x  10 x  x23 1x2  10 x3  x4г) x98  10 x99  x100x99  x100 100 99 9821д) a = 10,ax1  x2  x3  x4  x5 1x1  ax2  x3  x4  x5  x6 2x1  x2  ax3  x4  x5  x6  x7  3x1  x2  x3  ax4  x5  x6  x7  x8 4x1  x2  x3  x4  ax5  x6  x7  x8  x9 5x2  x3  x4  x5  ax6  x7  x8  x9  x10  6 x  x  x  x  ax  x  x  x  xk 3k 2k 1kk 1k 2k 3k 4 k 4x93  x94  x95  x96  ax97  x98  x99  x100  97x94  x95  x96  x97  ax98  x99  x100  98x95  x96  x97  x98  ax99  x100  99x96  x97  x98  x99  ax100  100ax1  b1,2 x2b2,1 x1  ax2  b2,3 x3b3,1 x1  b3,2 x2  ax3  b3,4 x4е)  b99,1 x1  b99,2 x2   b99,98 x98  ax99  b99,100 x100b100,1 x1  b100,2 x2   b100,98 x98  b100,99 x99  ax100a = 10, bij = 1 / i, fi = i.ж) система п.

д) при a = 20.68 f1 f2 f3 f 99 f100kII.10. Практические задачиax1  b1,2 x2 f1b2,1 x1  ax2  b2,3 x3 f2b3,1 x1  b3,2 x2  ax3  b3,4 x4 f3з)  b99,1 x1  b99,2 x2   b99,98 x98  ax99  b99,100 x100  f 99b100,1 x1  b100,2 x 2   b100,98 x98  b100,99 x99  ax100  f 100a = 10, bij = 1 / i, fi = i.и) система п. з) приa = 100, bij = i / j, fi = i. a11 x1  a12 x2 к) a x  a x  n1 1 n 2 2 a1n xnf1 ann xnfnn = 10, aii = 1, aij = 1/(i + j)  i  j , fi = 1/i.л) система п. к) приn = 20, aii = 10, aij = 1/(i + j)  i  j , fi = 1/i. f1c1 x1  d1 x2  e1 x3b x  c x  d x  e x f22 32 4 2 1 2 2a3 x1  b3 x2  c3 x3  d 3 x4  e3 x5 f3axbxcxdxex f44243444546м) am xm  2  bm xm 1  cm xm  d m xm 1  em xm  2  f man 1 xn  3  bn 1 xn  2  cn 1 xn 1  d n 1 xn  f n 1an xn  2  bn xn 1  cn xn fnn = 20, ci = 10, fi = i, i = 1, 2, …, nb i +1 = di = 1, i = 1, 2, …, n – 1ai+2 = ei = 0.1, i = 1, 2, …, n – 2.н) система п.

м) приn = 20, ci = 10, fi = i, i = 1, 2, …, nb i +1 = di = 1, i = 1, 2, …, n – 169II. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫai+2 = ei = 0, i = 1, 2, …, n – 2.ax1  x2  x3 / b x  ax  x  x / b234 1x2  ax3  x4  x5 / bо) xm 1  axm  xm 1  xm  2 / bxn  2  axn 1  xnxn 1  axnn = 100, a = b = 10.123m n 1nb1 x1  c1 x2 f1a2 x1  b2 x2  c2 x3 f2a3 x2  b3 x3  c3 x4 f3п) an xn 1  bn xn  cn xn 1  f n p1 x1  p2 x2   pn 1 xn 1  pn xn  pn 1 xn 1  f n 1n = 99, ai = ci = 1, b = 10 + i, p1 = pn + 1 = 1,pi = 2, fi = i / n .р) система п. п) приn = 49, ai = ci = 1, b = 5, pi = 1, fi = i.с) система п. д) при a = 30.т) система п. з) приa = 10, bij = j / (i + j), fi = i + 2. a11 x1  a12 x2 у) a x  a x  n1 1 n 2 2 a1n xnf1 ann xnfnn = 12, aij = 1, aij = 1 / (i + j)  i  j  , fi = 1 / i.270II.11.

Задачи сверх теоретического минимумаII.11. Задачи сверх теоретического минимумаII.11.1. Найти количество итераций, необходимое для достижения точности 10 –3 при использовании трехслойного метода Чебышёва 26 1 x   . 6 1 1В качестве начального приближения берется x0 = (0, 0)T.Укажите способ построения оптимального набора параметров прииспользовании двухслойного метода Чебышёва.II.11.2. Для матрицы 2 1A 1 2 начните SP-алгоритм с вектора y0 = (1, 1)T. Что получено после выполнения одного полного цикла алгоритма? Дайте объяснение результату.II.11.3.

Система уравнений Ax = f решается с помощью двухслойного метода Чебышёва, начальное приближение нулевое. Оценить число итераций, необходимое для уменьшения первоначальной невязки в N раз, указать набор итерационных параметров. 3 1 1 а) A   2 6 2  , f = (0, 3, 7)T, N = 100, 1 1 9  3 5 Tб) A   , f = (8, 24) , N = 104.7 9Привести расчетные формулы метода Зейделя, исследовать методЗейделя на сходимость.II.11.4.

Дана система7 x1  5 x2  x3  2.2,5 x1  8 x2  2 x3  2.4,x1  2 x2  4 x3  1.6.Найдите четвертое приближение к ее решению по методу минимальных невязок, начиная с нулевого вектора. За сколько итераций по методуЯкоби достигается примерно та же величина евклидовой нормы невязки?Сравните вычислительные затраты, требующиеся для реализации одногошага каждого из этих методов.II.11.5. Методом сопряженных градиентов решите систему71II. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ3x1  2 x2  x3  3,2 x1  2 x2  x3  3, x  x  2 x  6.23 1II.11.6. Даны матрицы 0.1 0.6 0.9  1 2 3 A   1 1 2  и U(0)   0.4 0.9 0.6  . 0.1 0.4 0.1  2 1 1А) Подсчитав невязку R(0) = E – AU0, убедитесь в существованииматрицы A–1 и оцените какую-либо ее норму.Б) Сделайте по два приближения к A–1 методом Шульца второго итретьего порядков и оцените близость полученных приближений к A–1.В) Сравните оценки погрешностей приближений и истинными ошибками, найдя A–1 каким-нибудь прямым методом.II.11.7.

На матрице 10 3 1 A   0.5 5 2  0.1 1 10 сравните поведение методов Шульца второго порядка и Шульца–Зейделя,выполнив по две итерации.II.11.8. Дана матрица 30 12 53 A   42 19 78  . 28 12 51 А) Степенным методом найдите несколько последовательных приближений к доминирующему собственному числу матрицы A и к соответствующему собственному вектору. Зная, что искомое собственное числоесть λ1 = –5, проверьте, насколько эффективно здесь применениеΔ2–процесса Эйткена.Б) Методом обратных итераций найдите младшую собственную пару{λ3, e3} данной матрицы A.

Можно ли утверждать, что λ3 = Λ + λ1, где Λ –наибольшее по модулю собственное число матрицы A – λ1E?II.11.9. Методом вращений Якоби найдите собственные значения и собственные векторы матрицы A:72II.12. Библиографические комментарии 6 2 2 б) A   2 5 0  . 2 0 7 Для n x n матрицы сделайте приблизительный подсчет количестваарифметических операций, приходящихся на:А) один шаг степенного метода;Б) один шаг метода обратных итераций (без сдвигов);В) один полный цикл метода вращений Якоби. 2 1а) A  , 1 2 II.11.10. Для нахождения собственных значений и собственных векторовсимметричных положительно определенных матриц постройте LU –алгоритм на базе UTU (или LLT)–разложения Холецкого. Опробуйте егона матрицах:06 1 5 1а) A  ,б)B152 .12 0 2 1 Сохраняют ли получаемые на каждом шаге такого алгоритма подобные B матрицы трехдиагональную структуру?II.11.11.

Найти количество итераций, необходимое для достижения точности 10–3 при использовании трехслойного метода Чебышёва для решения СЛАУ 26 1x    . 6 1 1Вкачественачальногоприближенияберетсяx0 = (0, 0)T.Укажите способ построения оптимального набора параметров при использовании двухслойного метода Чебышёва.II.12. Библиографические комментарииЧисленные методы линейной алгебры по традиции входят в курсы вычислительной математики, например [2, 4, 5]. О специфике машинных вычислений, о методах прикладной линейной алгебры можно прочитать в [11–15].

Отметим, что многие прикладные методы линейной алгебры развивались в научной школе, сформировавшейся в Новосибирске [17, 18]. В частности, разработаны выскоточные методы решения спектральных задач.В данный раздел авторы включили как оригинальные, так и хорошоизвестные «старые» задачи. Часть задач взята из книг [1, 2, 5, 7, 8, 19–21].73III. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВИдея метода наименьших квадратов связана с именами К.Ф. Гаусса иА.-М. Лежандра. Первый предложил метод решения насущной практической задачи о введении минимальных изменений в геодезические данные,второй плодотворно занимался задачами интерполяции.III.1.1. Переопределенная система линейных алгебраическихуравненийКаноническая запись переопределенной системы линейных алгебраических уравнений имеет следующий вид:a11b1  a1s bs  f1 ,......................................an1b1 n > s.(1.1) ans bs  f n ,Введем пространства Rs и Rn, состоящие из элементов видаb = (b1, …, bs)T, f = (f1, …, fn)Tи имеющие размерности s и n > s соответ-ственно.

Характеристики

Список файлов книги