Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вэтом случае точка называется притягивающей. При 0 < λ <1 x = 0 - притягивающая.Графическое изображение траектории (лесенка Ламерея) представлено на рис. 4.6.Рис. 4.6. Монотонная сходимость к 0Теперь рассмотрим случай 1 < λ < 3. При выполнении условия|fu′| > 1 точка называется отталкивающей. В случае, когда λ > 1, неподвижная точка u = 0 становится отталкивающей, поскольку |f ′(0)| > 1, ана отрезке [0, 1] появляется другая неподвижная точка u1 = 1 - –1. Рассмотрим открытое множество Х = (0, 1). В окрестности неподвижнойточки производная для логистического отображения |f ′(u1)| = |2 - | < 1.Тогда точка u1 при 1 < λ 3 является притягивающей.Отметим, что при 1 < λ 2 f ′(u1) > 0 и траектория { f k (u0 )}k 1стремится монотонно к u1 (рис.
4.7); при 2 < λ 3 f ′(u1) < 0 и траекторияприближается к u1 немонотонно, поочередно принимая значения томеньше, то больше этого значения.101IV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙРис. 4.7. Монотонная сходимость к неподвижной точкеПри λ = 3 точка u1 остается притягивающей, но значение производной в этой точке является предельным: |f ′(u1)| = 1.При значениях параметра логистического отображения λ = 1 и λ = 3неподвижная точка этого отображения теряет устойчивость и появляетсялибо другая устойчивая неподвижная точка, как это произошло в первомслучае, либо притягивающий цикл. Качественное изменение поведениярешения (траектории отображения) при изменении параметра называется бифуркацией.Пусть теперь 3 1 6.
Рассмотрим теперь корни u3, u4 уравнения f 2(u) = u, или 2u2 - (+1)u + (+1) = 0.Если u1 – предельная точка отображения f(u) = u, то она являетсятакже и предельной точкой отображения f 2(u) = u. Действительно,f 2(u1) = f(f(u1)) = f(u1) = u1 где u1 – любая предельная точка рассматриваемого отображения, отличная от корней уравнения f 2(u) = u.
Тогда, знаядва корня уравнения f 2(u) = u, точки u3, u4 легко находятся как корниквадратного уравнения, они естьu3,4 1 2 32 3 .2Эти корни связаны соотношениямиf (u3) = u4, f (u4) = u3.В данном случае говорят, что отображение имеет цикл периода 2,который будем обозначать P2. Его наличие, например, в популяционноймодели говорит об изменении численности особей с периодом в 2 еди102IV.11. Теоретические задачиницы времени.
Траектория для случая такого цикла изображена нарис. 4.8. Можно считать, что неподвижная (предельная) точка отображения есть цикл периода 1.Рис. 4.8. Цикл периода 2IV.11. Теоретические задачиIV.11.1. Определить область изменения параметров a, b и c, при которыхметод простой итерации x(n+1) = φ(x(n)) сходится для любого начальногоприближения x0 R :а) φ(x) = a sin x + b cos x +c;б) φ(x) = a cos(bx)+c;в) φ(x) = a sin2x + b cos2x +c;г) φ(x) = a arctg (bx) + c;д) φ(x) = a exp(– b2x2) + c.Ответ : а)a 2 b2 1 , c – любое; б) |ab| < 1, c – любое;в) |a – b| < 1, c – любое; г) |ab| < 1, c – любое; д) ab e / 2 , c – любое.IV.11.2.
Уравнение F x 0.001x3 x2 x 0.24 0 на отрезке 0 x 1имеет два близких друг к другу корня. Предложить экономичный способпоследовательных приближений, позволяющий найти точку, лежащуюмежду этими корнями. Вычислить значение этих корней с заданной точностью ε = 10 –6.103IV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙУказание: сначала решить уравнение F x 0 .IV.11.3. Построить метод Ньютона для вычисления числа 1/a так, чтобырасчетные формулы не содержали операций деления.
Определить область сходимости метода при a > 0.IV.11.4. Требуется найти оба корня уравнения x ln x 2 . Показать, что для отыскания положительного корня можно воспользоваться итерационным процессом x(n+1)=ln(x(n) + 2), x(0) – произвольное. Можно ли указать x(0), не совпадающее с отрицательным корнемзаданного уравнения, таким образом, чтобы итерационный процессx( n 1) ln x( n ) 2 , x(0) задано, сходился к отрицательному корню? Указать способ вычисления отрицательного корня.IV.11.5. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [a,b] корень z неизвестной кратности p > 1, причем f(x) – дважды дифференцируемая функция.а) Построить модификацию метода Ньютона с квадратичной скоростью сходимости.б) Предложить способ численной оценки кратности корня.f ( x)Указание.
Исследовать кратность корня z функции g ( x) .f ( x)IV.11.6. Пусть уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [a,b] корень z неизвестной кратности p > 1, причем f(x) – дважды дифференцируемая функция.а) Построить модификацию метода Ньютона с квадратичной скоростью сходимости.Указание . Исследовать кратность корня z функции g(x) = f(x)/f (x).б) Предложить способ численной оценки кратности корня.IV.11.7. Определить порядок сходимости метода решения нелинейногоуравнения f(x) = 0x ( n 1) x ( n ) (n)(n)(n)f ( x ( n ) ) f x f ( x ) f ( x ) .f ( x ( n ) )f ( x ( n ) )Ответ: третий.IV.11.8.
Построить итерационный метод решения уравнения tg x + ex = 0.Для поиска корня, локализованного на третьем периоде тангенса x (5π/2, 7π/2), применяются методы Ньютона и простых итераций. Выпи-104IV.11. Теоретические задачисать расчетные формулы, оценить число итераций, необходимых длядостижения точности ε = 0,01 для метода простой итерации.IV.11.9. Для нелинейной системы уравненийxy – x2 = 1.03,– 2x 3 + y 2 = 1.98известны приближенные значения корней x0 = 1, y0 = 2.Показать, что для уточнения корней можно воспользоваться итерационной схемойxk 1 3 ( yk 2 1,98) / 2 , yk 1 xk 1, 03/ xk .Оценить количество итераций, достаточное для уменьшения первоначальной погрешности не менее чем в 104.IV.11.10.БудемрешатьуравнениеF(x) = f (x) – g(x) = 0,где f (x) и g(x) – заданные функции методом Ньютона. Выбираем x0.
Показать, что приближение x1 имеет геометрический смысл абсциссы точкипересечения касательных к графикам y = f (x) и y = g(x), проведеннымпри x = x0.IV.11.11.Пронумеруемкорниx(n),n = 0, 1, …уравненияe –x = cos x в порядке возрастания. Показать, что итерацииxk+1 = xk – F(xk)/F'(xk), F(x) = e – x – cos xсходятся к корню x(n), если за x0(n) принять число x0(n) = πn/2.Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.IV.11.12. Показать, что положительное решение уравнения x = 0.5 cos xможно приближенно вычислить, пользуясь итерационной формулойxn +1 = 0.5 cos xn, x0 ≥ 0 – произвольно.
Положим x0 = 0. Найти n, чтобыпогрешность приближения xn не превосходила 10 –6.IV.11.13. Показать, что для решения методом Ньютона следующихуравнений за x0 можно принять любое x0 > 0:а) ex = 1/x,б) e – x + x2 – 2 = 0,в) ln x – 1/x = 0.IV.11.14. Для нахождения положительного корня нелинейного уравнения предложено несколько вариантов МПИ.
Исследовать эти методы исделать выводы о целесообразности использования каждого из них.105IV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. xn 1 (1 xn2 ) / ln( xn 2), 2. xn 1 exp(1 / xn xn ) 2,2x ln( x 2) x 1 0, 3. xn 1 1 xn ln( xn 2), 4. x 1 / x ln( x 1).nn n 1IV.11.15. Для нахождения положительного корня нелинейного уравнения предложено несколько вариантов МПИ. Исследовать эти методы исделать выводы о целесообразности использования каждого из них. 1. xn 1 ln xn , 2.
x exp( x ),nx ln x 0, n 13. xn 1 ( xn exp( xn )) / 2, 4. xn 1 (3xn 5exp( xn )) / 8.IV.11.16. Для нахождения положительного корня нелинейного уравнения предложено несколько вариантов МПИ. Исследовать эти методы исделать выводы о целесообразности использования каждого из них.61. xn 1 ( xn 2) / 5,45 2.
xn 1 5 / xn 2 / xn ,x 6 5 x 2 0, 3. xn 1 6 5 xn 2,34 4. xn 1 5 / xn 2 / xn .IV.11.17. Для нахождения положительного корня нелинейного уравнения предложено несколько вариантов МПИ. Исследовать эти методы исделать выводы о целесообразности использования каждого из них. 1. xn 1 ln( xn 1) 1 / 2 ,2 2. x2n 1 exp(2 xn 1) 1,ln( x 1) 2 x 1 0, 3. xn 1 ln( xn 1) 1 / (2 xn ) ,2 4.
xn 1 xn ln( xn 1) 2 xn 1,IV.11.18. Для нахождения положительного корня нелинейного уравнения предложено несколько вариантов МПИ. Исследовать эти методы исделать выводы о целесообразности использования каждого из них.106IV.11. Теоретические задачи1.
xn 1 arcsin( xn2 1), 2. xn 1 sin xn 1,2sin x x 1 0, 3. xn 1 (sin xn 1) / xn ,2 4. xn 1 xn 0.1 (sin xn x n 1).IV.11.19. Для нахождения положительного корня нелинейного уравнения предложено несколько вариантов МПИ. Исследовать эти методы исделать выводы о целесообразности использования каждого из них.1. xn 1 ln 1 / xn xn , 2. xn 1 1 xn e xn ,xe x x 2 1 0, 3. xn 1 (1 xn2 )e xn ,x 4. xn 1 1 / xn e n .IV.11.20. Для нелинейной системы уравнений2x2 – xy – 5x + 1 = 0,x + 3 lgx – y2 = 0известны приближенные значения корней x0 = 3.5, y0 = 2.2.
Показать, чтодля уточнения корней можно воспользоваться итерационной схемой:xk 1 (( xk ( yk 5) 1) / 2, yk 1 ( xk 3lg xk ) .Оценить количество итераций, достаточное для уменьшения первоначальной погрешности не менее чем в 104.IV.11.21. Для нелинейной системы уравненийx3 + y3 – 6x + 3 = 0,x3 + y3 – 6y + 2 = 0известны приближенные значения корней x0 = y0 = 0.5 показать, что дляуточнения корней можно воспользоваться итерационной схемой:xk 1 ( x3k y3k ) / 6 1/ 2,yk 1 ( x3k y3k ) / 6 1/ 3 .Оценить количество итераций, достаточное для уменьшения первоначальной погрешности не менее чем в 104.IV.11.22.
Дано нелинейное уравнениеа)16x5 + 24x3 – 2x2 – 11 = 0;б) 24x5 + 16x3 – 3x2 – 10 = 0;в) 8x5 + 8x3 – x2 – 9 = 0;107IV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙг) 8x5 + 16x3 – x2 – 10 = 0;д) 8x5 + 24x3 – x2 – 11 = 0;е) 16x5 + 8x3 – 2x2 – 9 = 0;ж) 24x5 + 8x3 – 3x2 – 9 = 0.Отделить корни. Предложить сходящийся метод простой итерации дляуточнения корня. Оценить, хотя бы грубо, скорость сходимости. Построить итерационный процесс по методу Ньютона.IV.11.23. Дана система нелинейных уравнений22 x y 25 0,3 x 1 y 1 0.Приближенно определить области, где лежат решения системы. Выписать расчетные формулы для поиска решений методом простой итерации, проверить условия сходимости.IV.11.24. Дана система нелинейных уравнений222 2а) x y 9 0,б) x y 25 0,33 y 1 x 1 0. x 1 y 1 0.Приближенно определить области, где лежат решения системы.Выписать расчетные формулы для поиска решений методом Ньютона,проверить условия сходимости.IV.11.25.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
