Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Оценитьпогрешность полученного значения интеграла по правилу Рунге.VII.9.3. Для функции, заданной таблично:x–1–0.75 –0.5–0.25 0 0.25 0.50.75 1f(x) –0.333 0–0.125 –0.056 0 0.046 0.083 0.115 0.143вычислить значение интеграла с использованием формулы трапеций.Оценить погрешность полученного значения интеграла с помощью правила Рунге.VII.9.4. Для функции, заданной таблично:xf00,50,50,2510,251,50,120,1вычислить значение интеграла с использованием формулы Симпсона.Оценить погрешность при вычислении этого интеграла.VII.9.5.

Для функции, заданной таблично, вычислить значение определенного интеграла методом трапеций, сделать уточнение результата экстраполяцией Ричардсона. Сравнить уточненный результат с вычислениями по методу Симпсона.207VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕа)xx1=0.x2=0.25x3=0.5x4=0.75x5=1.0x6=1.25x7=1.5x8=1.75x9=2.f(x)1.0000000.9896160.9588510.9088520.8414710.7591880.6649970.5622780.454649б)xx1=0.x2=0.125x3=0.25x4=0.375x5=0.5x6=0.625x7=0.75x8=0.875x9=1.f(x)0.0000000.0214700.2930500.4941050.5413410.5168550.4686170.4165310.367879г)xx1=0.x2=0.25x3=0.5x4=0.75x5=1.0x6=1.25x7=1.5x8=1.75x9=2.f(x)1.0000000.9799150.9272950.8580010.7853980.7168440.7168440.7168440.716844д)xx1=0.x2=0.125x3=0.25x4=0.375x5=0.5x6=0.625x7=0.75x8=0.875x9=1.f(x)0.0000000.1246700.2472340.3649020.4731120.5632090.6161930.5796990.000000в)xx1=0.x2=0.15x3=0.3x4=0.45x5=0.6x6=0.75x7=0.9x8=1.05x9=1.2Ответ: а) это численный интегралf(x)1.0000001.0075681.0311211.0734561.1402281.2421291.4001761.6603002.1434602sin xdx , Ih=1.603144,x0I2h=1.596321, IR = IS = 1.605418; б) это численный интеграл10e 1/ xx2dx ,Ih = 0.3669885, I2h = 0.371737, IR = IS = 0.365406; в) это численный интеграл1.20tg xdx , Ih = 1.519006, I2h = 1.5429765, IR = IS= 1.511016; г) этоxчисленныйинтегралIR= IS = 1.576014;д)2arctg xdx ,x0этоIh = 1.575095,численныйинтегралIh = 0.371127, I2h = 0.334135, IR = IS = 0.383458.208I2h = 1.572338,1 tg x01  x 2 dx ,VII.9.

Практические задачиVII.9.6. В условиях предыдущей задачи оценить точность вычисленияинтеграла методом трапеций и методом Симпсона по правилу Рунге.VII.9.7. Вычислить интегралстью ε = 10-4.9ln 1  x 0x xVII.9.8. Вычислить интеграл9dx по формуле трапеций с точно-sin  x  ln 1  x dx по формуле прямоx2 xугольников с центральной точкой с точностью ε = 10–4.0VII.9.9. С помощью степенных рядов вычислить интеграл с точностьюдо 10–4 :112а) I  e x dx , б) I   sin x 2 dx .00VII.9.10. Вычислить несобственный интеграл с точностью 10–4:111cos xsin xdxdx ,dx ,а) ,б) в) 21x00  x0 (1  x ) x1ln( x 2  1)1.51 /4arctg xexdx , ж)  sin x 2 dx .е) 20 x0 x 2 dx ,x00Укажите и сравните различные приемы для решения каждой задачи.г)dx ,д)VII.9.11.

Вычислить несобственный интеграл с точностью 10–3:2(1  cos x)dxdxа) ; б)  e x sin x dx ; в) .x x101 (1  x ) xVII.9.12. Вычислить интеграл от осциллирующей функции с точностью 10–6:12sin100 xdxа) ,б)  cos100 x ln xdx .1 x01VII.9.13. Функция f(x) задана своими сеточными значениями. Найтиbaf ( x)sin kx dx построением сплайна для аппроксимации f(x).209VII. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕа) k = 50ixifi000.00000110.50000220.86603331.00000440.8660310.5–0.6931520.9–0.1053631.30.2623641.70.5306311.71.303823.41.843935.12.258346.82.60771–0.11.671020.21.369430.51.047240.80.64360111.5403221.5839332.0100443.3464б) k = 80ixifi00.1–2.3026в) k = 40ixifi000г) k = 100ixifi0–0.41.9823д) k = 30ixifi001VII.9. Библиографический комментарийО квадратурных формулах интерполяционного типа см.

соответствующие разделы в [2, 4, 5, 7, 21]. О вычислении интегралов с гарантированной точностью на квазиравномерных сетках см. [38]210VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙVIII.1. Основные понятия.Аппроксимация, устойчивость, сходимостьБудем рассматривать численные методы решения задачи Коши дляобыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)d u (t )dt f (t , u ),t > 0, u(0) = u0,(1.1)а также систем ОДУd u(t )dt f (t , u), u(0) = u0,где u, f – векторы-столбцы искомых функций и правых частей соответственно.К аналогичной форме приводится задача Коши для обыкновенногодифференциального уравнения (системы уравнений) порядка выше первого:md udtdudtmm 1 dudu , t > 0, u(0) = a0, g  t , u,, ,m 1 dtdt(0)  a1 , …,d m 1 ud tm 1(0)  am1 ,если положитьu1 = u, u2 = du1/dt, u3 = du2/dt, …, um = dum  1/dt,d umdt g (t , u1 , u 2 , , u m ),ui (0) = ai  1, i =1, 2, …, m.Введем в расчетной области t  [0, T] точки (узлы расчетной сетки){tn = nτ, n = 0, 1, …, N}, в которых вычисляется искомое решение.

Совокупность узлов называется расчетной сеткой (сеточной областью),  –211VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙшагом интегрирования. Здесь для простоты введена равномерная сетка. В реальных расчетах применяются и неравномерные сетки.Введем сеточную функцию y, определенную в узлах сетки и представляющую собой совокупность приближенных значений искомойфункции, Uτ – проекцию точного решения искомой задачи на сетку.Введем также операторное обозначение дифференциальной задачи(1.2)L(u)  F,гдеd u 0, t  0;  f (t , u ), t  0;L( u )   d t, Fu0 , t  0;u(0),t  0;и аппроксимирующей разностной задачи(1.3)L ( y )  F ,где Lτ – обозначения разностного оператора, Fτ – проекция F на расчетную сетку. Заметим, что u и y являются элементами разных пространств.Определение.

Решение задачи (1.3) y сходится при τ → 0 к решению исходной задачи (1.2), если y  U  0 при τ → 0.Если при этом имеет место оценкаy  U  C  p , причем посто-янная в правой части не зависит от сеточных параметров, то имеет местосходимость порядка р.(1.2)Определение. Говорят, что задача (1.3) аппроксимирует задачунаеерешении,еслиневязкаτ||rτ|| → 0приτ → 0,где rτ ≡ Lτ(U ) - Fτ. При этом если имеет место оценка r  C1 , причем постоянная в правой части не зависит от сеточных параметров, тоимеет место сходимость порядка q.qОпределение. Задача (1.3) устойчива, если две близкие возмущенные задачи одновременно однозначно разрешимы и из равенствLτ(y1) - Fτ = ξτ Lτ(y2) - Fτ = ητ cледуетy1  y 2  C2  ξ  η  ,C2 ≠ C2(τ).Определение.

Разностная схема с линейным оператором Lτназывается устойчивой, если разностная задача Lτy = Fτ разрешима при212VIII.1. Основные понятия.Аппроксимация, устойчивость, сходимостьлюбой правой части Fτ и выполнена оценка ||y|| ≤ C||Fτ||, причем C не зависит от сеточных параметров.Теорема 1. (А. Ф. Филлипова и В. С. Рябенького–П. Лакса). Решение задачи (1.3) сходится к решению исходной задачи (1.2), если задача (1.3) устойчива и аппроксимирует задачу (1.2) на ее решении; еслиаппроксимация имеет порядок p, то сходимость также имеет порядокp.Приведем примеры простейших разностных уравнений, аппроксимирующих приведенные выше задачи:yn 1  ynyn 1  yn f (tn , yn ),0  n  N  1, f (tn1 , yn1 ),0  n  N  1,yn 1  yn 12 f (tn , yn ),1  n  N  1.Первая из схем называется явной (явная схема Эйлера), вторая –неявной (неявная схема Эйлера). Алгоритмическая реализация первойсхемы – «бегущий счет» (рекуррентная формула), второй – решение нелинейного алгебраического уравнения на каждом временном шаге.Для реализации третьей схемы (метод Эйлера с центральной точкой) необходимо задание функции un в двух точках t0 и t1.

Один из возможных вариантов – решение на первом шаге нелинейного уравнения(метод трапеций)y1  y01 [ f (0, y0 )  f (, y1 )] .2В данном случае мы сталкиваемся с явлением несовпадения формальных порядков дифференциального и разностного уравнений (дифференциальное уравнение первого порядка, разностное – второго).

Теория таких методов (их называют многошаговыми) опирается на общуютеорию линейных разностных уравнений.Рассмотрим еще один способ получения простейших одношаговыхрасчетных схем для численного решения уравнения (1.1), для чегонапишем равенство213VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙu (t  )  u (t )   u (t  ) d .0После аппроксимации интеграла в правой части по формуле прямоугольников и замене его на величину τu′(t) получимu(t  )  u(t )  u(t )  O(2 ),илиu(t  )  u(t )  f (t , u)  O(2 ),поскольку u′(t) = f (t, u).Опуская член O(τ2) и обозначая t = tn, t + τ = tn +1, u(t) = un,u(t + τ) = un +1, получим явный метод Эйлера.Если интеграл в правой части приблизить формулой трапеций, получимu (t  )  u (t )  [u (t )  u (t  )]  O(3 ),2откуда имеемun1  un  0.5 [ f (tn , un )  f (tn1, un1 )].Этот метод называется неявным методом трапеций.Сформулируем теперь идею построения численных методов длярешения ОДУ.

Используем формулу Ньютона–Лейбница:t u (t  )  u (t ) f (t , u ) dt.tРазделим правую и левую части на длину отрезка интегрирования,получимt u (t  )  u (t ) 1  f (t , u ) dt. tПравую часть этого равенства обозначим как Ф – она называетсяфункцией приращения. Ее смысл – интегральное среднее правой частипо отрезку интегрирования:u (t  )  u (t )(1.4) (t , u ).Заметим, что хотя в левой части стоит конечная разность, приближающая первую производную с первым порядком аппроксимации, равенство является точным при точном вычислении интегрального средне214VIII.2.

Исследование устойчивости разностных схем для ОДУго в правой части. К сожалению, для большинства задач точно вычислить его невозможно, и для этого применяются те или иные приближенные формулы. В зависимости от качества приближения мы получим методы, обладающие разными свойствами.VIII.2. Исследование устойчивости разностных схем для ОДУИсследование устойчивости разностных схем напрямую из определения возможно лишь для малого класса уравнений и схем, и в этомсмысле ситуация близка к прямому исследованию сходимости разностных схем.Устойчивость разностных схем исследуется исходя из каноническойформы записи разностной схемы (способ приведения к каноническойформе записи может быть неединственным):yn + 1 = Rτ yn + τ ρn.(2.1)Оператор Rτ называется оператором перехода или разрешающимоператором.Теорема (достаточное условие устойчивости).

Характеристики

Список файлов книги