Учебник - Практические занятия по вычислительной математике - Аристова (1238839), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Для решения системы ОДУ y  f  t , y  используется метод0222 2 12 212 2Исследовать его на аппроксимацию. При необходимости внести исправления в таблицу Бутчера.Ответ: метод имеет второй порядок аппроксимации.VIII.9.6. Для решения системы ОДУ y  f  t , y  используется метод03/23/23/41/4Исследовать его на аппроксимацию. При необходимости внести исправления в таблицу Бутчера.Ответ: метод имеет первый порядок. Для порядка 2 – вместо 3/2должна быть 2.VIII.9.7.

Приближенное решение задачи Кошиdx ax; x(0)  X 0 ; 0  t  Tdtвычисляется по разностной схемеx  4 xn  5xn11) n1 a(2 xn  xn1 ); x0  X 0 ,2231VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ41xn1  xn  xn 11332) axn1; x0  X 0 ,23xn1  xn 13) a(3xn  xn1 ); x0  X 0 ,2xn1  xn1 14) a(3xn1  4 xn  xn1 ); x0  X 0 .3Способ задания дополнительного краевого условия x1 предложить самостоятельно.Найти порядок аппроксимации разностной схемы.

Исследовать влияние способа задания x1 на порядок аппроксимации. Исследовать наустойчивость разностную схему. Найти точное решение разностной задачи. Исследовать его сходимость к точному решению дифференциальной задачи.Ответ: 1) порядок аппроксимации О(τ). Свойства схемы можноулучшить, если в правой части взять a( xn  2 xn1 ) ;2) порядок аппроксимации О(τ3). Общее решение разностного уравnn 2  1  2a  2  1  2a нения y n  C1   C2  ; 3  2a  3  2a 3) порядок аппроксимации О(τ2).

Общее решение разностного уравнения2 a 2y  C1  2(1  a )  9  6a 4nn2 2  C2  2(1  a )  9  6a   a4n ;4) Схема не аппроксимирует задачу. Для аппроксимации следуетx x1взять n 1 n 1  a(3xn 1  4 xn  xn 1 ) .3VIII.9.8. Для решения задачи Кошиy'' + 6y' + 5y = 0, y(0) = 0, y'x(0) = 2.на (0, 1) предложена разностная схема:(yl +1 – 2yl + yl –1)/h2 + 6(yl +1 – yl –1)/2h + 5yl = 0,y0 = 0; y1 = 2h – 6h2.232l = 1…L – 1,VIII.9.

Теоретические задачиИсследовать разностную задачу на аппроксимацию и определить порядок сходимости ее решения к решению дифференциальной задачи приh = 1/L → 0.Ответ. Порядок аппроксимации второй во внутренних точках.Начальное условие аппроксимируется со вторым порядком с учетом самого дифференциального уравнения. По основной теореме вычислительной математики порядок сходимости второй.VIII.9.9. Для решения задачи Коши на отрезке [0, T] введена равномерная сетка с шагом τ.

Рассматривается дифференциальное уравнение, которому в соответствие ставится численный метод:а) y' – y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1,(yn+1 – yn)/h – (3yn+1 – yn)/2 = 0, y0 = 1.б) y' – 2y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1,(yn+1 – yn)/h + yn+1 – 3yn = 0, y0 = 1.в) y' – 7y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1,1/20½½01/2г) y' – 3y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1,–1/20–1/220–101/4–102д) y' – 3y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1,1/4Выписать общее решение разностного уравнения и исследовать сходимость численного решения к решению дифференциальной задачи на основе определения сходимости.Пусть по данной схеме проводятся вычисления на компьютере, где дляхранения мантиссы отводится 10 бит. Оценить максимальную ошибкуокругления для данной задачи.233VIII.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙVIII.9.10. (А. И. Лобанов) Для решения задачи Коши использована разностная схема на равномерной сетке:а) y' + sin y = 0, y(0) = 1, t  [0, 20π] ,y n 1  y n0 sin y n  0,5 sin y n cos 0,5 sin y n  0, y  1 ; б) y' – cos y = 0, y(0) = 0, t  [0, 25π] ,0y n 1  y n cos( y n )cos(0,5 cos y n )  sin y n sin 0,5 cos y n  0, y  0 ;  в) y' = y2(2.5 – t), y(0) = 1/3, t  [0, 2] ,y n 1  y n1 ( y n 1 )2 (2,5  ( n  1)), y 0  ;3г) y' = – 2te – y, y(0) = ln 4, t  [0, 2] ,y n 1  y n tn e yn  tn 1e yn1 , y 0  ln 4 ;д) y' = 4y(1 – y), y(0) = α (0 < α < 1), t  [0, 100] ,0y n 1  y n 2( y n 1  y n )(1  y n ), y   (0    1)n 1 znи z ( z n 1  z n )(2  z n  z n 1 ), z 0   (0    1).С каким порядком разностная задача аппроксимирует дифференциальную на ее решении?а) Решение.

Заметим, что sin( y n  0.5 sin y n ) cos(0.5 sin y n )  .1sin( y n   sin y n )  sin y n .2Тогдаметодперепишетсяввидеk1  sin y n , k2  sin( y n  k1 ), y n 1  y n  (k1  k 2 ) . То есть использо2ван метод Рунге–Кутты второго порядка аппроксимации. Читателямпредлагается самим проанализировать, как будет эволюционировать погрешность округления при реализации метода Рунге–Кутты в его«обычном» виде и в том виде, как он был записан в задаче.234VIII.9.

Теоретические задачиг) Решение. Вычислим точное решение задачи – проинтегрируемуравнение с разделяющимися переменными. Получим y  ln(4  x 2 ).Видно, что решение на всем отрезке интегрирования не существует, стало быть, не приходится говорить о порядке аппроксимации.VIII.9.11. Простейший метод Рунге–Кутты 2-го порядка можно получить с помощью применения метода Эйлера первого порядка с последующей экстраполяцией по Ричардсону.

Записать таблицу Бутчера метода.VIII.9.13. С помощью ЯМРК порядка p решается задача Коши:x  sin y, y  x x(0)  0, y(0)  1 на отрезке t  [0,1000] .Исследовать метод на устойчивость на траектории, получить оценкуконстанты в условии устойчивости.VIII.9.14. Выяснить порядок аппроксимации метода011/ 2101/ 21/ 6 1/ 6 4 / 6При необходимости исправить таблицу Бутчера так, чтобы метод имелнаивысший порядок для данного числа стадий.VIII.9.15. Система ОДУ решается методом Рунге–Кутты:01/ 3 1/ 32 / 3 1/ 3 1/ 31/ 4 0 3 / 4При необходимости исправить таблицу Бутчера так, чтобы метод имелнаивысший порядок для данного числа стадий.VIII.9.16. Построить все трехстадийные методы с порядком аппроксимации 2, имеющие вид0с2 с2с3 0 с30 0 1VIII.9.17.

Аппроксимирует ли разностная схема 3 ym  4 ym1  ym2  ym 2h235VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ2 xm  2 xm ;m  2  M;дачу Коши:dy y  x2  2 x,dxhM  1;y  0;0y h1дифференциальную за-x  (0,1); y(0)  0со вторым порядком по h? Если нет, то видоизменить разностную схемутак, чтобы она имела второй порядок аппроксимации.VIII.9.18. Построить четырехстадийный явный метод Рунге–Кутты, основанный на квадратурной формуле «правило 3/8».VIII.10. Практические задачиVIII.10.1. Выписать формулы Эйлера с пересчетом для следующих задач:а) y′ = x + cos y;22б) y′ = x + y ;y(1) = 30; 1 ≤ x ≤ 2,y(2) = 1; 1 ≤ x ≤ 2.Провести вычисления с шагом h = 0,01.VIII.10.2.

Выбрать метод численного решения системы ОДУ и найтирешение dv0  x  1; d t  v  w,а) dw v 2  w 2 , v(0)  1; w(0)  2. dt dv d t  v  w,б) dw v  w, d t1  x  2;v (1)  2; w(1)  3.VIII.10.3. Приближенно решить задачу Коши:d2 y y sin x,y(0) = 0; y′(0) = 1; 0 ≤ x ≤ 1.d t2а) Описать алгоритм, основанный на переходе к системе двух уравнений первого порядка с последующим решением этой системы.б) Описать алгоритм, основанный на замене уравнения y′′ = y sin xразностным уравнением второго порядка.в) Решить задачу любым из этих методов.236VIII.11. Устойчивость методов Рунге–Кутты на различных типахтраекторий и практические задачиVIII.10.4.

Рассчитать траекторию x(t), y(t), задаваемую следующим образом:d2 xdt22d ydt2 x( y 2  1), y ( x 2  1),0  t  20,x (0)   ; y (0)  1; dx / dt |t 0  dy / dt |t 0  0.VIII.10.5. Составить таблицу с шагом h = 0,01 функции β = β(α), котораязадана следующим образом:d2 x x3  1  t 2 ,0  t  T;dtx(0)  ; x '(0)  0; 1    0;   x(t, ) |t 1 .2VIII.11.

Устойчивость методов Рунге–Кутты на различныхтипах траекторий и практические задачиРешение задач из данного раздела предполагает самостоятельнуюреализацию численных методов на компьютере с использованием любого языка программирования.VIII.11.1. Получите численное решение системы двух ОДУu   A  u 2v  ( B + 1) v ,v  = Bu  u 2v ,u (0)  1,v (0)  1,A  1, B  [1, 5]явными методами Рунге–Кутты первого и четвертого порядков.

Изучитефазовые портреты. Удалось ли Вам получить предельные циклы и бифуркацию Хопфа (при которой предельный цикл вырождается в точку;при этом B  A  (A + 1)) ? Эта система – модель Лефевра–Пригожина«брюсселятор».VIII.11.2. Изучите поведение численного решения ОДУ второго порядка(уравнения Ван-дер-Поля):y  e ( y 2  1) y  y  0,представленного в виде системы двух ОДУ первого порядка237VIII. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙx  z ,z  e (1  x 2 ) z  x,e  0,или в представлении Льенараz    y, y3y  z  e  y ; 3x(0)  2,e  0,z (0)  0,0  t  100в зависимости от изменения параметра e ( 0,01  e  100 ).

Использоватьметоды Рунге–Кутты порядка 1,2,3,4 и методы Адамса порядка 2, 3, 4.VIII.11.3. (Т. К. Старожилова) Исследуйте поведение фазовых траекторий для системы ОДУx   y,y  x 2  1вблизи особых точек (1, 0) и (–1, 0) с помощью двух методов Рунге–Кутты (первого и четвертого порядков аппроксимации). Объясните ихповедение.

Значения x(0) и y(0) варьируйте самостоятельно.VIII.11.4. Получите траекторию движения спутника вокруг планеты,проведя численное решение задачи двух телx  z ,y   u,z  u  x(x 2  y 2 )3/ 2y(x 2  y 2 )3/ 2x(0)  0,5;,,y(0)  z (0)  0,u(0)  3  1,73на интервале времени 0  t  20 методами Рунге–Кутты первого, второго, третьего и четвертого порядков аппроксимации. Исследуйте зависимость численного решения от шага интегрирования.238VIII.12.

Библиографический комментарийVIII.11.5. Методами разных порядков аппроксимации численно решитьсистему Лоренца:x    ( x  y ),y    xz  rx  y,z   xy  bz,x(0)  y(0)  z(0)  1при b  8 / 3,   10, r  28. Считаем, что 0  t  50. Объяснить полученные результаты.VIII.12.

Библиографический комментарийТеорема 1 была установлена, доказана и опубликована в 1956 годунезависимо В. С. Рябеньким и А. Ф. Филлиповым в СССР [39], П. Лаксом и Р. Рихтмайером в США [40]. Об исследовании на устойчивостьлинейных разностных уравнений с использованием разрешающего оператора подробнее см. в [41].Простейшие численные методы решения задачи Коши для системОДУ подробно рассмотрены в большом количестве учебников и специальных изданий.

Самое подробное изложение различных численных методов можно найти в [42]. Теоремы об устойчивости явных методов Рунге–Кутты впервые были опубликованы в первом издании книги [3] в1984 году (Р. П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. – М. :Изд-во МФТИ, 1994. – 528 с.). Некоторые задачи данного раздела былипредложены Л. А. Чудовым и М. В. Мещеряковым и впервые опубликованы в [43].239ЛИТЕРАТУРА1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.Cборник задач по основам вычислительной математики /под ред. О.

М. Белоцековского. – М. : МФТИ, 1974. – 148 с.Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. –М. : Физматлит, 2007. – 288 с.Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. – Долгопрудный : Издательский дом «Интеллект», 2009.Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. –М. : Физматкнига, 2013. – 240 с.Петров И.Б., Лобанов А.И.

Характеристики

Список файлов книги