3 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238794), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела.В основе геометрии масс твердого тела лежит понятие момента инерции тела вокруг−некоторой оси →:∫︁ =2 ,−где - расстояние от оси → до элемента массы .Рассмотрим движение тела с неподвижной точкой и выразим его кинетическую энергию из определения, используя формулу Эйлера:1 =2∫︁2−−(→ ×→ ) −−Векторное произведение → ×→ можно представить как линейное преобразование век→−тора с матрицей преобразования ˆ:⎛⎞⎛ ⎞0 −→−→−→−⎝⎠⎝⎠ × = ˆ = − 0 − 0−Здесь , , - компоненты вектора → в осях, связанных с телом; , , - компоненты век→−тора в тех же осях.Поскольку скалярное произведение под знаком интеграла можно представить соответствующим произведением матриц−−−−−−(→ ×→ ) · (→ ×→)=→ ˆ ˆ→,то выражение для кинетической энергии приобретает вид381 =2∫︁1− →1− →→−− ˆ ˆ→ = → − ≡ → −,22где буквой обозначен тензор инерции :∫︁=ˆ ˆПроизведение стоящих под интегралом матриц имеет вид⎛⎞⎛⎞ ⎛ 2⎞0 −0 − + 2 −−⎝− 0 ⎠⎝ 0 − ⎠ = ⎝ − 2 + 2 − ⎠ − 0− 0−− 2 + 2Видно, что по диагонали тензора инерции получилсь моменты инерции вокруг осей , , .Элементы вне главной диагонали называются центробежными моментами инерции:⎛⎞ − − = ⎝− − ⎠− − Для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, с учетом−определения момента инерции относительно оси → , получим выражение:1 =2∫︁2→−− ·→ =2Сравнивая его с полученным ранее выражением для кинетической энергии и учитывая,−−что при вращении вокруг оси → = → , имеем−− = → · →Преобразуем выражение для кинетической энергии:1 =2∫︁1→−−− · (→ ×→ ) ≡2∫︁−1− →→−−− · (→ ×→ ) = → ,2откуда с учетом ранее полученного выражения для кинетической энергии, получим выражение для момента импульса твердого тела с неподвижной точкой:→−− = →Из алгебры известно, что любая симметрическая положительно определенная матрицапреобразованием поворота может быть приведена к диагональному виду:⎛⎞ 0 0′ = ⎝ 0 0 ⎠0 0 39Оси, в которых тензор инерции тела имеет диагональный вид, называются главнымиосями инерции тела.
Если эти оси дополнительно проходят через центр масс, то ониназываются главными центральными осями инерции.Каждой точке твердого тела соответствует эллипсоид инерции, который строит−ся √так. В произвольном направлении, задаваемом вектором → , отложим отрезок длинойДействительно, под1/ . Геометрическое место таких точек и есть эллипсоид инерции.√→−→−→−→−→−ставляя в выражение = · вектор в виде = , получаем→−− · → =1В главных осях это уравнение имеет простейший вид 2 + 2 + 2 = 16.2Преобразование тензора инерции при повороте и параллельном переносе осей. Теорема Гюйгенса-Штейнерадля тензора инерции.Установим некоторые свойства моментов инеции твердого тела.Параллельный перенос осей.
Пусть осуществлен параллельный перенос осей: = ′ + , = ′ + , = ′ + . Изменение осевых моментов инерции проследим на примере моментаинерции вокруг оси :∫︁ =2∫︁2( + ) =′2∫︁′2′( + ) + 2 + 2∫︁ ′ + (2 + 2 ),где - масса тела. Отсюда следуетТеорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции твердого тела относительно неко−торой оси → равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящейчерез его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояниямежду осями.Доказательство.→−→−→−→−−→−−Пусть ось → совпадает с осью базиса → и свяжем с центром масс тела базис ′ ′ ′−→− →так, что ‖ ′ . Используя полученную выше формулу для осевых моментов инерции∫︀ ′ припараллельномпереносеосейиучитывая,чтовсистемецентрамассвыражения и∫︀ ′ обращаются в ноль по определению радиус-вектора центра масс, получим∫︁ =22( + )∫︁22( ′ + ′ ) + (2 + 2 ),−→− →где 2 + 2 - квадрат расстояния между осями и ′ .Теорема доказана.40Изменение центробежных моментов рассмотрим на примере момента относительноосей и :∫︁∫︁∫︁∫︁′ ′′ = = + + ′ + Теорема Гюйгенса-Штейнера допускает обобщение на тензор инерции.Теорема Гюйгенса-Штейнера для тензора инерции: тензор инерции относительноточки связан с тензором инерции относительно центра масс при параллельномпереносе осей из точки C в точку A формулой: = + ˆ,где - масса тела, а⎛⎞2 + 2 −−ˆ = ⎝ − 2 + 2− ⎠ ,2−− + 2−→где = (, , ) - координаты начала нового базиса в старых координатах.Доказательство проводится сравнением этой формулы с прямой подстановкой новых моментов инерции в тензор инерции по приведенным выше формулам для осевых и центробежных моментов инерции.→−→−→−→−−→−Поворот осей.
Пусть от осей → перешли к осям ′ ′ ′ при помощи матрицы→−−поворота S, так что векторы → и в новых осях приобрели вид→−′− = →,−→→−′ = −→ →−Связь между ′ и ′ принимает вид−→→− ′ = ′−→→−Но ′ = ′ ′ , откуда ′ = 6.3Динамические уравнения Эйлера.Рассмотрим движение твердого тела с неподвижной точкой относительно инерциальнойсистемы отсчета. Если в качестве полюса выбрать неподвижную точку , то теорема обизменении кинетической энергии запишется в виде−→−→˙ = ,41→−−→−−→−Выберем связанный с телом базис → .
В нем = → . Раскладывая вектор→−→−→−→−угловой скорости в этом базисе = + + и учитывая, что тензор инерции неменяется в связанном с телом базисе, получим:→−→−−→˙−̇−−−̇− = → +→ × → , где → = ˙ + ˙→ + ˙ −→Второе слагаемое есть переносная скорость вектора , обусловленная вращением связанного с телом базиса. Подставляя полученное выражение в теорему об изменении кинетической энергии, получим динамические уравнения Эйлера:−→−̇−− → +→ × → = →−−→−Если в качестве базиса → выбран базис главных осей инерции, то в покоординатной форме полученное уравнение имеет вид:˙ + ( − ) = ˙ + ( − ) = ˙ + ( − ) = ,где , , - главные моменты инерции тела для неподвижной точки .6.4Случай Эйлера; первые интегралы движения; геометрические интерпретации Пуансо.Для движения твердого тела с неподвижной точкой случай Эйлера определяется−→условием = 0 и называется движением тела по инерции.
В этом случае в силу теоремы−→об изменении моменти импульса сохраняется вектор кинетического момента тела винерциальном базисе, а в силу теоремы об изменении кинетической энергии сохраняетсякинетическая энергия тела, так как момент внутренних сил твердого тела равен нулю.В случае Эйлера правые части динамических уравнений равны нулю и имеют место дваинтеграла движения. Один из них является следствием сохранения момента импульсаи имеет вид2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 = Второй описывает сохранение кинетической энергии2 + 2 + 2 = 2 = Для описания движения твердого тела в случае Эйлера достаточно решить системууравнений, в которую входят полученные интегралы движения, а также динамические42уравнения и кинематические уравнения Эйлера.
Однако получаемое при этом аналитическое решение является достаточно сложным для понимания закономерностей движениятвердого тела. В связи с этим анализ движения тела в случае Эйлера дополняется геомтрическими интерпретациями, одной из которых является интерпретация Пуансо.В интерпретации Пуансо используется эллипсоид инерции:−− = 2 + 2 + 2 − 1 ≡ → · → −1=0Покажем, что при движении тела в случае Эйлера, жестко связанный с телом егоэллипсоид инерции катится без проскальзывания по неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору кинетического момента.Действительно, рассмотрим точку на поверхности эллипсоида инерции, через которую−проходит вектор угловой скорости →:−→− = →Подставляя этот вектор в уравнение эллипсоида, получим2 →−− · → − 1 = 0,2откуда1=√= 2Вычислим нормаль к эллипсоиду в этой точке: −2 −→−→−= 2 → = 2 → = √ = →−2Мы получили, что эта нормаль в процессе движения неизменна.
Для того чтобы касательная плоскость к эллипсоиду в рассматриваемой точке была неизменной, осталось,таким образом, показать, что расстояние от нее до неподвижной точки постоянно. Эторасстояние равно−→→−−→ · →1−√ 2 = = · = 2Поскольку через рассматриваемую точку проходит вектор угловой скорости, то этозначит, что скорость этой точки тела равна нулю, т.е.
тело, представляемое своим эллипсоидом инерции, касается неподвижной плоскости не проскальзывая. Такое качениеназывается движением Пуансо.436.5Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера; параметры свободной регулярной прецессии.Анализ движения твердого тела существенно упрощается, если имеет место динамическая симметрия твердого тела, под которой понимается равенство двух главных моментов инерции твердого тела: = ̸= . В этом случае вектор угловой скорости рас−→кладывается на направление кинетического момента и направление оси динамической→−симметрии следующим образом:→−→−→−−→−−→− − →( + → ) + + ( − ) =+,Ω =а скорость оси симметрии подчиняется уравнению−→−→−̇−→− → →× = Ω× =В случае Эйлера сохраняется вектор кинетического момента, а из динамических уравнений Эйлера при подстановке = получаем ˙ = 0, то есть проекция угловой скорости тела на ось динамической симметрии не меняется.
Также сохраняется угол междуосью динамической симметрии и вектором кинетического момента, так как⃒−→⃒−−→ →⃒ ⃒ · = = ⃒ ⃒ cos = ,где = - так называемый собственный кинетический момент тела.Из установленных фактов заключаем, что исследуемое движение представляет собойрегулярную прецессию вокруг направления кинетического момента, параметры которой определяются соотношениями:−→−→1 =,−−→ = − →,2cos = −→| |Это движение представляется в виде кобинации двух вращений.
Первым является вращение вокруг неподвижного направления кинетического момента с угловой скоростьюпрецессии 1 , а вторым - вращение вокруг оси динамической симметрии тела с постоянной по величине угловой скоростью собственного вращения 2 .В случае Эйлера отсутствует момент внешних сил, поэтому такая прецессия динамически симметричного тела называется свободной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
