3 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238794), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. , ) = 0, = 1, . . . , , ≤ 3Это так называемые удерживающие (двусторонние) связи.Связи, уравнения которых содержат скорости материальных точек, называются дифференциальными. Если выполнено условие Φ / = 0, то соответствующие связи называются стационарными.Система называется склерономной, если она либо свободная, либо на нее наложенытолько стационарные связи.Система называется консервативной, если:а) она склерономнаб) все силы системы потенциальныв) потенциал не зависит явно от времениЗакон сохранения энергии: полная механическая энергия системы не изменяетсяво времени, если все действующие силы потенциальны, а их потенциал от времени независит.Доказательство.Из теоремы об изменении кинетической энергии следует:∫︁ =(︁→− )︁− →→− · + Так как потенциал по условию теоремы не зависит от времени, то подынтегральное выражение в последней формуле есть полный дифференциал функции . Из определенияпотенциальной энергии получим окончательно: = −Π,откуда следует: + Π = ,30где + Π - полная механическая энергия системы.Теорема доказана.4.6Неинерциальные системы отсчета, силы инерции.Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.Рассмотрим движение механической системы в произвольно движущейся неинерциаль→ точки системы:ной системе отсчета.
Найдем абсолютное ускорение −−→ −→ −→ −→ = + + −→ −→−→Здесь и - относительное и переносное ускорения точки , а - ее корио−→−→−−лисово ускорение; = 2→ × , где → - угловая скорость неинерциальной системы−→координат относительно инерциальной, а - относительная скорость точки .
Подставив выражение для абсолютного ускорения во второй закон Ньютона, получим:−→ −→ −→ −→ −→ = + + + ,−→−→−→−→ −→− × называют соответственно перегде величины = − , = − = −2→носной и кориолисовой силами инерции.Таким образом, второй закон Ньютона может быть применен в неинерциальной системе отсчета, если к силам, приложенным к точкам системы, добавить еще переносные икориолисовы силы инерции.Но полученные ранее теоремы динамики для инерциальных систем отсчета вытекалииз второго закона Ньютона. Следовательно, все сформулированные выше теоремы динамики будут верны и в неинерциальной системе отсчета, если к силам, приложенным ксистеме, добавить переносные и кориолисовы силы инерции для ее точек. При этом силыинерции следует формально относить к внешним силам.31Глава 5Движение материальной точки вцентральном поле5.1Законы сохранения.Рассмотрим движение точки под действием центральной силы, т.е.
силы, зависящейтолько от расстояния рассматриваемой материальной точки до некоторого центра притяжения или отталкивания (называемого далее условно Солнцем) и направленной в каждыймомент вдоль прямой, соединяющей рассматриваемую материальную точку с центром.Будем предполагать, что Солнце неподвижно относительно некоторой инерциальной системы отсчета и расположено в начале координат.При движении материальной точки в поле центральной силы всегда действуют двазакона сохранения.Во-первых, имеет место закон сохранения кинетического момента . Действительно, момент центральной силы относительно Солнца равен нулю:−→ →→− = − × = 0,→−−так как центральная сила проходит через Солнце, то есть, → || .
Но в силу теоремы обизменении момента импульса:−→−→˙ = = 0,значит, сам вектор кинетического момента не меняется по времени:−→ = Во-вторых, имеет место закон сохранения механической энергии. В системе действует только одна сила, зависящая от положения материальной точки. Покажем, что этасила потенциальна.В общем случае вектор центральной силы может быть записан так:→−→− = () →−||Элементарная работа центральной силы равна32−−→ − () → () 2 () →−−− = () · → =(− ·→)= = () · → =22Значит, центральная сила потенциальна, так как работа не зависит от пути (при этомпредполагаем, что потенциал существует).Возьмем функцию Φ такую, что:Φ = (),тогда∫︁Φ= ()Эта функция, по определению, является потенциалом. Этот потенциал не зависит от времени, а значит закон сохранения энергии имеет место, так как все действующие силысистемы потенциальны, а их потенциал от времени не зависит.5.2Уравнение Бине.Отметим сначала, что при движении точки под действием центральной силы траекториядвижения есть плоская кривая.
Действительно, из закона сохранения кинетического мо−−− , называемое также интеграломмента следует, что векторное произведение → ×→ =→площадей, постоянно, а значит, в частности, постоянно и направление получившегося вектора. Это означает, что заметаемая при движении тела площадь всегда лежит в однойплоскости, то есть траектория движения есть плоская кривая.Введем в плоскости движения полярную систему координат (, ). Скорость и ускорение точки в проекциях на оси полярной системы координат равны = ,˙ = ,˙ =¨ − ˙ 2 , = ¨ + 2˙ .˙ Уравнения движения в полярной системе координат примут вид:(︀)︀ ¨ − ˙ 2 = , (¨ + 2˙ )˙ =0Считая заданной постоянную интеграла площадей (2 ˙ = - полярная форма интегралаплощадей) и траекторию движения = (), имеем:(︀)︀ = ¨ − ˙ 2 = (︂)︂(︂)︂2 2 2 2− ˙ = 4−22Преобразуем полученное выражение, сделав замену = 1 :2 2(︂ = − 2 +2или2 +=− 2 22 33)︂- уравнение Бине.5.3Поле всемирного тяготения.Закон всемирного тяготения: если размерами материальных тел можно пренебречьпо сравнению с расстояниями между ними, то любые два таких тела притягиваютсядруг к другу с силой, по модулю равной =,2где - гравитационная постоянная, , - массы тел, - расстояние между ними.Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей эти тела.По определению потенциальной энергии∫︁Π=− Подставляя в эту формулу полученное ранее уравнение для потенциала центральногополя, получим потенциальную энергию центрального поля:∫︁Π=− ()Подставляя сюда значение силы всемирного тяготения и считая, что Π = 0 при = ∞,получим выражение для потенциальной энергии поля всемирного тяготения:Π = −5.4Уравнение конических сечений.Обозначим в формуле силы всемирного тяготения = ,где - гравитационный параметр, и воспользуемся уравнением Бине:2 += 22Решение этого дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: = cos ( + 0 )) +34,2где и 0 - константы интегрирования, определяемы из начальных условий.
Произведяобратную замену = 1 , получим:=2 /21 + cos ( + 0 )2Обозначив 2 / = , = , приходим к уравнению конических сечений (уравнениюорбиты точки относительно Солнца):=,1 + cos ( + 0 )где - параметр, а - эксцентриситет орбиты. Орбита точки относительно Солнца будетлибо эллипсом ( < 1), либо параболой ( = 1), либо гиперболой ( > 1).5.5Задача двух тел.Задача двух тел состоит в следующем. В пустом пространстве движутся две материальные точки, притягивающиеся одна к другой по закону всемирного тяготения Ньютона.Заданы начальные положения точек и их скорости. Требуется найти положения точек длялюбого последующего момента времени.Введем инерциальную систему координат ; ее начало совпадает, например, сцентром масс Солнечной системы, а оси направлены на неподвижные звезды.
Положе→−−ния материальных точек и задаются их радиус-векторами → и соответственно.С точкой свяжем поступательно движущуюся систему координат , оси которойпараллельны соответствующим осям системы . Положение точки относительно−точки задается радиус-вектором →.Пусть и - массы точек и соответственно. Со стороны точки на точку →−действует сила , определяемая законом всемирного тяготения:→− − = − 3 →→−→−−Со стороны же точки на точку действует сила − .
Радиус-векторы → и удовлетворяют дифференциальным уравнениям→−2 −= 3→2−2 →−= − 3 →,2→−−−Так как → =→ − , то отсюда следует, что−→−2 →→→−−=−−=−(+)2333Если ввести обозначение = ( + ), то получим35−→−2 →=−23Это уравнение определяет движение точки относительно точки .
Если вектор-функция→−− =→ () найдена, то можно определить движение точек относительно системы координат . Действительно, точки и образуют замкнутую систему, значит их центрмасс движется равномерно и прямолинейно; его скорость полностью определяется началь−→ными скоростями точек и . Если - радиус-вектор центра масс системы, то−→→− = +5.6→−−→ = − →−,+ →−+Законы Кеплера.Первый закон Кеплера: планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одномиз фокусов которых находится Солнце.Доказательство по существу повторяет вывод уравнения конических сечений.Второй закон Кеплера: площади, заметенные радиус-вектором, идущим от Солнца кпланете, пропорциональны промежуткам времени, в которые они были заметены.Доказательство.−Площадь, заметаемая радиус-вектором частицы → массы m за время из геометрическихсоображений равна⃒−→⃒⃒ ⃒⃒ ⃒1, = sin =22−−где представляет собой угол между векторами → и→.Из определения момента импульса следует:−→(︂ →)︂ (︁−→→−(︁→− × →− )︁→− )︁−→−−−−== × +×= → × + (→ ×→ ) = 0,−−так как → ‖ ⃒→ по⃒ определению и момент центральной силы относительно Солнца равен⃒−→⃒нулю.
Тогда ⃒ ⃒ = , а значит⃒−→⃒⃒ ⃒⃒ ⃒== = 22Теорема доказана.Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их больших полуосей.Доказательство.36Пусть орбита точки представляет собой эллипс с полуосями и . Из аналитическойгеометрии известно, что величины и выражаются через параметр эллипса и его эксцентриситет посредством формул=,1 − 2= √1 − 2Ближайшая к фокусу точка эллиптической орбиты называется перицентром, а наиболееудаленная от фокуса - апоцентром.−→За время, равное периоду обращения точки по орбите, радиус-вектор , где один из фокусов эллипса, заметет всю площадь эллипса.
Учитывая, что площадь эллипсаравна и по второму закону Кеплера секторная скорость точки P постоянна и равна 2 ,получаем равенство1 = 2Но =√ и = 2 /, откуда =23/2√Рассмотрим две точки 1 и 2 с массами 1 и 2 . Если пренебречь взаимным притяжениемэтих точек, то каждая из них будет двигаться вокруг точки по коническому сечению.Пусть орбиты этих точек будут эллиптическими. Тогда3112=2232Теорема доказана.37Глава 6Динамика твердого тела.6.1Геометрия масс. Тензор инерции и эллипсоид инерции твердого тела. Главные оси инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
