3 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238794), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

вектор угловой скорости тела раскладывается на ось конуса и ось тела →:−→−→+−→ = ()→− =− + 2 ()→121→−−Ось конуса называется осью прецессии, ось тела → - осью собственного вращения,а составляющие 1 и 2 - угловые скорости прецессии и собственного вращения соответ→−→− −−ственно. Если = 3 и → =→3 , то составляющие угловой скорости равны соответствую˙ 2 = .щим производным от углов Эйлера: 1 = ,˙Если составляющие угловой скорости не зависят от времени, то такая прецессия называется регулярной.Приведем решение уравнений Пуассона для рассматриваемого прецессионного движения тела. Будем считать, что в начальный момент времени ( = 0) оси связанного с телом22→−→−базиса совпадают с осями системы отсчета , ось прецессии направлена по вектору→−→− →−3 , а ось собственного вращения в начальный момент лежит в плоскости векторов 2 , 3 .→−→−Введем базис ′ , вращающийся относительно неподвижного базиса с угловой→−−→=→скоростью −1 3 .

Тогда связанный с телом базис будет вращаться относительно→− 1→= →−базиса с угловой скоростью −22 .→−→−Поскольку движение базиса ′ относительно базиса есть вращение вокруг непо→−движной оси 3 , то положение этого базиса будет определяться кватернионом1 →1−Λ1 = cos+ 3 sin ,22∫︁ 1 =1 ( )( )0→−−Так как ось → неподвижна в базисе ′ , то кватернион Λ2 задающий положение базиса→−→− относительно ′ , определяется выражением2 →2Λ2 = cos+− sin ,22∫︁ 2 =2 ( )( )0→−По формуле сложения поворотов найдем кватернион Λ, задающий положение отно→−сительно (︂)︂ (︂)︂1 →122−→−̃︁Λ() = cos+ 3 sin∘ cos+ (Λ1 ∘ ∘ Λ1 ) sin222223Глава 4Основные теоремы динамики4.1Связанные определения.Рассмотрим непрерывную совокупность материальных точек, образющую механическуюсистему .

Для такой системыцентром масс называется точка, радиус-вектор которой определяется по формуле(в скобках будут указываться те же формулы для дискретного случая, то есть для системы изN изолированных материальных точек):∫︁∫︁1→−→− , = =(︃1 ∑︁ →→−− , = =1=∑︁)︃=1импульсом или количеством движения называется интеграл:(︃)︃∫︁∑︁→−−→−− = → =→ =1моментом импульса или кинетическим моментом относительно некоторой точки с радиус-вектором −→ называется вектор(︃)︃∫︁−→−→ ∑︁→−−→→−→−−→→− = ( − ) × = ( − ) × =1кинетической энергией называется скалярная неотрицательная величина(︃)︃∫︁∑︁11 →−−−− ·→ = → · → =22 =1Силы, действующие на рассматриваемую точку системы со стороны других точекэтой же системы, называются внутренними, а силы, действующие на нее со стороныточек, лежащих вне рассматриваемой системы - внешними:24−→ →→−−→−→− = + = + →−→− →−→ −-где и соответственно внешние и внутренние силы, а и - плотности этих сил.Когда говорится о силе, считается, что она приложена к какой-либо точке.

Отметим также, что сила вводится как независимая категория - ее нельзя вывести из каких-либофизических законов.Определим следующие понятия, связанные с понятием силы:импульсом силы за время 2 − 1 называется интеграл→− =∫︁2→− 1−элементарной работой силы на перемещении → называется скалярная величина→− − = · →мощностью силы за время называется скалярная величина=−− →= →моментом силы называется вектор−→ − →− =→ × ,−где вектор → есть радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке приложения силы.4.2Теоремы Кёнига для кинетической энергии и момента импульса.Движением системы относительно ее центра масс называется движение точек системыотносительно поступательно движущейся системы координат с началом в центре масссистемы. Такая система координат называется кёниговой.

Отметим, что кёнигова системакоординат не вращается.→−Пусть −→ - абсолютная скорость центра масс, - абсолютная скорость точки системы, −→ - скорость точки в ее движении относительно центра масс. Так как кёниговасистема отсчета движется только поступательно, то переносные скорости всех точек системы одинаковы и равны −→ . Тогда абсолютная скорость точки будет определятьсяформулой:→−−→ = −→ + Теорема Кёнига для кинетической энергии системы: кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергией движения системы относительно кёниговой системы отсчета.25Доказательство.Из определения кинетической энергии следует:1 =2∫︁12→− =2∫︁∫︁ [︁]︁22−→−→−→−→ + 2 · + 1−→2(−→ + ) =2∫︀ −→ −→1−Второе слагаемое 21 −→→ = 2 · равно нулю, так как начало кёниговой системыотсчета лежит в центре масс системы, а значит относительная скорость центра масс равнанулю.

Следовательно,11 = 2 +22∫︁2Теорема доказана.Теорема Кёнига для момента импульса системы: момент импульса системы равенсумме момента импульса, который имела бы материальная точка, расположенная вцентре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и момента импульсадвижения системы относительно кёниговой системы отсчета.Доказательство.Из определения момента импульса следует:→−=∫︁→−− × → =∫︁−→−→ −→−→ −→(−→ + ) × ( + ) = × ∫︁ +⎛⎞∫︁+⎝−−→⎠×−→→ + ×∫︁−→ +∫︁−−→→ × →− −→Так как −→ = − , то∫︁−→ =∫︁−→ =∫︁→− − −→∫︁∫︁ = 0, откуда−→˙ =∫︁→−˙ − −→∫︁ = 0Следовательно,→−−→ −→* =−→ × + ,∫︀ → −−→где * = − × → - момент импульса движения системы относительно кёниговойсистемы отсчета.Теорема доказана.264.3Теоремы об изменении импульса, момента импульсаи кинетической энергии в инерциальных системахотсчета.Теорема об изменении импульса: производная от импульса системы равна суммевсех внешних сил системы.Доказательство.Запишем второй закон Ньютона через плотности внутренних и внешних сил:→−→−→−̈ = + , откуда−→− →→−̈ = + Учитывая, что в силу третьего закона Ньютона интеграл от плотности внутренних силравен нулю, из определения импульса получим:→−̇ =∫︁→−̇ =∫︁ (︁− )︁→− →−→ + = ,−→где - сумма всех внешних сил системы.Теорема доказана.Заметим, что→−̇ =∫︁→−̇ =∫︁→−→ = −̇С учетом предыдущей теоремы, получим теорему о движении центра масс:−→→−̇ = Теорема об изменении момента импульса: скорость изменения момента импульса относительно некоторой точки равна моменту всех внешних сил, вычисленномуотносительно той же точки, минус масса системы, умноженная на векторное произведение скоростей точки и центра масс системы.Доказательство:Из определения момента импульса следует:−→ =∫︁−→−(→ −−→ ) × −→˙ =∫︁−→−(→ −−→ ) × +∫︁27−→−̇(→ −−→ ) × Пользуясь вторым законом Ньютона через плотности внутренних и внешних сил и учитывая, что в силу третьего закона Ньютона интеграл от плотности внутренних сил равеннулю, получим:−→˙−→ = −−→ × +∫︁(︁→− )︁− →−→→−−→−→( − ) × + = − −→ × ,−→где - момент всех внешних сил, вычисленный относительно точки .Теорема доказана.Теорема об изменении кинетической энергии: производная по времени от кинетической энергии системы равна мощности всех сил, приложенных к ней.Доказательство.Из определения кинетической энергии и второго закона Ньютона через плотности внутренних и внешних сил следует:∫︁1 =2 2 ˙ =∫︁−̇→− = ·→∫︁ (︁− )︁ −→− → + · → Отсюда и из определения мощности следует:˙ = + ,где и - соответственно суммарные мощности внешних и внутренних сил системы.Теорема доказана.Отметим, что мощность внутренних сил, действующих на систему, здесь не исключается.

Несмотря на то, что векторная сумма внутренних сил, по третьему закону Ньютона,равна нулю, точки системы могут перемещаться относительно друг друга (так, что центрмасс системы перемещается) под действием внутренних сил, то есть работа, а значит имощность внутренних сил системы не равна нулю.4.4Потенциальные, гироскописеские, диссипативные силы. Критерий потенциальности сил.Сила, приложенная к точке, называется потенциальной, если существует такая функ→−ция координат этой точки и времени - (, , , ), что проекции на оси могут бытьвычислены как: =, =,28 =или, в краткой форме:→− = →−→−−Если потенциал от времени не зависит, то выражение → · представляет собой полныйдифференциал функции :→−−→ · = Потенциальной энергией всей системы называется величина∫︁Π=− Непотенциальные силы называются гироскопическими , если их мощность равнанулю.Непотенциальные силы называются диссипативными , если их мощность отрицательна или равна нулю ( * ≤ 0, причем * ̸≡ 0).Необходимое условие потенциальности сил: если сила потенциальна, то совершаемая ей работа определяется только начальным и конечным положениями точки и независит от способа перемещения из одного положения в другое.Доказательство.Вычислим работу потенциальной силы:(∫︁ 2 )=(∫︁ 2 )∫︁(︂ + + =)︂ + + =(1 ) (1 )∫︁Π2=−Π = Π1 − Π2 ,Π1где Π1 = Π(1 , 1 , 1 ) и Π2 = Π(2 , 2 , 2 ) - значения потенциальной энергии соответственнов начальном и конечном положении точки.Теорема доказана.Отметим, что не всякая сила, зависящая только от положения, является потенциальной.

Для потенциальности требуются еще условия существования функции Π = Π(, , ),которые сводятся к выполнению следующих трех равенств:=,=,29=4.5Консервативные системы, закон сохранения энергии.Рассмотрим движение системы материальных точек относительно некоторой прямоугольной системы координат, предполагаемой неподвижной. Состояние системы задается радиус−−векторами → и скоростями → ее точек. Очень часто при движении системы положенияи скорости ее точек не могут быть произвольными.

Ограничения, налагаемые на вели−−чины → и → , которые должны выполняться при любых действующих на систему силах,называются связями. Если на систему не наложены связи, то она называется свободной.Пусть на систему из материальных точек наложено связей, и пусть их можновыразить с помощью уравнений:−→ −→−−→Φ (, →1 , . . . , −→ , 1 , . .

Характеристики

Список файлов лекций