3 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238794), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому для задания положения точек нужно знать 3 − координат, причем не обязательноиспользовать 3 − декартовых координат. Можно подобрать иные независимые величины, определяющие положение всех точек системы.Наименьшее число независимых величин, которое надо знать для того, чтобы определить положение всех точек голономной системы, называется числом степеней свободысистемы.Любой набор из величин, независимых одна от другой и полностью определяющихположение системы, называются системой обобщенных координат, сами эти величины - обобщенными координатами, а их производные по времени - обобщеннымискоростями.Разрешенные механическими связями положения механической системы, заданные внекотором пространстве, в каждый момент времени образуют поверхность, называемуюконфигурационным многообразием.
Исходя из этого определения, обобщенные координаты есть параметризация конфигурационного многообразия.7.5Уравнения Лагранжа. Обобщенные силы.Пусть на систему наложено механических связей. Пусть 1 , . . . , - обобщенные координаты системы (m=3N-r). Радиус векторы точек системы в инерциальной системе отсчетавыражаются через обобщенные координаты и время:→−− = → (1 , .
. . , , ),причем полученные функции предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.Для склерономной системы обобщенные координаты можно выбрать так, чтобы функции→− не зависели явно от времени. Из полученных функций следует:51→−−̇ = → =−→˙ +−∑︁→=1−→ =−∑︁→=1Запишем общее уравнение динамики в обобщенных координатах.
Для элементарнойработы активных сил имеем выражение∑︁∑︁→− →− · = ,=1=1где - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :−∑︁→− → = ·=1−Используя формулу для → имеем:∑︁−− → · → ==1∑︁=1(︃ )︃−̇−−̇−∑︁∑︁ → ∑︁ → →→· =· =1 =1=1Но∑︁=1−−̇ →→=· (︃∑︁=1−̇→→−̇ · ˙)︃−∑︁=1−̇→→−̇ ·Если использовать уравнение для кинетической энергии системы =21 ∑︁ → −̇ ,2 =1то последнее равенство примет вид∑︁=1−̇−→ → ·=−, ˙откуда∑︁=1−− → · → =)︂ (︂∑︁ − ˙=1Подставив полученные соотношения в общее уравнение динамики, получим общее уравнение динамики в обобщенных координатах:52)︂ (︂∑︁ −− = 0 ˙=1Если система голономна, то величины независимы и число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы (m=n).
Тогда общее уравнение динамики вобобщенных координатах удовлетворяется тогда и только тогда, когда −= , ˙ = 1, . . . , - уравнения Лагранжа второго рода.7.6Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил;функция Лагранжа (лагранжиан системы).Пусть обобщенные силы вычисляются по формулам = −Π,где потециальная энергия Π есть функция обобщенных координат и времени.Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил имеют вид Π−=− ˙Положим = − Π, тогда эти уравнения примут вид −=0 ˙Функция называется функцией Лагранжа или лагранжианом системы.7.7Уравнения Лагранжа в неинерциальных системахотсчета.При получении уравнений движения системы относительно неинерциальной системы координат можно применять различные способы. Укажем два из них.Первый способ не связан с теорией относительного движения.
Здесь задача формулируется без введения сил инерции. Кинетическая энергия абсолютного движения системывыражается через относительные обобщенные координаты и относительные скорости точек системы. Обобщенные силы вычисляются обычным способом (для заданных активныхсил). В этом способе силы инерции учитываются автоматически самой процедурой выписывания уравнений Лагранжа.53Второй способ основан на теории относительного движения. Задачу формулируют, вводя переносные и кориолисовы силы инерции. Кинетическую энергию здесь надо вычислять для относительного движения, а при подсчете обобщенных сил, помимо заданныхактивных сил, учитываются и силы инерции.Если в первом и втором из указанных способов за обобщенные координаты принятыодни и те же величины, то мы придем к одним и тем же уравнениям движения.7.8Структура кинетической энергии.Найдем выражение для кинетической энергии в виде функции от обобщенных координат,обобщенных скоростей и времени: =1 ∑︁2=12−̇ → =1 ∑︁2=1(︃−∑︁→=1−→˙ +)︃2∑︁1 ∑︁= ˙ ˙ + ˙ + 0 ,2 ,=1=1где−−1 ∑︁ → →,=2 =1 =∑︁=1, = 1, .
. . , −−→ → )︂2(︂ →1 ∑︁−0 =2 =1Слагаемые в формуле для кинетической энергии в порядке их следования называют квадратичной (2 ), линейной (1 ) и нулевой (0 ) формами кинетической энергии. Полученная формула показывает, что кинетическая энергия голономной системы представляетсобой функцию второй степени относительно обобщенных координат.В случае склерономной системы эта функция однородна: =7.91 ∑︁ ˙ ˙2 ,=1Свойства уравнений Лагранжа: ковариантность, невырожденность (приведение к нормальному виду Коши).Если обобщенные координаты подвергнуть невырожденным дважды непрерывно дифференцируемым преобразованиям → ˜ :54 = (, ˜ ),то в новых переменных уравнения Лагранжа сохранят свою форму, то есть они ковариантны. Это очевидно, поскольку новые координаты так же являются параметризациейконфигурационного многообразия системы.Теорема: Определитель, составленный из коэффициентов (, ) отличен от нуля прилюбых , .Доказательство.По определению, обобщенные координаты линейно независимы.
Если всего обобщенныхкоординат , а точек , то при = 3 функции координат всех точек линейно независимы. Если < 3 , то среди этих функций находится линейно независимых, а значитранг матрицы Якоби⎞1. . . ⎝. . . . . . . . . . . . .⎠. . . 1⎛ 11равен . Следовательно, равен и ранг матрицы⎛ √ 1√ 1 ⎞1 1 . . .1 ⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎠√√ ... 1Введем столбец , совпадающий с -ым столбцом последней матрицы.
Ранг этой матрицы равен , поэтому эти столбцы линейно независимы. Но тогда составленный из нихопределитель Грама отличен от нуля:⃒⃒⃒ 1 · 1 . . . 1 · ⃒⃒⃒⃒. . . . . . . . . . . . . . . . . . .⃒ ̸= 0⃒⃒⃒ · 1 . . . · ⃒Но · = Теорема доказана.В силу структуры кинетической энергии, уравнения Лагранжа всегда оказываются линейными относительно вторых производных от координат. Из доказанной выше теоремыи из того, что вторые производные появляются лишь из квадратичной формы энергии,следует, что уравнения Лагранжа разрешимы относительно вторых производных от координат.
Это означает, что уравнения Лагранжа сводятся к форме Коши, то есть ониневырожденны.557.10Первые интегралы лагранжевых систем: циклические интегралы, обобщенный интеграл энергии (интеграл Пенлеве-Якоби).Рассмотрим уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Умножая их на ˙ и суммируя по i, получаем следующее скалярное соотношение: (︂∑︁=1 − ˙˙ ˙)︂=0(︂)︂]︂ [︂∑︁˙− ¨− ˙=0 ˙ ˙=1Поскольку ∑︁(, , )˙ =+=1(︂)︂˙ +¨ , ˙то последнее соотношение переписывается в виде(︃∑︁˙ ˙=1)︃− +=0Если функция Лагранжа от времени не зависит, то из записанного равенства следуетпервый интеграл:∑︁=1˙− = ˙Этот интеграл носит называние обобщенного интеграла энергии или интеграла ПенлевеЯкоби.Еще один распространенный в механике тип первых интегралов составляют так называемые циклические интегралы.
Они имеют место тогда, когда функция Лагранжа независит от некоторых координат , +1 , . . . , (называемых циклическими). Из уравнений Лагранжа с этими координатами следуют − первых интегралов:= , ˙ = , + 1, . . . , 56.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
