3 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238794), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из полученных соотношений можно найтисвязь между параметрами регулярной прецессии в случае Эйлера: 2 +(−)1 cos = 0,т.е. подбором начальных условий нельзя реализовать свободную регулярную прецессию спроизвольными параметрами.446.6Случай Лагранжа; первые интегралы движения.В случае Лагранжа изучается движение динамически симметричного тела (волчка) с неподвижной точкой в однородном поле тяжести. При этом предпполагается, что центр тяжести волчка лежит на оси симметрии на расстоянии от неподвижной точки .Используя обозначения предыдущего пункта, преобразуем вектор угловой скорости:→−→−→− −→−−Ω = ( + →)+ = +→,→−→− ⊥ Момент внешних сил→− −−→ = + →,→−→−⊥ Момент импульса→− −→−→−−→→−−− = Ω = ( + → ) = + → = + →Теорема об изменении момента количества движения, с учетом того, что момент силытяжести относительно оси динамической симметрии равен нулю, дает→−̇→−→−̇−→−→˙−̇−̇ = , = + → = ˙ + + → = Из формулы Эйлера→−̇→−→− −→−→−−− =→ × = ( + →)× = → × ,откуда→− →−̇→−→−−− × = × [→ × ]=→Теперь теорема об изменении момента импульса имеет вид→−̇→− →−̈−→ + × = −Вводя обозначения - масса тела, - ускорение свободного падения, → - единичныйвектор направления силы тяжести, получим→−̇→− →−̈→− −→− − + × = × → = ×→,где величина = называется неуравновешенностью.→−̇→−→−̇Умножим полученное уравнение скалярно на .
С учетом того, что вектора и →−̇−→−→− →−взаимно ортогональны (так как = Ω × = → × ), получим→−̇ 2→− →−̇ →−̈→−̈ →− →−̇→− →−̇ −→− →−̇− + ·( · )− ·( · )= ·( ·→ ) − → ·( · )45→−̇→− →−̇ →−̈→− →−̇ − + ·( · )= ·( ·→)→−Умножая полученное равенство скалярно на получим→−̇ →−̈→−̇ − · − ·→ =(︂−̇ 2→−1 →− − → · 2)︂=0Отсюда следует, что уравнения имеют первый интеграл:−̇ 2→−1 →− − → · = = ,2описывающий закон сохранения полной механической энергии волчка.−Так как в рассматриваемой задаче момент внешних сил ортогонален вектору → , тосохраняется проекция момента импульса волчка на верткаль:→−−→ →−− = ( + →)·→ = = · −Итого имеем три первых интеграла: , , .6.7Формула для момента, поддерживающего вынужденную регулярную прецессию динамически симметричного твердого тела.Теорема об изменении момента импульса в случае произвольной силы (из предыдущегопункта):→−→−̇→− →−̈→−→−̇−→−→˙−̇ = ˙ + + → = ˙ + + × = →−−В проекции на оси → уравнение имеет вид→−̇→− →−̈− + × =→Выясним теперь, может ли тело совершать регулярную прецессию под действием внеш−него момента →.→−̇→−−−Подставим в последнее уравнение условие регулярной прецессии = → × , где → угловая скорость прецессии, предварительно вычислив→−̈→−̇→−→−−−−− =→ × =→ × [→ × ]=→ cos − 2После подстановки в уравнение, находим→− −→−→−− = ×→ cos + → × 466.8Эквивалентные преобразования системы сил, действующих на твердое тело.
Алгоритм сведения квинту.Определим несколько понятий:приложенным вектором называется вектор с фиксированной начальной точкой;скользящим вектором называется вектор, который можно перемещать вдоль линиидействия;−−парой называется два скользящих вектора → и −→ , линии действия которых параллельны (расстояние между ними называется плечом пары);свободным вектором называется вектор с произвольной точкой приложения.−Множество векторов {→ }, = 1, . . . , называется множеством скользящих векторов,если множество разрешено подвергать двум эквивалентным преобразованиям: добавлять(изымать) пару и заменять два вектора с общей начальной точкой на их векторную сумму− можно заменить на результат разложения по двум прямым,(аналогично любой вектор →− ).проходящим через начало вектора →Два множества скользящих векторов называются эквивалентными, если от одного множества к другому возможен переход при помощи указанных выше преобразований.−Главным вектором множества скользящих векторов {→ }, = 1, .
. . , называется свободный вектор:∑︁→−→− ==1−Моментом вектора → относительно точки называется приложенный (к точке )вектор:−→ →−− (− ) = → × → ,−−где вектор → проведен из точки к прямой, на которой расположен вектор → .−Главным моментом множества скользящих векторов {→ }, = 1, . . . , относительноточки называется приложенный (к точке ) вектор:−→ ∑︁ −→ → = (− )=1Теорема о переносе полюса: главные моменты относительно точек и связаныформулой−→ −→ −→ →− = − × Доказательство проводится вычислением главного момента относительно точки с уче−−том очевидного соотношения для векторов → и → , проведенных соответственно из точек47−→−−− и к прямой, на которой лежит вектор → : → = → − .Винтом называется такая система скользящих векторов, для которой главный вектор→−−−→и главный момент коллинеарны. Прямая, для точек которой выполняется × =0 называется осью минимальных главных моментов или осью винта.
Величинаминимального главного момента равнаmin =− −→1→ · Найдем уравнение оси винта. Для этого достаточно найти хотя бы одну точку , емупринадлежащую, так как ось винта параллельна главному вектору. Удобно выбрать точку−−→→− такую, что ⊥ , причем главный момент относительно точки известен. По−−→ −→ −−→ →−теореме о переносе полюса = − × . Умножим это уравнение векторно слева→−на :→− −→ →−−−→ →−→− −→ −−→0 = × − × ( × ) = × − 2 ,откуда→− −→−−→ × =,2и уравнение для оси винта− −→→−1 →→− = 2 × + ,где - произвольный вещественный параметр.−Любое множество скользящих векторов {→ }, = 1, . . .
, можно свести к винту последующему алгоритму:1. Вычислить главный вектор и главный момент относительно некоторой точки (винтне определен, если главный вектор равен нулевому вектору).2. Задать ось винта, выражение для которой получено выше.3. К произвольной точке винта приложить вектор, равный главному вектору и момент,равный вектору→− −→−−−→ · → =,2величина которого равна величине минимального главного момента.Множество векторов угловой скорости и множество векторов силы являются простейшими примерами скользящих векторов, поэтому все сказанное в этом пункте справедливои для них.
При сведении к винту векторов угловой скорости винт называют кинематическим, а при сведении к винту векторов силы - динамическим.48Глава 7Лагранжева механика.7.1Понятие механической связи. Классификация связей.Любые ограничения, накладываемые на движение исследуемой системы тем фактом, чтоматерия занимает место в пространстве и поэтому в той или иной мере препятствуетдвижению исследуемых материальных точек, называются механическими связями.Механические связи подразделяются на два основных класса:1. связь называется удерживающей, если накладываемые ею ограничения выражаютсяв форме равенства;2.
связь называется неудерживающей, если накладываемые ею на координаты точекограничения выражаются неравенствами.Удерживающие механические связи подразделяются на конечные и дифференциальные в зависимости от того, является ли равенство, выражающее их, конечным соотношением или дифференциальным уравнением.Дифференцируемые связи делятся на интегрируемые и неинтегрируемые в зависимости от того, могут ли соответствующие уравнения связи быть проинтегрированы, илинет.Конечные связи и дифференциальные интегрируемые связи составляют класс голономных механических связей, а дифференциальные неинтегрируемые связи - класс неголономных связей.
Системы, содержащие только голномные или только неголономныесвязи, называются соответственно голономными и неголономными системами.Если равенства голономных связей не содержат явно время, то такая связь называется стационарной или склерономной. В тех случаях, когда время явно входит в этиравенства, связь называется нестационарной или реономной.7.2Виртуальные перемещения.Рассмотрим голономную систему из N точек.
Для содержащихся в них связей могут бытьвыписаны уравнения вида49 (, , , ) = 0, = 1, . . . , Во время движения системы все координаты являются функциями времени и уравнения голономных связей определяют тождеств: ((), (), (), ) ≡ 0, = 1, . . . , Дифференцируя полученные тождества по времени, получим: ∑︁+=1(︂˙ +˙ +˙)︂=0Этим соотношениям должны удовлетворять скорости точек ˙ , ˙ , ˙ .Любые скорости, удовлетворяющие полученному уравнению, называются возможными скоростями, а любые бесконечно малые перемещения в направлении возможных скоростей, удовлетворяющие, следовательно, исходным уравнениям связей - возможнымиперемещениями.Реономная связь называется замороженной, если в какой-то момент времени считается, что она перестает зависеть явно от времени.
Скорости, удовлетворяющие уравнениямзамороженных связей (то есть полученным дифференциальным уравнениям без первогослагаемого) называются виртуальными скоростями, а любые бесконечно малые перемещения в направлении виртуальных скоростей - виртуальными перемещениями.7.3Общее уравнение динамики для системы материальных точек с идеальными связями.Если на тело действуют связи, то это тело можно рассматривать как свободное (накоторое не действуют связи), если отбросить связи и заменить их действие реакциямиэтих связей.Механические связи называются идеальными, если сумма элементарных работ реак−→−ций этих связей на любом виртуальном перемещении → системы равна нулю:∑︁−→ − · → = 0=1Второй закон Ньютона для материальной точки в системе с идеальными связями можно записать, если прибавить к действующим на точку силам реакции связи:→− −→− → = + , = 1, .
. . , ,−где - масса точки, а → - ее ускорение в инерциальной системе отсчета.Перепишем второй закон Ньютона в виде50→−−→− − → = − , = 1, . . . , ,−умножим его скалярно на → и произведем суммирование по : (︁)︁∑︁→−−− − → · → = 0=1- общее уравнение динамики.7.4Конфигурационное многообразие голономной системы с конечным числом степеней свободы. Обобщенные координаты.В общем случае системы, содержащей точек и стесненной механическими связями, изуравнений связи можно выразить декартовых координат точек через остальные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
