3 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238794), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. , Независимая переменная - время, зависимая переменная - вектор, содержащий компонент.Пусть над зависимыми и независимыми переменными совершается преобразование(, ) → (′ , ′ ): = (′ , ′ ), = (′ , ′ )4Выписанная система дифференциальных уравнений называется инвариантной по отношению к этому преобразованию переменных, если после подстановки замены в уравнение для новых переменных можно получить уравнения с теми же самыми функциями :)︂(︂′ ′′ ′ = 0, , , ′ , . . . ,(′ )() = 0, .
. . , В принципе относительности Галилея речь идет об инвариантности законов классической механики, то есть неизменны лишь правила составления дифференциальных уравнений, но не сами уравнения.Инвариантность правила составления дифференциальных уравнений по отношению к переходу к новым переменным и называется ковариантностью самих дифференциальныхуравнений.5Глава 2Кинематика точки.2.1Траектория, скорость, ускорение.−Положение материальной точки считается известным, если задан радиус-вектор → этойточки в некоторой заранее фиксированной декартовой системе координат.Движение мате−риальной точки задается явной функцией времени → (), что соответствует заданию трехскалярных функций времени (), (), () при рассмотрении радиус-вектора в некотором−→− →− →базисе , , :→−→−→−→− = () + () + () Кривая, описываемая движущейся точкой, называется траекторией.
Скоростью точкиназывается вектор⎛ ⎞ ⎛ ⎞˙→−̇→−⎝⎠⎝ = = ˙ = ⎠ ,˙где компоненты вектора есть проекции вектора скорости на оси , , . Модуль скорости=√︁2 + 2 + 2Ускорением точки называется вектор⎛ ⎞ ⎛ ⎞¨→−−̈ () = → () = ⎝¨⎠ = ⎝ ⎠ ,¨где компоненты вектора есть проекции вектора ускорения на оси , , .Модуль ускорения=√︁2 + 2 + 262.2Естественный (сопровождающий) трехгранник. Разложение скорости и ускорения в осях трехгранника.Пусть закон движения точки задан: = (), = (), = ()Выберем на траектории произвольную точку, от которой будем отсчитывать пройденныйрассматриваемой точкой по траектории путь (). Рассматривая в качестве нового параметра для траектории, получим:−→−→−−̇˙ = → .˙ =→ [()] =−Из дифференциальной геометрии известно, что |→ | = 1, а сам вектор определяет направление касательной к траектории в рассматриваемой точке.
Вычислим ускорение точки:−→− →→→−̇→−−→−→−2 = = ( ) = ˙ + ˙ = ˙ + −Вектор → / называется вектором кривизны. Он связан с единичным вектором нормали−к кривой → следующим образом:−→1−= →,где величина называется радиусом кривизны траектории в рассматриваемой точке. Тогда для вектора ускорения:2 −→−− = ˙ → + →→−−−Дополнив векторы → и → третьим ортогональным им единичным вектором такимобразом, чтобы построенный базис из трех векторов был правым, мы и получим то, чтоназывается естественным или сопровождающим трехгранником.Исходя из вышесказанного,запишем разложение векторов скорости и ускорения в осях(︁→− )︁→−→−трехгранника , , :⎛ ⎞→− = ⎝0⎠ ,0⎛⎞˙→− = ⎝ 2 /⎠ ,0где величины ˙ и 2 / называются соответственно тангенциальным и нормальным ускорениями.72.3Криволинейные координаты точки.
Разложение скорости и ускорения точки в локальном базисе криволинейных координат. Коэффициенты Ламе.−Положение материальной точки → = {, , } можно задавать не только при помощидекартовых координат , , , но и любых других независимых величин 1 , 2 , 3 , называемых криволинейными координатами точки. Задание 1 (), 2 (), 3 () полностью−−определяет положение материальной точки → () = → [1 (), 2 (), 3 ()].Пусть в момент = * положение точки определено значениями обобщенных коор−динат 1* , 2* , 3* , то есть радиус-вектором → (1* , 2* , 3* ). Положив теперь 2 = 2* , 3 = 3* ,→−* *будем изменять 1 . Тогда (1 , 2 , 3 ) определит в пространстве кривую - ее называюткоординатной линией 1 . Аналогично можно построить координатные линии 2 и 3 .
Касательные к координатным линиям в точке (1* , 2* , 3* ) образуют систему осей координат1 , 2 , и 3 .−Для того чтобы определить компоненты скорости → по построенным таким образомосям координат, введем в рассмотрение соответствующие орты:−Орт → оси ( = 1, 2, 3)−→ /−равен → = →−| / |и коэффициенты Ламе− = | → / | ;тогда−→−= →и33−−∑︁∑︁→→→−− ==˙ = ˙ → ,=1=1−т.е.
компонента скорости → по оси равна = ˙−Определим, далее, - проекцию ускорения → на ось , т.е. скалярное произведение→−→− · :[︂ (︂)︂]︂−−−−1 →1 →→ →→→−→−−→−− · = · =·= · −−Выражение для скорости определяет функцию → =→ (, ),˙ откуда следует8−−→→=, ˙но, с другой стороны, очевидно, что−−− →→ →== ˙Теперь равенство для проекции ускорения представимо в виде[︂ (︂)︂]︂−−1 →→→→−− =− ·, · ˙или[︂]︂1 ( 2 /2) ( 2 /2) =− ˙9Глава 3Кинематика твердого тела (кинематикасистем отсчета).3.1Твердое тело.
Способы задания ориентации твердого тела: углы Эйлера, матрицы направляющих косинусов.Совокупность материальных точек, состоящая из более чем одной материальной точки,называется твердым телом, если расстояние между любыми двумя точками этой совокупности неизменно.Из определения твердого тела следует, что если в какой-то момент времени с неко−−−торыми точками тела связать ортонормированный базис →1 →2 →3 , то этот базис будетоставаться ортонормированным в любой последующий момент. Радиус-вектор произволь→−ной точки тела в этом базисе имеет неизменные компоненты = (, , )Рассмотрим произвольное движение твердого тела относительно неподвижной системы→−→−→−отсчета 1 2 3 , задаваемой ортонормированным базисом с началом в точке .
Радиусвектор произвольной точки тела в этом базисе дается соотношением→−′−→ →−−→−−− = + = + (→1 + →2 + →3 ) ,−→ −→ = Отсюда следует, что для однозначного определения положения точки тела в системе→−→−→−→−→−→−−−− 1 2 3 достаточно задать положение базиса →1 →2 →3 относительно базиса 1 2 3 .→−→−→−−−−Движение базиса →1 →2 →3 относительно 1 2 3 может быть полностью описано дви→−→−→−−−−жением точки и движением базиса → → → относительно . Последнее пред1 2 31 2 3ставляет собой движение твердого тела с неподвижной точкой и называется вращениемтвердого тела.Теперь ориентацию твердого тела можно задать с помощью матрицы направляющих косинусов :→−′→− = ,→−→−→−→−где ′ - радиус-вектор произвольной точки тела в базисе 1 2 3 , - матрица перехода от10→−→−→−−−−базиса →1 →2 →3 к базису 1 2 3 .
Оба этих базиса ортонормированные, поэтому матрицанаправляющих косинусов ортогональна: = −−−Рассмотрим систему углов Эйлера. Пусть базис →1 →2 →3 занимает произвольное по→−→−→−→−−ложение. Все векторы базиса 1 2 3 можно совместить с базисными векторами → спомощью следующих трех поворотов:→−→−→−1. Поворот вокруг оси 3 на угол до совмещения вектора 1 с линией узлов ′ 1 , т.е.
с→− →− − →линией пересечения плоскостей векторов 1 , 2 и →1 , −2 .→−→−−2. Поворот вокруг линии узлов ′ 1 на угол до совмещения орта 3 с ортом →3 .→−−3. Поворот вокруг оси →3 ( ′′3 ) на угол до полного совмещения базисов.→−→−→−−−−Совокупность указанных поворотов переводит базис 1 2 3 в базис →1 →2 →3 и представляет собой последовательность поворота на эйлеровы углы (угол прецессии), (уголнутации) и (угол собственного вращения).Отметим, что с помощью углов Эйлера не всегда можно задать ориентацию твердоготела.
Если sin = 0, то углы Эйлера вырождаются.3.2Алгебра кватернионов.Кватернионы представляют собой четырехмерные гиперкомплексные числа и записываются выражениями следующего вида:Λ = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 ,где 0 , 1 , 2 , 3 - произвольные действительные числа, называемые компонентами кватерниона Λ, а 1 , 2 , 3 - кватернионные единицы.Кватернионное сложение определяется по правилам обычной векторной алгебры: = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3113∑︁Λ + = 0 + 0 +( + )=1Кватернионное произведение обозначается знаком "∘" и для умножения кватернионана скаляр определяется так: ∘ Λ = Λ ∘ = 0 +3∑︁ ,=1а правила умножения кватернионных единиц определяются следующей таблицей: ∘ = −1, = 1, 2, 31 ∘ 2 = 3 , 2 ∘ 3 = 1 , 3 ∘ 1 = 22 ∘ 1 = −3 , 3 ∘ 2 = −1 , 1 ∘ 3 = −2В соответствии с этими правилами можно использовать такую интерпретацию кватернионов,при которой элементы 1 , 2 , 3 отождествляются с единичными векторами, образующими в трехмерном пространстве правую ортогональную тройку.
Тогда по аналогиис комплексными числами кватернион Λ можно представить в виде формальной суммы→−скалярной части 0 и векторной части :→−→−→−→−Λ = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 = 0 + ,а правила умножения базисных векторов записать через скалярное и векторное произведение: ∘ = × − · ,, = 1, 2, 3Отсюда и из свойства дистрибутивностиΛ ∘ ( + ) = Λ ∘ + Λ ∘ →− −получаем для кватернионного произведения векторов и → формулу→− →→− − →− − ∘− = ×→ − ·→Отсюда и из формулы для умножения кватерниона на скаляр получим→− −→− →− −−Λ ∘ = 0 0 − · → + 0 → + 0 + × →Помимо свойства дистрибудивности, умножение кватернионов ассоциативно, но некоммутативно.
А также скалярная часть произведения кватернионов не меняется при циклической перестановке сомножителей.12→−По аналогии с комплексными числами для кватерниона Λ = 0 + определяется̃︀сопряженный кватернион Λ:−̃︀ = 0 − →ΛНормой кватерниона Λ называется произведение этого кватерниона на его сопряженноезначение:− →−̃︀ = 20 + → · =||Λ|| = Λ ∘ Λ3∑︁2=0Если ||Λ|| = 1, то такой кватернион называется нормированным.−−̃︀ = 0 − →̃︁ = 0 − →Для произведения двух сопряженных кватернионов Λ и поформуле умножения имеем:− →→− →− −−^̃︁ ∘ Λ̃︀ = 0 0 − → ·− − (0 → + 0 + × → ) = (Λ∘ )Отсюда для нормы произведения двух кватернионов:̃︁ ∘ Λ̃︀ = ||Λ|| · || ||||Λ ∘ || = Λ ∘ ∘ Операция деления двух кватернионов определяется как операция умножения на обратный кватернион.Кватернионом, обратным к Λ, называется кватернионΛ−1 , определяемый из условияΛ ∘ Λ−1 = Λ−1 ∘ Λ = 1̃︀ слева:Умножим обе части уравнения Λ ∘ Λ−1 = 1 на ΛΛ−1 =3.3̃︀Λ||Λ||Кватернионный способ задания ориентации твердого тела (присоединенное отображение).Теорема о положении твердого тела: произвольное положение твердого тела с неподвижной точкой задается нормированным кватернионом Λ по формулам→− ̃︀→− = Λ ∘ ∘ Λ, = 1, 2, 3,→−→−→−−−−где базис →1 →2 →3 связан с самим телом, а базис 1 2 3 неподвижен.
При этом каждому положению тела соответствуют два значения кватерниона Λ, отличающихсязнаком.Доказательство.13Будем искать решение в виде→−→−Λ = 0 + , где 20 + | |2 = 1Введем обозначения→−→−− = → − ,→−→−− = → + , = 1, 2, 3Для этих векторов, очевидно,→−− · → = 0,→−−−− · → = −→ · →→−−Записывая исходную формулу в виде → ∘ Λ = Λ ∘ , получим систему:{︃→−−→− →→− · = · →−−→− →− →−−0 → + → × = 0 − × ,откуда{︃→−→− · = 0→− −−→ = ×→ ,0 →−Если базисы совпадают, то из второго уравнения системы получим = 0, откуда Λ =0 = ±1, что соответствует утверждению теоремы.−Если они не совпадают, то найдется, по крайней мере, два не равных нулю вектора → и→−→−→− .
Пусть для определенности это вектора и . Из первого уравнения системы следует,12что векторная часть искомого решения может быть написана в виде→−−− = (→1 × →2 ),где - некоторый скаляр. Подстановка этого выражения во второе уравнение системыдаст{︂−−0 = −(→1 · →2 )→−→−0 = ( 2 · 1 )Полученные уравнения, очевидно, совпадают. Тогда искомое решение системы имеет вид−−−−Λ = (→2 · →1 + →1 × →2 )С учетом условия нормировки, окончательно получим формулуΛ = ± √︁→−−−−2 · →1 + →1 × →222−−−−(→ ·→ ) + (→ ×→ )21Теорема доказана.1412Преобразование в исходной формуле называется присоединенным отображением.3.4Параметры Родрига-ГамильтонаЗапишем единичный кватернион в форме−Λ = 0 + →,→−→−−где = | |, а → - единичный вектор направления вектора .Кватернион единичный, откуда 20 + 2 = 1.
Два скаляра, удовлетворяющие уравнениюединичной окружности, всегда могут быть представлены в таком виде, что Λ = cos /2 +→− sin /2.Теорема о повороте базиса:Поворот, определяемый кватернионом Λ, есть поворот−вокруг вектора → на угол .Доказательство.Вычислим образы орт исходного базиса с помощью теоремы о положении твердого тела,→−−−выбрав исходный базис как 1 ≡ → , 2 , 3 ⊥ →:(︁→−′ )︁ → → )︁ → →−− (︁−−∘ 1 ∘ cos − 1 sin= 1 1 = cos + 1 sin2222(︁→−′ )︁ → → )︁ → →−− (︁−−→−∘ 2 ∘ cos − 1 sin= 2 cos + 3 sin 2 = cos + 1 sin2222(︁→−′ → )︁ → → )︁−− (︁−→−→− 3 = cos + 1 sin∘ 3 ∘ cos − 1 sin= − 2 sin + 3 cos 2222Тогда матрица поворота:⎛⎞100 = ⎝0 cos − sin ⎠0 sin cos Теорема доказана.В покомпонентной записи этот кватернион имеет видΛ = cos→→→−−−+ sin 1 + sin 2 + sin 3 ,2222коэффициенты которого называются параметрами Родрига-Гамильтона.3.5Кватернионные формулы сложения поворотов→−→−Пусть кватернион Λ задает поворот тела из базиса в базис ′ , а кватернион - поворот→−→−−из базиса ′ в базис ′′ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
