3 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238794), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В результате указанных двух поворотов начальное положение →→−′′произвольной точки тела преобразуется в конечное положение по формуле15→−′′→−−−̃︁ = ∘ Λ ∘ →̃︀ ∘ ̃︁ = ∘ →̃︀ , = ∘ ′ ∘ ∘Λ ∘где - кватернион результирующего поворота. Отсюда следует, что этот кватернион определяется как = ∘ΛПо индукции доказывается, что в случае последовательных поворотов, задаваемыхкватернионами Λ1 , Λ2 , . . .

, Λ , формула сложения поворотов имеет видΛ = Λ ∘ Λ−1 ∘ . . . ∘ Λ13.6Теорема Эйлера о конечном повороте твердого телас неподвижной точкой.Теорема Эйлера о конечном повороте: любое положение твердого тела с неподвижной точкой может быть получено из начального положения одним поворотом вокруг→− →−→−−оси → = /| | на угол = 2 arccos 0 , где Λ = 0 + - нормированный кватернион,задающий положение тела.Доказательство.Запишем кватернион Λ в тригонометрической форме:→−−cos = 0 , → = /||−Λ = cos + → sin ,→−→−−Дополним вектор → единичными векторами и до правой ортогональной тройки→−→−→−−−−(→ ∘ = ) таким образом, чтобы вектор → оказался в плоскости векторов → и .−Тогда вектор → запишется в виде→−→−−− = |→ |(→ cos + sin )→−→− ̃︀−=Учитывая, что из условия ортогональности векторов → и следует равенство ∘ Λ→−Λ ∘ , по теореме о положении твердого тела получим→−′→−− ̃︀→−−−−−̃︀ cos + Λ ∘ → = |→ |(Λ ∘ → ∘Λ ∘ Λ sin = |→ |(→ cos + ( cos 2 + sin 2 sin ))−Сравнивая полученое выражение с вектором → , получаем требуемое.Теорема доказана.163.7Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела.

Кинематические уравнения вращательного движения твердого тела в кватернионах (уравнения Пуассона).→−Рассмотрим движение тела с неподвижной точкой относительно базиса . Моментам→−→−времени и + ∆ соответствуют положения связанного с телом базиса () и ( + ∆).По теореме Эйлера о конечном повороте указанные положения можно совместить одним−поворотом вокруг некоторой оси → (, ∆) на некоторый угол ∆(, ∆).→−Угловой скоростью твердого тела относительно базиса в момент называетсяпредел∆(, ∆) →−→− (, ∆) = limΔ→0∆Найдем выражение для вектора угловой скорости через кватернион Λ(), задающий по→−→−ложение тела относительно базиса . Перемещению тела из положения () в положение→− ( + ∆) соответствует кватернионΛ = cos∆(, ∆)∆(, ∆)∆(, ∆) →−+− (, ∆) sin=1+→ (, ∆) sin+ ((∆)2 )222Перепишем формулу сложения поворотов Λ( + ∆) = Λ ∘ Λ():Λ( + ∆) − Λ() = Λ ∘ Λ() − Λ() ⇒ ∆Λ = (Λ − 1) ∘ Λ()Тогда1−∆ΛΛ − 1= lim∘ Λ() = → ∘ Λ(),Δ→0 ∆Δ→0∆2Λ̇ = limоткуда→−̃︀ = 2Λ̇ ∘ ΛПолученные формулы для Λ̇ являются кинематическими уравнениями вращательного движения твердого тела, записанными в кватернионах, и называются уравнениямиПуассона.Угловым ускорением называется вектор→−−̇ =→173.8Распределение скоростей и ускорений в твердом теле (формулы Эйлера и Ривальса).→−→−→−Рассмотрим произвольное движение тела относительно системы отсчета 1 2 3 .

Пусть Λ−−−- нормированный кватернион, задающий ориентацию связанного с телом базиса →1 →2 →3→−→−→−→−относительно 1 2 3 . Вычислим производные по времени от базисных векторов в→−→−→−системе отсчета 1 2 3 :→− ̃︀→− ̃︀˙→−̇ = Λ̇ ∘ ∘ Λ+ Λ ∘ ∘ Λ, = 1, 2, 3С учетом равенств̃︀ = 1 ⇒ Λ̇ ∘ Λ̃︀ + Λ ∘ Λ̃︀˙ = 0Λ∘Λполучим− ̃︀→−→−̇−−̃︀ ∘ Λ) ∘ →̃︀ ∘ Λ) ∘ Λ̃︀˙ = Λ̇ ∘ Λ̃︀ ∘ →̃︀ = Λ̇ ∘ (Λ ∘ Λ + Λ ∘ ∘ (Λ − → ∘ Λ̇ ∘ ΛС учетом выражения для вектора угловой скорости:→−̇−− = → ×→ , = 1, 2, 3→−→−→−Найдем скорость произвольной точки тела в системе 1 2 3 . Положение этой точкиопределяется вектором→−′−→ →−−→−−− = + = + (→1 + →2 + →3 ) ,−→ −→ = Дифференцируя это уравнение по времени с учетом полученного ранее соотношения приходим к формуле Эйлера распределения скоростей в твердом теле:→−−→ →−̇−→ − →− × = + = + →Дифференцирование последней формулы по времени дает формулу Ривальса распределения ускорений в твердом теле:−→ −→ − →− −→−− = + → × +→ × (→ × ),−→→−→−−−−где - ускорение полюса, → × - вращательное ускорение, → × (→ × ) - осестремительное ускорение.183.9Разложение движения тела на поступательное движение и вращение (движение с неподвижной точкой).

Кинематический винт твердого тела.Согласно формуле Эйлера, в каждый момент времени произвольное движение твердоготела может быть представлено как комбинация поступательного движения со скоростью−→ некоторой точки тела и вращения вокруг оси, проходящей через точку , парал−лельной вектору → . Выбирая в качестве полюса различные точки тела, получим разныепредставления одного и того же движения тела. Кинематическим винтом называется−→такое представление движения тела, в котором вектор скорости выбранного полюса −→−→ −−−параллелен вектору угловой скорости тела → , т.е.

→ × = 0. Зная и → , найдем этуточку .−→−→ −−−→В силу формулы Эйлера = + → ×для этой точки должно выполнятьсяравенство−→ −−−→→−− × + → × (→ × ) = 0Разложим радиус-вектор искомой точки на две составляющие:−−→−−→−−→ −−→ −−→−− = ℎ + , где → · ℎ = 0, → × = 0−−→−Тогда составляющая , параллельная вектору → может принимать любые значения, а→−составляющая, ортогональная вектору −→−−→ →−ℎ = × 2−→−Отсюда следует, что точки, удовлетворяющие условию → × = 0, образуют прямую, называемую осью кинематического винта.

Эта прямая параллельна вектору угловой скорости тела - главному вектору винта. Скорости всех точек тела, принадлежащихоси винта, одинаковы по величине и по направлению. Величину скорости этих точекможно определить по известной скорости точки и угловой скорости тела, используя−→ − −→−→−инвариантность скалярного произведения: → · = → · . записывая вектор в виде−→−− = → /|→ |, получим−→ −− = → · /|→|Кинематический винт характеризуется тремя параметрами: осью винта, вектором угловой скорости тела и величиной скорости точек винта.Отметим, что ось кинематического винта является осью минимальных скоростей твердого тела.

В частном случае, когда = 0, движение тела представляет собой мгновенное−вращение вокруг этой оси. Для мгновенного поступательного движения (→ = 0) кинематический винт не определен.193.10Кинематика сложного движения. Сложение скоростей и ускорений точек в сложном движении. Вычисление угловой скорости и углового ускорениятела в сложном движении.Формулировка задачи на сложное движение состоит в следующем. Пусть задано движение→−→−связанного с твердым телом базиса относительно базиса ′ , и задано движение→−→−→−базиса ′ относительно системы отсчета . Требуется найти движение базиса →−относительно .→−→−В этой задаче движение базиса относительно ′ называется относительным→−→−движением тела, движение базиса ′ относительно - переносным движением, а дви→−→−жение базиса относительно - абсолютным движением.−→−→Переносное движение тела задается скоростью и ускорением точки относи→−−−тельно системы , а также угловой скоростью → пер и угловым ускорением → пер базиса→−′→−−→отн −→отн относительно .

В свою очередь векторы и задают скорость и ускоре→−′→−→−отнотнние точки в системе , а векторы и - угловую скорость и угловое ускорение→−′→−связанного с телом базиса относительно .−→Чтобы найти параметры абсолютного движения тела, нужно найти скорость и уско−→→−рение точки в системе отсчета , а также угловую скорость и угловое ускорение→−→−базиса относительно .→−Найдем сначала скорость и ускорение точки в системе отсчета .

Записывая век∑︀ →→−−−−тор → определяющий положение точки в базисе ′ в виде → = ′ и дифферен−→ −→ −→−цируя вектор = + → по времени в системе , получим33∑︁−′→−̇−→ −→−→ ∑︁ →−→ −→−→−→˙→−̇−− = + = +˙ + ′ = + отн + → пер × → = отн + пер11→−−→Ускорение точки в системе находится дифференцированием вектора по вре→−мени в системе :20333∑︁∑︁−−′→−̇′−→ −→ ∑︁ → − пер →× ′ ) = = +¨ + 2˙ + (→1113[︁−→]︁ ∑︁→−−→→−→−→−→−→−−перперпер= + × +×(× ) +¨ ′ + 2→ пер × отн =1−→−→−→= пер + отн + кор→−−Найдем угловую сокрость → твердого тела в системе .

Запишем скорость произвольной точки тела в этой системе, используя формулу сложения скоростей и формулуЭйлера:[︁−]︁ [︁−]︁→−→−→−→ − пер→−−−− = пер + отн = + →× (→ +→ ) + отн + → отн × → =[︁−−→→ →−→отн ]︁−−−−−−−→−пер+ (→ пер + → отн ) × → = + (→ пер + → отн ) × →= + × + −Отсюда, в силу произвольности →→−−− =→ пер + → отн−Найдем абсолютное угловое ускорение тела → , продифференицровав последнюю формулу и учитывая, чтоотн→−̇=3∑︁133(︁∑︁→− )︁→−̇→− ∑︁−−отн · → пер × ′ = отн +отн ′ = →˙ отн ′ +1−−=→ отн + → пер ×13∑︁→−−−отн ′ = → пер × → отн ,1откудаперотн→−−̇−̇−−−−+→=→ пер + → отн + → пер × → отн =→3.11Кинематические уравнения движения твердого тела в углах Эйлера.В соответствии с правилом выбора углов Эйлера, движение тела с неподвижной точкой→−представляется в виде суммы трех вращений: 1) вокруг оси прецессии 3 с угловой ско−′˙ 2) вокруг линии узлов →˙ 3) вокруг оси собственногоростью ; 1 с угловой скоростью ;→−вращения 3 с угловой скоростью .˙ Из формулы сложения угловых скоростей в сложномдвижении тела:→−→−→−− = ˙ 3 + ˙ ′ 1 + ˙ →321Проецируя это равенство на оси связанного с телом базиса и используя для проекций−−−−−−угловой скорости на эти оси обозначения = →→1 , = →→2 , = →→3 , получим = ˙ sin sin + ˙ cos = ˙ cos sin − ˙ sin = ˙ cos + ˙Кинематические уравнения Эйлера получаются разрешением полученной системы относительно производных от углов Эйлера: sin + cos ˙ =sin ˙ = cos − sin ˙ = − sin + cos tg Напомним, что если sin = 0, то система вырождается.3.12Прецессионное движение твердого тела.

Интегрирование уравнений Пуассона для прецессионногодвижения твердого тела.Движение твердого тела с неподвижной точкой называется прецессионным, если неко−торая фиксированная в теле ось → , проходящая через неподвижную точку, совершаетдвижение по поверхности неподвижного кругового конуса.→−−В случае прецессионного движения угол между осью конуса и осью тела → не→− →→− →−̇→−̇→−→− ×меняется, поэтому · = 0. Отсюда с учетом формулы = × получаем · (−→−→−− ) = 0, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций