Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 68
Текст из файла (страница 68)
4. Провалы рынкавзносе контрагента. Следовательно, если равновесие существует,2 > 0.то tB > 0 и xСитуацию можно представить графически, воспользовавшисьтерминологией теории игр. Заметим, что в равновесии взносодного потребителя является лучшим ответом на равновесныйвзнос другого потребителя. Таким образом, рассматриваемаяконцепция равновесия соответствует равновесию по Нэшу. Изусловия первого порядка k-го потребителя k−k 11k t +t−0vp2Рис. 4.11. Функции наилучшегоответа и равновесиеp2p1и будет = 0, если tk > 0выведем функции наилучшего ответа k-го потребителя.ДляА: tA = потребителяBB4 p1 − t , t < 4 p1 ,=0,tB 4 p 1 .Для потребителяВ:A , tA < 8 p ,4p−t11tB =0,tA 8 p 1 .Схематично (без соблюдениямасштаба) изобразим функциинаилучшего ответа на рис.
4.11.Функции наилучшего ответа пересекаются в точке (tA = 0,Bt = 8 p1 ). Таким образом, в равновесии общественное благофинансирует только потребитель В и его взнос tB = 8 p1 .(д) Далее продолжим решать задачу, не ссылаясь на результат, полученный из графического анализа.Так как потребитель В финансирует покупку общественногоблага, то tB > 0, а значит, условие первого порядка выполненокак равенство 8/x2 = p2 /p1 .2 = y2 , тоС другой стороны, так как в равновесии x2 > 0 и xy2 > 0, а значит, условие первого порядка задачи фирмы такжевыполнено как равенство: p2 − 2 p1 y2 = 0. После преобразованияэто условие может быть записано в следующем виде: p2 /p1 = 2y2 .Кроме того, так как в равновесии x2 = y2 , то p2 /p1 = 2x2 .Таким образом, из условий первого порядка задачи фирмы2 = 2.и задачи потребителя В получим 8/x2 = 2x2 , откуда xp1 = 4.
Для удобства дальнейших вычисленийТогда y2 = 2, p2 /введем нормировку p1 = 1, тогда p2 = 4. Прибыль фирмы равна 4.4.5. Решения задач383Остальные параметры равновесия: tA = 0, tB = 8 (заметим, чтоэтот результат совпадает с результатом графического анализа,AB1 = 21 − 8 = 13.в ходе которого получили tB = 8 p1 ), x1 = 123, x(е) Найденное равновесное распределение не является Парето-оптимальным.
Условие, которомуравновес Bудовлетворяетx2 ) = c (y2 ). Так какное распределение 8/x2 = 2x2 — это v ( Ax2 ) + v B (x2 ) > c (y2 ), тогда как внутv (x2 ) > 0, то v A (реннее Парето-оптимальноераспределение удовлетворяет уравx2 ) + v B (x2 ) = c (y2 ). Уравнениенению Самуэльсона: v A (Самуэльсона для рассматриваемой задачи: 4/x2 + 8/x2 = 2y2 .Так как предпочтения потребителей выпуклы и строго монотонны, производственная функция вогнута, то уравнение Самуэльсона является не только необходимым условием для внутреннего Парето-оптимального распределения, но и достаточным. Поскольку Парето-оптимальное распределение допустимо,в Пато x2 = y2 , откуда 4/x2 + 8/x2 = 2x2 , а следовательно,√рето-оптимальном распределении x2 = y2 = 6 . Далее, так1 = 6. Из условия допустимостикак c (y2 ) = (y2 )2 , получим xB + x = ωA + ωB находим x+xAB1 = 134.
Таким обраxA111111 +xзом, множество внутренних√ Парето-оптимальных распределенийB = 134, x+x=y=6, x1 = 6).(xA22114.27. (а) Так как все компоненты распределения положительны, а первоначально в экономике нет второго блага, то в распределении благо производится. Следовательно, в равновесиис добровольным финансированием, по крайней мере, кто-то изпотребителей профинансировал покупку этого блага, а фирмапроизвела его. Тогда, по крайней мере, для одного из потребиk = c (y ), где k —телей должно быть выполнено условие MRS212потребитель, финансирующий покупку общественного блага. Таккак в распределении, о котором идет речь в условии, указанноеравенство не выполнено, то распределение не может быть равновесным.4.45.
(а) Равновесие по Линдалю — это набор (p1 , p2 , qA , qB ,B1 , x2 , y2 , x1 ) такой, чтоxA1, xk2 — решение задачи потребителя k:1) x1 , x k ku x1 , x2 → max ,p1 xk1+ qk x2xk1 ,x2 0 p1 ωk1 + θk π (p1 ,p2 ) ,384Гл. 4. Провалы рынкагде π (p1 , p2 ) — прибыль фирмы, q k — индивидуализированнаяцена общественного блага (цена Линдаля), θk — доля потребителя k в прибыли фирмы, k = {A, B};1 — решение задачи фирмы2) y2 , xp2 y2 − p1 x1 → max ,p2 y2 − p1 x1 → max ,y2 , x1 0y2 , x1 0илиy2 = f (x1 ) ,c (y2 ) = x1 ;BAB1 + x1 = ωA3) x2 = y2 , x1 +x1 + ω1 ;AB4) q + q = p2 .(б) Задача фирмы, производящейиз единицы частного благаp2 y2 − p1 x1 → max ,x1 , y2 0единицу общественного:x1 = y 2 .Решение этой задачи:⎧p2 < p1 ,⎨ 0,x1 (p1 , p2 ) = y2 (p1 , p2 ) .y2 (p1 , p2 ) = [0, +∞) , p1 = p2 ,⎩∞,p2 > p2 ,При всех ценах, при которых существует решение задачи фирмы(p2 p1 ), прибыль фирмы равна k нулю.x1 xk2 → max ,xk1 , xk2 0Задача потребителя k:kp1 , p2 ) ,p1 x1 + qk xk2 p1 ωk1 + θk π (kгде x2 — переменная, обозначающая количество общественногоблага, на которое предъявляет спрос потребитель k.Предпочтения потребителей представимы функциями полезности Кобба–Дугласа.
Если потребление хотя бы одного изблаг — нулевое, то полезность равна нулю. Но тогда, при положительном доходе, потребители предъявляют ненулевой спрос2 > 0,на оба блага. Так как в равновесии x2 = y2 и так как xто y2 > 0. Фирма выбирает y2 > 0 только при ценах p1 = p2 ,а значит, в равновесии, если оно существует, цены равны.Решение задачи потребителя k при положительных ценах:=0xk1 =p1 ωk1+ θk π (p1 , p2 ),2p1=0xk2 =p1 ωk1+ θk π (p1 , p2 ).2qk1 ωAp1 ) = 10 и xB1 = p1 ωB1 /(2p1 ) = 40.Таким образом, xA1 =p1 /(2В равновесии по Линдалю должно быть выполнено xA2 =BAABBq ) = p1 ω1 /(2q ), откуда qB == x2 . Следовательно, p1 ω1 /(24.6.
Ответы и подсказки385A= qA ωB1 /(ωA1 ) = 4q . Кроме того, индивидуальные цены должныудовлетворять следующему условию: qA + qB = p2 . Тогда qA ++ 4q A = p2 , откуда найдем qA = (1/5) p2 , а значит qB = (4/5) p2 .A1 ωAqA) иТогда, воспользовавшись тем, что p1 = p2 , из x2 =p1 /(2q B ) получим xAB2 = 50.xB2 = p1 ωB1 /(22 =xСледовательно, x2 = y2 = 50.
Тогда затраты частного блага напроизводство общественного x1 = 50. Баланс по частному благуB+xA + ωB .+x=ωвыполнен: xA11111Таким образом, равновесие по Линдалю: (p1 = p2 , qA =AB1 = 40, x2 = 50, x1 = 50,= (1/5) p2 , qB = (4/5) p2 , x1 = 10, xy2 = 50).4.6. Ответы и подсказки4.3.
(а) Экстерналия в производстве оказывает положительAное воздействие на потребителя. (б) xA1 = 609/625, x2 = 4/25,x1 = 16/625, y2 = 4/25. (в) Не существует внутреннего равновесного распределения. (г) Парето-оптимальное распределениереализуемо как равновесное в экономике с квотами, субсидией,торговлей экстерналиями.положительное (а) АB оказывает A 4.7.ABA= ∂v x2 /∂xB2 .
(г) Подсказ22 , xвоздействие на В. (в) v xка: при реализации распределения как равновесного в экономике с двумя потребителями, как и в экономике без экстерналий (см. гл. 3, например, задачу 3.38 (к)),транс AвводятсяB, xB —k1 + p2 xk2 − p1 ωk1 − p2 ωk2 , где x1 , xA,xферты T k = p1 x212оптимальное по Парето распределение, k = {A, B}. Квота ввоAдится на потребление второго блага потребителем А, xA2 = x2.При введении квоты задача потребителя А сводится к поискуобъема потребления первого блага.
В силу строгой монотонности предпочтений А (функция полезности растет по каждомублагу) решение задачи потребителя удовлетворяет бюджетномуограничению как равенству. A A При указанных трансфертах приудовлетворяет уравнению бюдлюбых ценах набор x1 , x B 2 B2 являетсязадачи пожетной линии. Набор x1 , x B A решением2 /∂xB2 и p1 = 1. Па2 , xтребителя В при ценах p2 = ∂v B xрето-оптимальное распределение реализуемо как равновесное вэкономике с квотами. Парето-оптимальное распределение реализуемо как равновесное в экономикес субсидией на экстернаB, pAB2 , x/∂xлии при ценах p2 = ∂v B x22 1 = 1 и величине суб-386Гл. 4.
Провалы рынка B Aсидии s = ∂v B x2 /∂xA2 , x2 . Парето-оптимальное распределениереализуемо как равновесноес торговлей экстер B Aв экономике2 /∂xB2 , p1 = 1 и цене экстерна2 , xналиями при p2 = ∂v B x B A2 /∂xA2 , xлии q = ∂v B x2 .
4.12. Нет, не существуют, посколькуy2 )3/2 . 4.13. Количество потребне выполнено условие x1 = (ляемогоблага соответствует точке пересеченияобщественного Av (x2 ) + v B (x2 ) и c (y2 ). 4.14. Подсказка: предположите,что для внутреннегораспределения A оптимальногопоB ПаретоAB2 + MRS21 x2 < c (y2 ), а затем1 , x1 , xвыполнено MRS21 x A BA xB x2 + MRS212 > c (y2 ) и получите противо1 , x1 , xMRS21речие, предложив вариант построения улучшения по Парето.См. решение задачи 4.15. 4.16. Подсказки.
(а) При использовании понятия предельной нормы замещения и бесконечнойделимости товаров оперировать можно лишьбесконечно малымиΔx k. 2) Общевеличинами. (б) 1) MRSG, xk = −ΔG U =const, ΔG→0ственное благо потребляется всеми агентами в одинаковом количестве. 4.17. Множество внутренних Парето-оптимальных расB1 = 4, x2 = 2, x1 = 4, y2 = 2). 4.18. x2 < x2 .пределений (xA1 +x4.19. 0 < λ < 1. 4.20. (а) Заданное распределение не является Парето-оптимальным. Заметим, что предпочтения потребителей представимы функциями полезности Кобба–Дугласа,а значит, в распределении, в котором в экономике не производится общественное благо, полезности всех потребителейB1 = 90,равны нулю.
Пример Парето-улучшения (xA1 = 139, xС2 = 1, x1 = 1, y2 = 1). (б) Заданное распределеx1 = 70, xние не является Парето-оптимальным. Пример Парето-улучшеB1 = 0, xС1 = 150, x2 = 150, x1 = 150, y2 = 150).ния (xA1 = 0, x4.22. Сельсовет должен знать предельную выгоду всех жителей села и предельные издержки установки фонарей.
Если количество фонарей эффективно по Парето, то суммарнаяпредельная выгода должна быть равна предельным издержкам.4.23. Да. 4.24. Искомый объем соответствует k точке k пересеченияkk B∂u,x∂uxx1 , x221 p2 /p1v (x2 ) и c (y2 ). 4.26. (а)k∂x2∂x1и = p2 /p1 , если> 0, где— добровольный взнос потребителяkнапокупкуобщественногоблага, k = {A, B}.∂uk1 xk1 1 , x2 ∂uk1 xk1 1 , x2= c (y2 ), где k1 — потребитель,(б)k1tk∂x2tk∂x14.6. Ответы и подсказки387чей добровольный взнос на покупку общественного блага положителен, c (y2 ) — функция, обратная к производственной (количество частного блага, необходимое для производства y2 единицобщественного блага). 4.27.
(б) Заданное распределение можетбыть равновесным в равновесии с добровольным финансированием при ценах p2 /p1 = 5. 4.28. (а) Потребитель А. (б) В равновесии недопроизводство общественного блага по сравнениюс Парето-оптимумом. 4.29. Так как для внутреннегоравноk1k1k1k1x1 , x2x1 , x2∂u∂u=весного распределения выполненоk1∂x2∂x1уравнение Самуэль= c (y2 ), а в Парето-оптимуме выполнено∂uk xk1 , x2 ∂uk xk1 , x2= c (y2 ), то равновесноесонаkk={A, B, C}∂x2∂x1распределениемогут совпадать, только еслии Парето-оптимум ∂uk xk1 , x2 ∂uk xk1 , x2= 0.
Однако при введенных предkk=k1∂x2∂x1посылках последнее соотношение не выполнено. Таким образом, равновесное распределение не является Парето-оптимальным. Альтернативным способом доказательства является построение Парето-улучшения. 4.30. (а) Во всех Парето-оптиBABмальных распределениях выполнено xA1 + x1 + x1 = ω1 + ω1 ,x2 = y2 = x1 . Существуют три вида Парето-оптимальных распреBBAABделений: (1) xA1 < x2 = x1 ; (2) x1 < x2 = x1 ; (3) x1 = x2 = x1 .1 = tB = 40, xAB1 = 40, tA = 0, p1 = p2 = 1).(б) (x2 = y2 = x1 = 20, x(в) Равновесное распределение Парето-оптимально.
Однако никакого противоречия с результатом, полученным в задаче 4.29,нет. В рассматриваемой экономике функции полезности недифференцируемы. А значит, одна из предпосылок утверждения,сформулированного в задаче 4.29, нарушена. 4.31. (а) Не существует значений y2 , при которых распределение допустимо.B1 = 2, x2 = 9, x1 = 18, y2 = 9).
(в) (xAB1 = 10,(б) (xA1 +x1 = 2, xAB1 = 8, y2 = 4, t = 4p2 , t = 0, p2 /p1 = 2). (в) Равx2 = 4, xновесное распределение не является Парето-оптимальным. Чтобы ответить на вопрос, достаточно убедиться, что выполненывсе предпосылки, сформулированные в задаче 4.29. Альтернативный способ — удостовериться, что равновесное распределение, в котором все компоненты положительны, не удовлетворяет уравнению Самуэльсона (необходимой дифференциальной характеристике внутренних Парето-оптимальных распреде-388Гл. 4. Провалы рынкалений). (д) (xAAB1 = 8, xB2 = 1, x1 = 10, y2 = 5,1 = 2, x2 = 4, xp1 = 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
