Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Такy2 0как функция c (y2 ) выпукла, целевая функция вогнута, а значит,условие первого порядка является не только необходимым, но идостаточным: (p2 + s)/p1 = c (y2 ). Из условия (4.2) следует, чтоy2 ),Парето-оптимум удовлетворяет этому условию при p2 = vx (y2 ). То есть, p2 = 0, 5, p1 = 1 и s = 0, 5. Слеp1 = 1 и s = vy (довательно, при указанных ценах и субсидии (x1 , y2 ) являетсярешением задачи потребителя.4.5. Решения задач359Рассмотрим задачу потребителя⎧ ⎪y2 ) + xA,v xA + vy (⎪1 → Amax⎨ x 2x , xA 012AAAωAp1 , p2 , s) − sy2 .2 + π (⎪ p1 x1 + p2 x2 p1 ω1 + p2 ⎪⎩=0Является ли набор (xAA1 = 9, x2 = 2) решением задачи потребителя при указанных ценах и субсидии?Во-первых, предпочтения строго монотонны, следовательно,внутреннее решение задачи потребителядолжно удовлетворятьA, y,x/p.=pусловию MRSxAA , xA xA22 1 Более того, так как1221предпочтения выпуклы (следствие вогнутости функции полезности), то это условие является не только необходимым,но и Ap1достаточным.
Для заданной функции полезности vx x2 = p2 /или 1/xA=p/p.Привыбранныхценахэтоусловиевыполнено.212Во-вторых, из строгой монотонности следует, что решениезадачи должно удовлетворять бюджетному ограничению какравенству. Убедитесь, что этовыполнено при любых ценахи величине субсидии. СледоAвательно, набор (xA1, x2 ) является решением задачи потребителя при выбранных ценах и субсидии.
Для оптимального по Парето распределения выполнены условиясбалансированности рынков.Таким образом, (xA1 = 9,A1 = 1, y2 = 2) явx2 = 2, xляется равновесным распреРис. 4.6. Введение субсидии позводелением при p2 = 0,5, p1 = 1ляет реализовать оптимальное раси s = 0,5.пределение как равновесноеПриведем графическуюиллюстрацию на рис.
4.6. Введение субсидии означает, чтографик обратной функции предложения фирмы сдвигается внизна величину субсидии (при нормировке p1 = 1).4.5 (а) Доход потребителя формируется из двух источников.Во-первых, единственный потребитель владеет фирмой, а значит,360Гл. 4. Провалы рынкаполучает всю прибыль фирмы. Во-вторых, потребитель продаетLA своего времени. Таким образом, задача потребителя:⎧uA lA , xA → max ,⎪⎪⎨xA , lA , LA 0AApx x pL L + π (px , pL ) ,⎪⎪⎩ AL + lA + S (x) LA ,где px — цена потребительского блага, pL — цена времени.Фирма максимизирует прибыль, решая следующую задачу:px x − pL L → max ,x = f (L) .x, L0 A A A ,x px , pL является равновесием,Тогда набор x ,l ,L, L,если A — решение задачи потребителя при ценахlA , L(1) набор xA , уровне эктерналий x;px , pL и равновесном(2) набор x, L — решение задачи производителя при ценахpx , pL ;=LA., L(3) выполнены балансовые ограничения: xA = x(б) Для того чтобы ответить на вопрос, будет ли внутреннееравновесное распределение Парето-оптимальным, выведем дифференциальные характеристики внутренних равновесных и Парето-оптимальных распределений, а затем их сравним.Напомним, что в общем случае внутренним распределениемназывается состояние экономики, в котором все блага всеми потребителями потребляются в положительном количестве.
В этомразделе и в предыдущих в понятие внутреннего распределениятакже включили распределения, в которых выпуск и, соответственно, затраченный фирмой труд ненулевые. Заметим, однако,что в рассматриваемой задаче, как будет показано ниже, ненулевые затраты фактора и выпуск являются необходимым условиемненулевого потребления.Начнем анализ с равновесных распределений. Знаки первой производной ∂uA /∂xA > 0, ∂uA /∂lA > 0, показывают, чтоблагосостояние потребителя растет с увеличением потребленияи досуга.
Другими словами, предпочтения потребителя строгомонотонны. Поскольку досуг увеличивает полезность потребителя, а работа увеличивает его доход, что дает возможностьувеличивать потребление потребительского блага, то потреби-4.5. Решения задач361тель будет работать все время, которое у него остается от егоначального запаса после вычета отдыха и времени, проведенx). Так как предпоного на больничном: LA = LA − lA − S (чтения потребителя строго монотонны, то бюджетное ограничение будет выполнено как равенство. Подставив в уравнениебюджетной линии выражение для LA и выразив xA , получим xA = pL LA − lA − S (x) + π (px , pL ) px . Подставив полученное выражение в целевую функцию, запишем задачу потребителя в следующем виде: AAx) + π (px , pL )AA pL L − l − S (→ max .u l ,pxlA 0Поскольку ищем внутренние распределения, то lA > 0, а значит, условие первого порядка задачи выполнено как равенство: p ∂uA∂uA+− L = 0, откуда получим, что в равновесном расpx∂lA∂xAпределении выполнено: A A A A A∂u l ,xl ,x∂uA px=.(4.3)AApL∂x∂lТеперь рассмотрим задачу фирмы.
Поскольку ограничениев задаче производителя выполнено как равенство, задача максимизации прибыли записывается в следующем виде:px f (L) − pL L → max .L0Поскольку мы рассматриваем только внутренние распределения,A > 0 и ограничения xA = x следует, что x > 0,то xA > 0. Из xа значит, f (L) > 0, откуда L > 0. Следовательно, условие первогопорядка будет выполнено как равенство: = pL ,px f (L)откуда следует, что1f (L)=px.pL(4.4)Из (4.3) и (4.4) получим дифференциальную характеристикувнутренних равновесных распределений: A A A A A∂u l ,xl ,x∂uA 1.(4.5)=AA∂x∂lf (L)362Гл.
4. Провалы рынкаТеперь выведем дифференциальную характеристику внутренних Парето-оптимальных распределений. Если состояние экономики xA , lA , LA , x, L Парето-оптимально, то оно являетсярешением следующей задачи:⎧ A A A,maxu l ,x →⎪⎪xA , lA , LA , x,L0⎪⎪⎪⎨ x = f (L) ,(4.6)xA = x,⎪⎪A⎪L=L ,⎪⎪⎩ AL + lA + S (x) LA .Ограничение LA + lA + S (x) LA в решении задачи выполненокак равенство. Если бы это было не так, то, увеличив LA ,можно было бы увеличить L, следовательно, увеличить выпускx и, следовательно, xA .
Поскольку по условию ∂uA /∂xA > 0, тоувеличение xA приведет к росту благосостояния потребителя.Выразив lA , xA , LA и x через L, запишем задачу в следующемвиде:uA LA − L − S (f (L)) , f (L) → max .L0По условию распределение внутреннее, что означает, нарядус lA > 0, что xA > 0. Так как x = xA > 0 и, по условию, f (0) = 0,то в распределении, в котором xA > 0, выполнено L > 0. Следовательно,первого порядкавыполненокак равенство: A A условие−1 − S (x) f (L) + ∂uA /∂xA f (L) = 0, откуда по∂u /∂lсле преобразований получим дифференциальную характеристикувнутренних Парето-оптимальных распределений в следующемвиде:∂uA lA , xA ∂uA lA , xA1= + S (x) .(4.7)AA∂x∂lf LТак как по условию S (x) > 0, то во внутреннем Парето-оптимальном распределении должно выполняться∂uA lA , xA ∂uA lA , xA1,> AAf(L)∂x∂lтогда как в равновесии A A A A A∂u l ,xl ,x∂uA 1.=AA∂x∂lf (L)4.5.
Решения задач363Таким образом, равновесное распределение не удовлетворяетнеобходимому условию Парето-оптимальности, а значит, не будет Парето-оптимальным.(в) Покажем, чтоПарето-оптималь произвольное внутреннееное распределение xA , lA , LA , x, L можно реализовать как равновесное в экономике с квотами.Любое решение задачи (4.6) являетсяПарето-оптимальным.Кроме того, в силу вогнутости uA lA , xA , f (L) и выпуклостиS (x) условия первого порядка являются не только необходимыми, но и достаточными. Таким образом, если распределениеудовлетворяет (4.7) и ограничениям задачи (4.6), то оно являетсяПарето-оптимальным.Проверим рациональность производителя. Поскольку внешнее воздействие создает фирма при производстве блага x, токвотируется производство блага x.
Таким образом, задача фирмывыглядит следующим образом:⎧,⎪⎨ px x − pL L → x,maxL0x = f (L) ,⎪⎩ x = x.Фирма фактически выбирает только одну переменную. Такимобразом, значение L может быть найдено из ограничения задачи.x=fL , то при любых положиТак как в Парето-оптимуметельных ценах x, L — решение задачи фирмы.Проверим рациональность потребителя. Рассмотрим задачупотребителя:⎧uA lA , xA → max ,⎪⎪⎨xA , lA , LA 0px xA pL LA + π (px , pL ) ,⎪⎪⎩ AL + lA + S (x) LA .Как уже отмечалось выше, в силу строгой монотонности предпочтений потребителя, бюджетное ограничение и второе ограничение в задаче в решении должны быть выполнены как равенства. Далее, поскольку в Парето-оптимальном распределенииx = xA , L = LA , а прибыль фирмы π (px , pL ) = px x − pL L, тоПарето-оптимальное распределение удовлетворяет бюджетномуограничению как равенству при любых ценах px и pL .
Так каквторое условие в задаче потребителя представляет собой одноиз условий допустимости, Парето-оптимальное распределение364Гл. 4. Провалы рынкаудовлетворяет этому условию (в п. (б) показано, что условиевыполнено как равенство).Вывод условий первого порядка аналогичен п. (б), где былавыведена дифференциальная характеристика внутреннего реше∂uA (lA , xA ) ∂uA (lA , xA )p= xния задачи и представлена в виде:AA∂x∂lpL(см.
(4.3)). При каких ценах Парето-оптимальное распределениеудовлетворяет этому условию?Для того чтобы ответить на этот вопрос, представим дифференциальную характеристику внутреннего Парето-оптимальногораспределения в следующем виде: 1 + S (x) f L∂uA lA , xA ∂uk lA , xA .(4.8)=∂xA∂lAf LСравнивая дифференциальную характеристику задачи потребителя (см. выше и (4.3)) и (4.8), заметим, что Парето-оптимальное распределениебудет удовлетворятьусловию (4.3) при pL = f L и px = 1 + S (x) f L .Поскольку целевая функция задачи потребителя uA (lA , xA )вогнута, функция S (x) выпукла, то условие первого порядкав задаче потребителя является не только необходимым, но идостаточным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
