Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 67
Текст из файла (страница 67)
интернализируя внешнее воздействие.Поскольку имеет место положительный внешний эффект,в равновесии без учета внешнего воздействия производитсяменьший объем товара, чем в эффективном распределении.(г) Задача энергетической компании при субсидированиипроизводства имеет вид: py − T CЭ (y) + sy → max. Необходимоеy0и достаточное, в силу выпуклости функции издержек, условиепервого порядка для внутреннего решения: 700−y = 100+5 y−s.Поскольку вводимая потоварная субсидия должна стимулировать энергетическую компанию производить эффективный объемпроизводства, то s = 6 y − 600 = 600.Ситуация проиллюстрирована на рис. 4.9.4.10.
(а) Фирма, производящая сталь, решает следующуюзадачу:(4.18)ps s − s2 (θ − x)2 − s2 → max .s, x0376Гл. 4. Провалы рынкаРис. 4.9. Введение субсидии позволяет реализовать в равновесии оптимальный уровень установки ветряковЗадача рыбохозяйства имеет видpf f − f 2 x2 → max .(4.19)f 0Таким образом, из задачи (4.18), при предположении внутреннего решения, находимps,x∗ = θ,s=2(θ − x)2 + 2откуда получаем оптимальный выпуск стали: s∗ = ps /2.Из задачи (4.19), учитывая, что x∗ = θ, получим оптимальный уровень производства рыбы: f ∗ = pf /(2θ2 ).(б) Здесь предполагается «слияние» обеих фирм с цельюинтернализации экстерналии. Тогда оптимальные уровни производства стали, рыбы и загрязнения определяются из решенияследующей задачи:ps s + pf f − s2 (θ − x)2 − s2 − f 2 x2 → max .s, x, f 0Условия первого порядка этой задачи, при предположении внутреннего решения, представляют собой систему из трех уравненийс тремя неизвестными:pfs2ps,f=,x=θ.2(θ − x)2 + 22x2s2 + f 2Из приведенной системы нетрудно найти оптимальные уровнипроизводства стали, рыбы и загрязнения.
И даже не решая ее, мыs=4.5. Решения задач377можем сказать, что в данном случае уровень загрязнения будетниже при любом положительном уровне производства стали ирыбы.Принимая решение о производстве в п. (а), сталелитейноепредприятие не учитывало дополнительные издержки, наносимые им рыбохозяйству. Таким образом, совокупные общественные предельные издержки были выше, чем частные предельныеиздержки сталелитейного предприятия, в результате чего экстерналия порождает неэффективность распределения ресурсовв данной экономике, где решение принимается лишь на основемаксимизации частной прибыли, и влечет больший, чем эффективный, выпуск продукта, несущего внешний эффект.(в) Покажем, что с помощью введения налога на экстерналииможно достичь общественно оптимального уровня.
Трудностьреализации этой меры состоит в том, что для этого требуетсяинформация, которую правительству трудно получить, посколькуналог зависит от спецификации функции издержек и т. д.Найдем налог t. Фирма, производящая сталь, решает следующую задачу:ps s − tx − s2 (θ − x)2 − s2 → max .s, x0Из условий первого порядка, записанных как равенство, поскольку решение внутреннее, получимs=ps,2(θ − x)2 + 2x=θ−t.2s2Тогда, принимая во внимание, что при налогах Пигу достижим оптимальный уровень загрязнения, найдем налог: t == (2 θs2 f 2 )/(s2 + f 2 ).(г) Пусть q — это цена, которую рыбохозяйство платит заединицу загрязнения. Тогда задачи фирм преобразуются следующим образом:задача фирмы, производящей сталь:ps s + q (x − x) − s2 (θ − x)2 − s2 → max ;s, x0задача рыбохозяйства:pf f − f 2 x2 − q (x − x) → max .x, f 0378Гл.
4. Провалы рынкаТогда из условий первого порядка, в предположении внутреннегорешения, для сталепроизводства x = θ − q/(2 s2 ), а из условийпервого порядка для рыбохозяйства, записанных на равенство:q = 2 f 2 x, откуда q = (2 θs2 f 2 )/(s2 + f 2 ) и x = (θs2 )/(s2 + f 2 ).Таким образом, в отсутствии транзакционных издержек можем получить оптимальное распределение, поддерживающиеправа собственности, что согласуется с теоремой Коуза.Наличие экстерналии при отсутствии рынка этого товара порождало неэффективность в распределении ресурсов.
Устранениенеполноты рынков может приводить к устранению неэффективности.N4.11. Задача каждого преподавателя mk ymj − cmk →j=1→ max . Целевая функция может быть преобразована к следуюmk 0щему виду:#NmkmkMymj − cmk = NM#j=1mjg#Nmj − cmk .j=1j=1Условие первого порядка для внутреннего решения m k > 0 зада −mMk mk g(M ) +g (M ) = c. Просуммировав2 MMN −1 ) = N c.g(M ) + g (Mпо всем преподавателям, получим: Mчи преподавателя:Так как для строго вогнутой функции g(M )/M > g (M ), то из ) < c .
Целевая функцияполученного выражения следует g (Mзаведующего кафедрой: g (M ) − cM . Условие первого порядкадля M ∗ > 0: g (M ∗ ) = c. Поскольку g (M ) < 0, то g (M ) убыва > M ∗.ет. Следовательно, M4.15. (а) Приведем пример Парето-улучшения. Так как поусловию распределение внутреннее, то потребители потребляют общественное благо. Поскольку изначально в экономикеобщественного блага нет, значит, оно производится в заданном состоянииЗаметим, что A экономики (выпуск ненулевой).ABB, x (,xx))=c (y2 ).
Этоx+MRSx<(1/fMRS2,221112, 11означает, что для компенсации потери малой единицы общественного (второго) блага потребителям необходимо меньшее количество малых единиц частного (первого) блага (в рассматрива-4.5. Решения задач379емой задаче — это шесть малых единиц), чем высвободится приуменьшении на одну малую единицу производства общественноx1 ) = 1/7, то уменьшение выпуска на однуго блага (так как f (малую единицу приведет к высвобождению семи малых единицчастного блага). Тогда уменьшим производство общественного(второго) блага на одну малую единицу. Чтобы компенсироватьпотерю малой единицы общественного блага (без изменения полезности), отдадим потребителюА три малых единицы частного AA x2 = 3), а потребителю В — четыре1 , x(по условию MRS21малых единицы частного блага.
Чтобы компенсировать потерюмалой единицы общественного блага без изменения полезности,потребителю В было достаточнополучить три малых единицыB x2 = 3. Поскольку В поB1 , xчастного блага, так как MRS21лучил четыре малых единицы частного блага и его полезностьрастет с увеличением потребления каждого блага, его благосостояние возрастет. Таким образом, Парето-улучшение построено.(б) Пример Парето-улучшения.распреде BВ рассматриваемомA xB x (,x,xx).ЭтоозначаA+MRS>1/fлении MRS212211211ет, что ради одной малой единицы общественного блага потребители в сумме готовы отказаться от большего количества малыхединиц частного блага, чем необходимо для производства малойединицы общественного. Поскольку распределение внутреннее,то в рассматриваемом распределении потребление индивидовненулевое. Следовательно, можно отнять у потребителя А двемалых единицы частного (первого) блага, у потребителя В —пять малых единиц частного (первого) блага и передать ихв производство.
Семь малых единиц частного блага позволятувеличить выпуск на одну малую единицу общественного блага.Поскольку ∂uk /∂xk1 > 0, k = {А, В}, такое перераспределениеприведет к увеличению полезности потребителей А и В.4.21. Для предпочтений, представимых квазилинейной функцией полезности uk xk1 , x2 = v k (x2 ) + xk1 , выполнено MRS2k 1 == v k (x2 ) . Это означает, что в условии заданы предельныеполезности потребителей А и В, соответственно, v A (x2 ) == 9 − x2 и v B (x2 ) = 7 − x2 . Предельные затраты частного блага (y2 )2 = 2y2 . Уравнение Самуэльсона для рассматриваемойэкономики 9 − x2 + 7 − x2 = 2 y2 . Воспользовавшись условиямидопустимости (Парето-оптимальные распределения допустимы)380Гл.
4. Провалы рынкаполучим характеристику внутренних Парето-оптимальных распреB1 = 84, x2 = 4,делений: (xA1 + xx1 = 16, y2 = 4). См. рис. 4.10.4.25. (а) Равновесие с добровольным финансированием — этоtA , tB , xAB1 , x2 , y2 ,набор (p1 , p2 , 1, xx1 ) такой, чтоРис. 4.10.Парето-оптимальный объем производства общественного благаtk , xk1 — решение задачи1) x2 , потребителя k:⎧v k (x2 ) + xk1 → max ,⎪⎪⎨x2 , tk , xk1 0kkp1 , p2 ) ,p1 x1 + t p1 ωk1 + θk π (⎪⎪⎩ k −kt + t = p2 x2 ,где π (p1 , p2 ) — прибыль фирмы,θk — доля потребителя k в прибылифирмы, tk — добровольный взнос потребителя k на покупкуобщественного блага, k = {A, B}.1 — решение задачи фирмы2) y2 , xp2 y2 − p1 x1 → max ,p2 y2 − p1 x1 → max ,y2 , x1 0y2 , x1 0илиy2 = f (x1 ) ,c (y2 ) = x1 .BAB1 + x1 = ωA3) x2 = y2 , x1 +x1 + ω1 .(б) Запишем задачу фирмы в следующем виде:p2 y2 − p1 x1 → max ,c (y2 ) = x1 .y2 , x1 0Отсюда p2 y2 − p1 c (y2 ) → max.
Условие первого порядка: p2 −y2 0− p1 c (y2 ) 0 и = 0, если y2 > 0. Для рассматриваемой задачиc (y2 ) = y22 . Тогда c (y2 ) = 2y2 . А значит, условие первого порядкадля задачи фирмы: p2 − 2 p1 y2 0, = 0, если y2 > 0. Послепреобразования это условие может быть записано в следующемвиде: p2 /p1 2y2 , = 2y2 , если y2 > 0.4.5. Решения задач381(в) Запишем задачу потребителя k:⎧v k (x2 ) + xk1 → max ,⎪⎪⎨x2 , tk , xk1 0kkp1 , p2 ) ,p1 x1 + t p1 ωk1 + θk π (⎪⎪⎩ k −kt + t = p2 x2 .Так как полезность растет по объему потребления каждогоблага (предпочтения строго монотонны), то в решении задачибюджетное ограничение выполнено как равенство.
Выразим x2из tk + t−k = p2 x2 и xk1 из p1 xk1 + tk = p1 ωk + θk π (p1 , p2 ) (припредположении, что в решении xk1 > 0) и подставим в целевуюфункцию: tk + t−k p ωk + θk π (p , p ) − tk12→ max .+ 1 1vkp2p1tk 0Условиепервогопорядка для рассматриваемой задачи: k 1t +t−k1k− 0 и будет = 0, если tk > 0. Заметим,vp2p2p1+ t−k )/p2 ,то условие первого порядка можетчто так как x2 =kбыть записано, как v (x2 ) (1/p2 ) − 1/p1 0 и будет = 0,если tk > 0.
После преобразования условие первого порядка длязадачи потребителя k: v k (x2 ) p2 /p1 , = p2 /p1 , если tk > 0.Таким образом, для задачи потребителя А условие первогопорядка: 4/x2 p2 /p1 , = p2 /p1 , если tA > 0, и для задачипотребителя В: 8/x2 p2 /p1 , = p2 /p1 , если tB > 0.(tk(г) Предположим, потребитель А будет финансировать покуп2ку общественного блага. Это означает, что tA > 0.
Тогда для xусловие первого порядка для задачи потребителя А будет выпол2нено как равенство: 8/x2 = p2 /p1 . Но для этого же значения xдолжно быть выполнено условие первого порядка задачи потреx2 4/x2 = p2 /p1 .бителя В, т. е. 8/x2 p2 /p1 . Следовательно, 8/Получили противоречие. Тогда потребитель А не финансируетпокупку общественного блага, т. е.
его взнос равен нулю: tA = 0.Таким образом, если покупка общественного блага финансируется, то она финансируется потребителем В. Если В выберет tB = 0, то покупка общественного блага никем не будетфинансироваться, т. е. x2 = 0. Но в нуле значения полезностейпотребителей стремятся к минус бесконечности, поэтому у каждого есть стимул сделать положительный взнос при нулевом382Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
