Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Тогдаϕ (y2 ) = v2 (y2 ) − c (y2 ) < 0, <0>0y2 ) > ϕ (y2 )что означает, что функция ϕ (y2 ) убывает. Тогда из ϕ (следует y2 < y2 . Таким образом, в равновесии производитсябольший объем второго блага, так как фирма, максимизируяприбыль, не берет во внимание издержки, связанные с внешнимиэффектами.Приведем схематичную иллюстрацию на рис. 4.3.На рис.
4.3 заштрихованы чистые потери (DWL — deadweight lost). В равновесии производится y2 . В заштрихованнойобласти частная предельная выгода меньше, чем общественныепредельные издержки.Распишем более подробно. Так как, при предпосылке v2 (0) =y2y2 ) = v2 (y2 ) dy2 , то в оптимальном по= 0, выполнено v2 (0y2 ) — это величина, равнаяПарето распределении выгода v2 (площади под кривой v2 (y2 ), а значит, сумме площадей фигурA + B + C + D + E на рис. 4.4.Так как при c (0) = 0 и v1 (0) = 0 выполненоy2 )) =c (y2 ) + v1 (c (y2c (y2 ) + c (y2 ) v1 (c (y2 )) dy2 ,0y2 )) — это величина,то общественные издержки c (y2 ) + v1 (c (равная площади под кривой c (y2 ) + c (y2 ) v1 (c (y2 )), т. е. сумме площадей фигур C + D + E.
В итоге, значение индикатораблагосостояния W (y2 ) равна сумме площадей фигур A + B. Напомним, что в оптимальном по Парето распределении индикаторблагосостояния достигает максимального значения.Рассуждая аналогичным образом, получим, что выгода в равновесном распределении (соответствующем величине y2 ) равнасумме площадей фигур A + B + C + D + E + G + H + I (площадь под кривой v2 (y2 )), а общественные издержки в равно-348Гл. 4.
Провалы рынкаРис. 4.3. Отрицательные внешние эффекты приводят к чистымпотерям (DWL)Рис. 4.4. Чистые потери — разница значений индикатора благосостояния при оптимальномраспределении и при равновесном распределениивесии — это величина, равная сумме площадей C + D + E ++ F + G + H + I. Тогда значение индикатора благосостоянияв равновесном распределении W (y2 ) равно A + B − F . Такимобразом, чистые потери в равновесии равны величине площадифигуры F на рис. 4.4 (на рис. 4.3 эта область заштрихована).(д) Так как источник внешнего эффекта — фирма, а внешнийэффект связан с использованием первого блага в качестве фактора производства, то квота вводится на количество используемогофактора. A1 , y2 , p1 , p2 называется равновесием с квоНабор xA1, x2, xтами на экстерналии,еслиA — решение задачи потребителя при равновесных,x(1) xA121 :ценах p1 , p2 , объеме затрачиваемого в производстве фактора x⎧ ⎪,x1 + xA,v xA⎪21 → Amax⎨x , xA 012AAAωAp1 , p2 ) ;2 + π (⎪ p1 x1 + p2 x2 p1 ω1 + p2 ⎪⎩=04.5.
Решения задач349(2) (x1 , y2 ) — решение задачи фирмы при равновесных ценах1 :p1 , p2 и квоте x1 = x⎧⎪⎨ p2 y2 − p1 x1 → max ,x1 = c (y2 ) ,⎪⎩ x =x1 ;1x1 ,y2 0(3) xA1 = ωAA2 + ωA1 +x1, x2 =y2.Покажем, что существуют цены, при которых внутреннееA1 , y2 реализуемоПарето-оптимальное распределение xA1, x2, xкак равновесное.
A A2 , x1 , y2 выДля Парето-оптимального распределения x1 , xполнены условия допустимости, а значит, условия уравновешенности рынков (которые совпадают с двумя из трех условий1 = ωAA2 + ωAдопустимости) выполнены: xA1 +x1, x2 =y2.1 , то фирма фактиРассмотрим задачу фирмы. Так как x1 = xчески выбирает только одну переменную y2 . Значение y2 можетбыть найдено из ограничения задачи фирмы. Так как в Паретоy2 ) в силу допустимости Паоптимальном распределении x1 = c (рето-оптимального распределения, то при любых положительныхценах (x1 , y2 ) — решение задачи фирмы. A A2 —Покажем, что существуют цены такие, что набор x1 , xрешение задачи потребителя.Во-первых, заметим, что полезность возрастает по каждомублагу, а значит, предпочтения строго монотонны.
В этом случаерешение задачи потребителя должно удовлетворять уравнению A A2бюджетной линии. Заметим, что при любых ценах набор x1 , xудовлетворяет уравнению бюджетной линии:A2 xA1 ωA2 ωAp2 y2 − p1 x1 ,p1 x1 +p2 =p1 + p2 +π=0так как после преобразования получим A A1 − ωA2 x1 + x2 − y2 = 0.p 1 x1 +p =0=0Во-вторых, так как функция v (·) вогнутая, то, значит, вогнута и функция полезности потребителя (что означает, чтопредпочтения выпуклы), функция полезности растет с ростом потребления каждого блага (предпочтения строго монотонны). ПоA =p2 /p1 является не только необходимым,этому условие MRS21350Гл.
4. Провалы рынкано и достаточным для внутреннего решения: ∂v xA1 /∂xA2, x2 =p1 . При ценах= p2 / A∂v x2 , x1p1 = 1, p2 =∂xA2 !=c (y2 ) 1−∂v (xA1)2,x∂x1 A Aнабор x1 , x2 удовлетворяет A A этому условию.Следовательно, x1 , x2 — решение задачи потребителя приA, pxA,x)/∂xценах p2 = ∂v (122 1 = 1.A1 , y2 , p1 = 1, p2 =Таким образом, получили набор (xA1,x2,xAA1 )/∂x2 ) — равновесие в экономике с квотами на экс= ∂v (x2 , xтерналии. A A2 , x1 , y2 , p1 , p2 называется равновесием(е) Набор x1 , xс налогомс экстерналиями, если A t вAэкономике2 — решение задачи потребителя при равновесных(1) x1 , x1 :ценах p1 , p2 , объеме затрачиваемого в производстве фактора x⎧ ⎪1 + xA,v xA⎪2, x1 → Amax⎨x , xA 0122 xA1 ωA2 ωAp1 , p2 , t) + tx1 ;p1 xA2 +π (⎪1 +p2 p1 +p⎪⎩=0(2) (x1 , y2 ) — решение задачи фирмы при равновесных ценахp1 , p2 и налоге t:p1 + t) x1 → max ,p2 y2 − (x1 = c (y2 ) ;x1 , y2 01 = ωAA2 + ωA(3) xA1 +x1, x2 =y2.Покажем, что существуют цены и налог, при которых внутреннее Парето-оптимальное распределение реализуемо как равновесное.
A A2 , x1 , y2 выДля Парето-оптимального распределения x1 , xполнены условия допустимости, а значит, условия уравновешенности рынков (которые совпадают с двумя из трех условий допустимости) выполнены. Покажем, что существуют цены и налогтакие, что (x1 , y2 ) — решение задачи фирмы. Парето-оптимальy2 ),ное распределение удовлетворяет ограничению задачи x1 = c (так как это — одно из трех условий допустимости.4.5. Решения задач351Так как c (y2 ) — выпуклая функция (это следует из того,что f (x1 ) вогнутая), то условие первого порядка задачи фирмыне только необходимо, но и достаточно: p2 /(p1 + t) = c (y2 ) дляy2 > 0.xA1 )/∂xA1 = 1 и t = −∂v (xA1 )/∂x1 .Пусть p2 = ∂v (2, x2, p2, xИз дифференциальной характеристики внутренних Парето-оптимальных распределений следует, что при таких ценах и налогеПарето-оптимальное распределение удовлетворяет условию первого порядка задачи фирмы.
А значит, (x1 , y2 ) — решение задачиA, pxA,x)/∂x=1и t = −∂vxA,x1 )/∂x1 .фирмы при p2 = ∂v (11222 A (AПокажем, что при указанных ценах набор x1 , x2 — решение задачи потребителя.Во-первых, так как предпочтения потребителя строго монотонны (при увеличении в наборе каждого блага полезностьпотребителя возрастает), то решение удовлетворяет бюджетному A A2ограничению как равенству. При любых ценах набор x1 , xудовлетворяет уравнению бюджетной линии:A2 xA1 ωA2 ωA y − (p + t) x1 +tx1 ,p1 x1 +p2 =p1 +p2 +p2 21π=0так как после преобразования получим A A1 − ωAp2 x1 + x2 − y2 = 0.p 1 x1 + =0=0Во-вторых, так как функция v (·) — вогнутая, то вогнутаи функция полезности (а значит, предпочтения выпуклы).
ДляA =строго монотонных выпуклых предпочтений условие MRS21p1 является не только необходимым, но и достаточным для= p2 /1 )/∂xA2 /p1 . Привнутреннего решения: ∂v (xA2, x2 = p AвыбранныхAAA1 )/∂x2 = ∂v (x2 , x1 )/∂xA.Набор1 , xAудоценах ∂v (x2 , x22 A A x2 — решениевлетворяет этому условию. Следовательно, x1 , xA, pxA,x)/∂xзадачи потребителя при ценах p2 = ∂v (122 1 = 1 иA1 )/∂x1 .налоге t = −∂v (x2 , x A A2 , x1 , y2 , p1 = 1,Таким образом, получили набор x1 , xAAx2 , x1 )/∂x2 — равновесие в экономике с налогомp2 = ∂v (,1 )/∂x1 .t = −∂v (xA2 x A A2 , x1 , y2 , x1, A , p1 , p2 , q называется равно(ж) Набор x1 , xвесием с торговлей экстерналиями, если352Гл.
4. Провалы рынка A A(1) x1 , x2 , x1, A — решение задачи потребителя при равновесных ценах p1 , p2 , q:⎧ ⎪, x1, A + xA,v xA⎪21 → A maxA⎨⎪⎪⎩p1 xA1+p2 xA2−x1 , x2 , x1,A 0q x1, A p1 ωA2 ωAp1 ,2 +π (1 +pp2 ) ;=0(2) (x1 , y2 ) — решение задачи фирмы при равновесных ценахp1 , p2 , q:p1 + q) x1 → max ,p2 y2 − (x1 = c (y2 ) ;x1 , y2 01 = ωAA2 + ωA1, A = x1 .(3) xA1 +x1, x2 =y2, xПокажем, что существуют цены, при которых внутреннееA1 , y2 реализуемоПарето-оптимальное распределение xA1, x2, xкак равновесное. A A2 , x1 , y2 выДля Парето-оптимального распределения x1 , xполнены условия допустимости, а значит, условия уравновешенности рынков по первому и второму благам (которые совпадаютс двумя из трех условий допустимости) выполнены.
Выполнендолжен быть и баланс по экстерналиям, так как выбор потребителя должен быть равен x1 .Покажем, что существуют цены такие, что (x1 , y2 ) — решение задачи фирмы. Парето-оптимальное распределение удовлеy2 ).творяет ограничению задачи x1 = c (Так как c (y2 ) — выпуклая, то функция прибыли вогнутая,а значит, условие первого порядка задачи фирмы не тольконеобходимо, но и достаточно: p2 /(p1 + q) = c (y2 ) для y2 > 0.xA1 )/∂xA1 = 1 и q = −∂v (xA1 )/∂x1 .Пусть p2 = ∂v (2, x2, p2, xИз дифференциальной характеристики внутренних Парето-оптимальных распределений следует, что при таких ценах внутреннееПарето-оптимальное распределение удовлетворяет условию первого порядка задачи фирмы. А значит, (x1 , y2 ) — решение задачиAAx2 , x1 )/∂x2 , p1 = 1 и q = −∂v (xA1 )/∂x1 .фирмы при p2 = ∂v (2, xAAПокажем, что при указанных ценах набор (x1 , x2 , x1,A ==x1 ) — решение задачи потребителя.Так как предпочтения потребителя строго монотонны (приувеличении в наборе хотя бы одного блага полезность потребителя возрастает), то решение удовлетворяет бюджетному ограниче-4.5.
Решения задач353 A Aнию как равенству. При любых ценах набор x1 , x2 , x1,A = x1удовлетворяет уравнению бюджетной линии:A2 xAx1 = p1 ωA2 ωA y − (p + q) x1 ,p1 x1 +p2 − q1 +p2 +p2 21π=0что становится понятным после преобразования A A1 − ωAp2 x1 + x2 − y2 = 0.p 1 x1 + =0=0xA1из уравнения бюджетной линии и подставив в целеВыразиввую функцию, получимv xA2 , x1,A +Aqx1,A − p2 xAωA2 +π (p1 , p2 )2 + p1 ω1 + p2 =0p1→max .xA2 ,x1,A 0Тогда условия первого порядка для внутреннего решения:A2 /p1 и ∂v (xAq/p1 .∂v (xA2 , x1,A )/∂x2 = p1 , x1,A )/∂x1,A = −Так как функция v (·) — вогнутая, то условия первогопорядка задачи потребителя являются не только необходимыми, но и достаточными. При выбранных ценах получимAxA1 )/∂xAследующие выражения: ∂v (xA2 , x1,A )/∂x2 = ∂v (2, x2A, xA, xи∂v(x)/∂x=∂v(x)/∂x.Тогданабор1,A1,A1122 A A2 , x1,A = x1 удовлетворяет условиям первого порядка,x1 , xа значит, является решением задачи потребителя при ценахxA1 )/∂xA1 = 1 и q = −∂v (xA1 )/∂x1 .p2 = ∂v (2, x2, p2, xAA2 , x1 , y2 , x1,A = x1 , q =Таким образом, набор (x1 , xAAA1 )/∂x1 p1 = 1, p2 = ∂v (x2 , x1 )/∂x2 ) — равновесие= ∂v (x2 , xв экономике с торговлей экстерналиями.4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
