Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 65
Текст из файла (страница 65)
A A A LL,l,x=fприценахpТаким образом, наборLи px = 1 + S (x) f L является решением задачи потребителя.Поскольку Парето-оптимальное распределение допустимо, то выполнены условия сбалансированности рынков: x = xA , L = LA .Таким образом,было показано,что Парето-оптимальное распределение xA , lA , LA , x, L реализуемо как равновесное в экономике с квотами при ценах pL = f L и px = 1 + S (x) f L .A(г) Произвольное внутреннее xA , lA , L , x, L Парето-оптимальное распределение реализуемо в экономике с налогами какравновесное.Начнем анализ с задачи фирмы. Поскольку с выпуском блага x связаны экстерналии, то налогом будет облагаться выпуск этого блага.
Задача производителяв этом случае за(px − t) x − pL L → max ,x, L0писывается следующим образом:x = f (L) .Ограничение задачи выполнено для x, L . Упростив задачу,4.5. Решения задач365получим (px − t) f (L) − pL L → max. В п. (б) было показано,L0что если потребление ненулевое, то в решении L > 0. Этопозволяет записать условие первого порядка как равенство:(px − t) f (L) = pL , откуда следует, что1f (L)=px − t.pL(4.9)При каких ценах и налоге внутреннее Парето-оптимальное распределение удовлетворяет полученной дифференциальной характеристике задачи производителя? Возможно, у читателя возникнут затруднения при ответе на этот вопрос в случае, еслиопыта в решении задач недостаточно.
Для разрешения этогозатруднения обратимся к анализу решения задачи потребителя.В рассматриваемой экономике доход потребителя, кроме стоимости труда и прибыли фирмы, формируется за счет поступленияналогов. Таким образом, задача потребителя:⎧uA (lA , xA ) → max ,⎪⎪⎨xA , lA , LA 0px xA pL LA + π (px , pL ) + tx,⎪⎪⎩ AL + lA + S (x) LA .Прибыль фирмытеперь π (px , pL ) = (px − t) x − pL L в предположении, что x, L — решение задачи фирмы (ведь этот факт ещене доказан). Так как для Парето-оптимального распределенияAвыполнено x = xA , L = LA , то, как и раньше, набор LA , l , xAудовлетворяет бюджетному ограничению как равенству при люограничениекак рабых ценах px и pL .
Второе также выполненовенство для lA , xA . Следовательно, LA , lA , xA удовлетворяетограничениям задачи потребителя. По аналогии с предыдущимипунктами выведем дифференциальную характеристику внутрен∂uA (lA , xA ) ∂uA (lA , xA )p= x.него решения:AA∂x∂lpLКак и в п. (в) Парето-оптимальное распределение будет удовлетворять дифференциальнойхарактеристикезадачи потреби теля при pL = f L и px = 1 + S (x) f L .
Поскольку функцияuA (lA , xA ) вогнута, функция S (x) выпукла, то условие первогопорядка (а следовательно, и выведенная из него характеристика(4.3)) является не только необходимым условием, но и достаточ-366Гл. 4. Провалы рынканым. Таким образом, LA , lA , xA — решение задачи потребителя. L и p ==fВернемся к задачефирмы.ПриценахpLx = 1 + S (x) f L и налоге t = S (x) f L Парето-оптимальноераспределение удовлетворяет условию (4.9). Так как функцияf (L) вогнута, то условие первого порядка задачи фирмы является не только необходимым,но и достаточным.
Теперь можемсделать вывод, что x, L — решение задачи фирмы.Как и в п. (в), выполнение условий сбалансированности следует из допустимости Парето-оптимального распределения.Такимобразом, внутреннееПарето-оптимальное распределеA , x, L реализуемо как равновесное при ценах,Lние xA, l A pL = f L и px = 1 + S (x) f L и налоге t = S (x) f L .(д) Так же, как и выше, в силу вогнутости uA lA , xA , f (L)и выпуклости S (x) дифференциальная характеристика (4.7) (онаже, записанная в другом виде (4.8)) является не только необходимым условием, но и достаточным.
Это означает, что есливнутреннее распределение удовлетворяет (4.8) и ограничениямзадачи (4.6), то оно является Парето-оптимальным распределением.Покажем, что произвольное внутреннее Парето-оптимальноераспределение в рассматриваемой экономике можно реализоватькак равновесное в экономике с торговлей экстерналиями. Задачапроизводителя в рассматриваемой экономике при торговле экс(px − q) x − pL L → max,x, L0терналиями:x = f (L) ,где q — цена экстерналии, создаваемой фирмой. Набор x, Lудовлетворяет ограничению задачи, поскольку Парето-оптимальное распределениедопустимо, а значит, для него выполне но x = f L . По условию, в задании рассматриваются тольAко внутренние распределения, что означает xA > 0, l > 0.В п.
(б) было показано, что если потребление ненулевое, тов решении задачи фирмы должно быть L > 0. Следовательно,условие первого порядка в решении выполнено как равенство:(px − q) f (L) − pL = 0. Преобразовав, получим1f (L)=px − q.pL(4.10)4.5. Решения задач367Нетрудно заметить, что выражение (4.10) напоминает (4.9)из п. (г). Тогда, поаналогии с п. (г), при ценах pL = f L иpx = 1 + S (x) f L и цене экстерналии q = S (x) f L Парето-оптимальное распределение удовлетворяет условию (4.10).И поскольку функция f (L) вогнута, то условие первого порядказадачи фирмы является не только необходимым,но и достаточным, что позволяет сделать вывод, что x, L — решение задачифирмы.Теперь перейдем к анализузадачи потребителя.В рассматриваемом равновесии набор xA , l A , LA , x должен быть решениемзадачи⎧max,uA (lA , xA ) →⎪⎪⎨xA , lA , LA , xA 0px xA pL LA + π (px , pL ) + qxA ,⎪⎪⎩ AL + lA + S (xA ) LA ,где xA — переменная, обозначающая выбор потребителем объема влияющей на него экстерналии, для которой в равновесиидолжно быть выполнено условие xA = x.Как и в пунктах, рассмотренных выше, набор xA , lA , LA ,xA = x удовлетворяет ограничению LA + lA + S (xA ) LA , таккак Парето-оптимальное распределение допустимо, и это ограничение выполнено для Парето-оптимального распределения какравенство.
В п. (б) показано также, что Парето-оптимальноераспределение выполнено как равенство. Поскольку в Паретооптимальном распределении выполнено x = xA , L = LA , прибыльфирмы π (px , pL ) = (px −q) x − pL L и, кроме того, xA = x, тонабор LA , lA , xA , xA = x удовлетворяет бюджетному ограничению как равенству при любых ценах px , pL и q. Таким образом,в решении ограничения задачи должны быть выполнены какравенства. Воспользовавшись этим, преобразуем задачу к виду: AAAA pL L − l − S (xA ) + π (px , pl ) + qxA→ max .u l ,pxlA , xA 0В предположении, что решение задачи внутреннее, условия первого порядка записываются следующим образом:pL∂uA ∂uA+ A −= 0,(4.11)px∂lA∂x368Гл. 4. Провалы рынка∂uA∂xApL q−S (xA ) +pxpx= 0.(4.12)Отметим, что в силу вогнутости целевой функции и выпуклостиS (xA ), условия первого порядка в задаче потребителя являютсяне только необходимымусловием, но и достаточным. Подставим цены pL = f L и px = 1 + S (x) f L в (4.11) и преобразуемдля наглядности к следующему виду: 1 + S (x) f L∂uA (lA , xA ) ∂uA (lA , xA ) .=∂xA∂lAf LСравнивая полученное выражение с дифференциальной характеристикой внутреннего Парето-оптимального распределения (4.8),можем сказать, что внутреннее Парето-оптимальное распределение удовлетворяет этому условию.Рассмотрим (4.12).
По условию ∂uA /∂xA > 0, цены рассматриваем положительные,поэтому из (4.12)следует q = pL S (xA ).Так как pL = f L и q = S (x) f L , то xA = x удовлетворяет(4.12). Таким образом, набор LA , lA , xA , xA = x является решением задачи потребителя.Балансовые ограничения также выполнены в силу допустимости Парето-оптимального распределения.
Следовательно, при ценах pL = f L и px = 1 + S (x) f Lи цене экстерналии q = S (x) f L внутреннее Парето-оптиAмальное распределение xA , l , LA , x, L реализуемо как равновесное в экономике с торговлей экстерналиями.4.6. Выведем дифференциальную характеристику Паретооптимального распределения:⎧ A A A,maxu x1 , x2 , x1 →⎪⎪A⎪xA⎪1 , x2 , y2 , x1 0⎨ Ax1 + x1 = ωA1,(4.13)⎪A⎪x2 = y2 + ω2 ,⎪⎪⎩y2 = f x1 , xA1 .AAИз первого ограничения задачи выразим xA1 : x1 = ω1 − x1 . Воспользовавшись вторым и третьими выражением ограничениямиA = ωA + f x , ωA − x . Подставив выраже,получимxдля xA1112214.5.
Решения задач369Aния для xA1 , x2 в целевую функцию, приведем задачу к следующему виду:AAuA ωA1 − x1 , ω2 + f x1 , ω1 − x1 , x1 → max .0x1 ωA1По условию предпочтения представимы дифференцируемойфункцией, поэтому можем записать условие первого порядка.Условие первого порядка для 0 < x1 < ωA1:∂f∂uA∂uA ∂uA ∂f− A += 0,− A+ A∂x1∂x1∂x2 ∂x1 ∂x1откуда получим∂uA ∂f∂uA∂uA∂uA ∂f+=+.A∂x1∂x1∂xA∂xA∂xA212 ∂x1Поскольку по условию сказано, что предпочтения потребителя строго монотонны, а функция полезности дифференцируема,AAто ∂uA /∂xA2 > 0, а значит, поскольку ∂u /∂x2 = 0, разделимлевую и правую часть полученного выражения на ∂uA /∂xA2.Таким образом, дифференциальная характеристика внутреннегоПарето-оптимального распределения может быть записана в следующем виде:∂f∂f∂uA ∂uA∂uA ∂uA=−+.(4.14)∂x1 ∂xA∂x1 ∂xA∂xA∂xA1212AОбратим внимание, что в случае ∂f /∂xA1 = 0 и ∂u /∂x1 = 0,т.
е. в случае, когда в экономике отсутствуют экстерналии, полученная дифференциальная характеристика — это равенствопредельной нормы замещения предельному продукту, что, какизвестно из предыдущей главы, является дифференциальной характеристикой Парето-оптимального распределения, в которомвсе компоненты положительны, в экономике без экстерналий(см. задачу 3.60).Так как функция полезности и производственная функциявогнуты, условие первого порядка и, следовательно, выведеннаядифференциальная характеристика (4.14) являются не тольконеобходимым условием, но и достаточным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
