Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Таким образом, еслираспределение, в котором все компоненты положительны, удовлетворяет условию (4.14) и ограничениям задачи (4.13), то оноявляетсяОбозначим такое распределение A A Парето-оптимальным.x1 , x2 , x1 , y 2 .370Гл. 4. Провалы рынкаДля того чтобыответить на вопрос, можно ли реализоватьA, x , y,xраспределение xA12 как равновесное, нужно прове12рить, выполнены ли для него условия уравновешенностирынков,A — решение,xсуществуют ли цены, при которых набор xA12задачи потребителя, и (x1 , y 2 ) — решение задачи фирмы.Условия уравновешенности рынков выполнены, посколькуони совпадают с условиями допустимости — первым и вторымограничениями в задаче (4.13).Существуютли цены p1 и p2 такие, что решением задачиp2 y2 − p1 x1 → max ,фирмы:x1 , y2 0 является набор (x1 , y 2 )?y2 = f x1 , xA1 ,ограничению задачи фирмы,Решение (x1 , y 2 ) удовлетворяетAAпоскольку x1 , x2 , x1 , y 2 — оптимальное по Парето распределение, а значит, допустимо (для того чтобы решение задачи(4.13) было допустимо, были введены соответствующие ограничения).
Одно из условий допустимости совпадает с ограничениемв задаче фирмы. Запишем задачу фирмы в виде:p2 f x1 , xA1 − p1 x1 → max. Условие первого порядка для x1 > 0:x1 0Ap2 (∂f (x1 , xA1 )/∂x1 ) − p1 = 0, откуда ∂f (x1 , x1 )/∂x1 = p1 /p2 . Набор (x1 , y 2 ) удовлетворяет условию первого порядка при отношении цен p1 /p2 = ∂f (x1 , xA1 )/∂x1 . Так как производственнаяфункция вогнута, условие первого порядка является не тольконеобходимым, но и достаточным. AПроверим, является ли набор xA1 , x2 решением задачи потребителя⎧A⎨ uA xA1 , x2 , x1 → max ,AxA1 , x2 0⎩ p xA + p xA p ωA + p ωA + π (p , p )1 12 21 12 212при ценах p1 /p2 = ∂f (x1 , xA1 )/∂x1 . Так как предпочтения строго монотонны, решение задачи должно удовлетворять бюджетному ограничению как равенству.
Парето-оптимальное распределение удовлетворяет этому условию. Так как рассматривается распределение, в котором все компоненты положительны,Aа значит,и xA2 > 0, выразим x2 из бюджетного ограничения:AAAx2 = p1 ω1 + p2 ω2 + π (p1 , p2 ) − p1 xA1 /p2 и подставим в целе-4.5.
Решения задач371вую функцию задачи:AAp1 ωAA1 + p2 ω2 + π (p1 , p2 ) − p1 x1,,x→ max .uA xA11p2xA1 0Условие первого порядкадля внутреннегоможет быть A решенияAA AAAx∂uA xA,x,x∂u,x,xp121121записано в виде:= 1 . ПодстаAAp2∂x1 ∂x2,получим/∂xвив отношение цен p1 /p2 = ∂f x1 , xA11 A A A " A A A AA∂u x1 , x2 , x1∂u x1 , x2 , x1∂f x1 , xA1=.(4.15)∂x1∂xA∂xA12AМожет ли набор xA1 , x2 удовлетворять соотношению (4.15)?Сравнивая (4.15) с дифференциальной характеристикой Паретооптимальногораспределения (4.14) можем сделать вывод, что A Ax1 , x2 удовлетворяет (4.15) при" A A AA∂uA xA∂u x1 , x2 , x1∂f x1 , xA11 , x2 , x1=.(4.16)∂x1∂xA∂xA12Поскольку для вогнутой функции полезности условие первогопорядка является не только необходимым,но и достаточным, то, A Aв случае выполнения (4.16), x1 , x2 является решением задачипотребителя при ценах p1 /p2 = ∂f x1 , xA1 /∂x1 .Таким образом, было показано, что в рассматриваемой экономике при выполнении (4.16) Парето-оптимальное распределение,компоненты которого положительны, реализуемо как равновесное.Еслито при ценах p1 /p2 = Aне Aвыполнено, же условие (4.16)наборx,x/∂xнеудовлетворяетусловию пер= ∂f x1 , xA1112вого порядка (в общем случае необходимому условию), а значит,не является решением задачи потребителя.
Следовательно, приAнарушении (4.16) невозможно реализовать xA1 , x2 , x1 , y 2 какравновесное.4.7. (б) В экономикезадачи допустимое распредеAABB2 , x1 , x2называетсяПарето-оптимальным,лениеx1 , xеслинесуществуетдругогодопустимого распределения A A A A B BAx1 , x2 , x1 , x2 , такого, что uA xA,x2 , uA x1 , x12 B B A B B ABB2 , x2 и хотя бы одно из неравенств1 , xu x1 , x2 , x2 u xвыполнено как строгое. Другими словами, если экономика372Гл. 4. Провалы рынканаходится в Парето-оптимальном состоянии, то допустимымобразом невозможно увеличить благосостояния хотя бы одногоиз потребителей, не ухудшая при этом благосостояние другого.В задаче 3.6 гл.
3 сформулировано A A B B утверждение, согласно2 , x1 , x2 тогда и только тогдакоторому распределение x1 , xоптимально по Парето, когда является решением следующихдвух задач:⎧ A A,v x2 + xA⎪1 → A Amax⎪⎪x1 , x2 , xB1 , xB2 0⎪⎨ B B AB2 , xAB1 , xv x2 , x2 + xB1 uB x2 ,⎪BAB⎪xA⎪1 + x1 = ω1 + ω1 ,⎪⎩ ABx2 + xB2 = ωA2 + ω2 ,⎧ B B Amax,v x2 , x2 + xB1 →⎪⎪⎪xA, xA, xB1 , xB2 0⎪12 A A⎨ A AA x2 ,1 , xv x2 + xA1 u⎪ABAB⎪ x1 + x1 = ω1 + ω1 ,⎪⎪⎩ ABx2 + xB2 = ωA2 + ω2 .Так как в рассматриваемой экономике предпочтения потребителей строго монотонны (полезность растет по потреблению каждого блага), то достаточно рассмотреть одну из задач, например, первую.
Ограничение по полезности B выполBBωAнено как равенство.Тогда,так как xA1 =1 + ω1 − x1 , тоABB xB , xA − uB xB2 , xAB1 , xxA1 = ω1 + ω1 + v222 . ВоспользовавшисьBABAтем, что x2 = ω2 + ω2 − x2 , запишем задачу в следующем виде: ABBBAAB BB2 , xA1 , xωAv A xA2 + ω1 + ω1 + v2 + ω2 − x2 , x2 − u x2 →xB2xA1→maxAB0xA2 ω2 +ω2.Тогда условие первого порядка для внутреннего решения ∂vB xB , xA ∂vB xB , xA 2222−+= 0.(4.17)AvA x2BA∂x2∂x2Это и есть дифференциальная характеристика внутреннихоптимальных по Парето распределений. В оптимальном по Паре-4.5.
Решения задач373то распределениичастная выгода А от потребления предельнаяплюспредельная выгода В от внешнегоAвторого блага v A x B A 2BB2 /∂x2 должна быть равна частной предель2 , xэффекта ∂v xной выгоде потребителя В от потребления второго блага.
Таккак при предположении о поведении функций v k (·), k = {A, B},целевая функция вогнута, то условие первого порядка (4.17)является не только необходимым, но и достаточным.4.8. (а) На рис. 4.1, а приведены кривая частного спроса(дана), кривая предложения, кривая общественного предельноговыигрыша (SMB, или кривая общественной предельной готовности платить за товар, потребление которого «несет» экстерналию). На рис.
4.1, б приведены кривая частного спроса (дана),кривая предложения, кривая общественного предельного выигрыша (SMB, или кривая общественной предельной готовностиплатить за товар, потребление которого «несет» экстерналию).(б) На рис. 4.1, а имеет место отрицательная экстерналияв потреблении, поскольку кривая SMB лежит ниже кривой спроса, т. е. предельная максимальная готовность потребителей платить за данный товар, несущий внешний эффект (экстерналию),в действительности ниже. На рис. 4.1, б изображена ситуацияположительного внешнего эффекта в потреблениии, посколькукривая SMB лежит выше кривой спроса, т.
е. предельная максимальная готовность потребителей платить за данный товар,несущий экстерналию, в действительности выше.(в) На рис. 4.1, а Q1 — эффективный объем, Q2 — равновесный объем. На рис. 4.1, б наоборот.(г) На рис. 4.1, а ABD — безвозвратные потери. Увеличиваявыпуск, относительно эффективного, можно заметить на рисунке, что общественная готовность заплатить за каждую дополнительную единицу выпуска оказывается меньше предельныхиздержек производства этой единицы (вплоть до равновесной).Следовательно, площадь указанного треугольника — потери,связанные с перепроизводством товара, несущего экстерналию.На рис.
4.1, б ABD — безвозвратные потери. Увеличивая выпуск,относительно равновесного, можно заметить на рисунке, чтообщественная готовность заплатить за каждую дополнительнуюединицу выпуска оказывается выше предельных издержек производства этой единицы (вплоть до эффектвной). Следовательно,374Гл. 4. Провалы рынкаплощадь указанного треугольника — потери, связанные с недопроизводством товара, несущего экстерналию.(д) Для ситуации на рис.
4.1, а требуется введение налога поставке t на потребление товара, несущего экстерналию. Графическая иллюстрация этой политики с указанием ставки налогапредставлена на рис. 4.7.Рис. 4.7. Введение налога позволяет в равновесии реализовать оптимальный по Парето уровень потребления блага QРис. 4.8. Введение субсидиив экономике с экстерналиямиДля ситуации, изображенной на рис. 4.1, б, требуется введение субсидии по ставке s на потребление товара, несущего экстерналию. Графическая иллюстрация этой политики с указаниемставки субсидии приведена на рис. 4.8.4.9.
(а) Поскольку ∂ T C (x, y)/∂y < 0, имеет место положительный внешний эффект. Возможные причины снижения издержек фермеров: работа лопастей позволяет повысить интенсивность опыления цветков, шум и вращение лопастей отпугиваетптиц и мелких животных, которые истребляют урожай.(б) В условии сказано, что предельная готовность гражданзаплатить за дополнительную единицу 700 − y.
Это означает,что обратная функция спроса p = 700 − y. Поскольку фирмуобязывают устанавливать цену на уровне предельных издержек,т. е. вести себя конкурентно, оптимальный положительный объемветряков определяется условием равенства предельного дохода компании ее предельным издержкам, т. е. p = ∂ T C (y )/∂y,или в данном случае 700 − y = 100 + 5 y. Откуда находим, чтоy = 100.4.5. Решения задач375Используемое условие первого порядка является необходимым и достаточным в силу выпуклости функции издержек.(в) Эффективное количество (положительное) ветряков будетопределяться условием равенства величины предельной готовности заплатить за дополнительную единицу (700 − y) величинеобщественных предельных издержек (SM C (y)).Заметим, что если это условие при положительном объеме выпуска не выполнено, то всегда можно изменить выпусктовара, порождающего внешнее воздействие, увеличивая совокупный выигрыш общества.
Например, если предельная готовность заплатить за дополнительную единицу товара, влекущего экстерналию, больше, чем общественные предельныеиздержки, то выпуск дополнительной единицы этого товараобошелся бы обществу дешевле, чем его выигрыш от получения этой дополнительной единицы, что в предположении роста благосостояния от увеличения потребления данного товара(квазилинейность предпочтений) увеличило бы его благосостояние. Так как SM C (y) = M CЭ (y) + M CK (y) = 100 + 2 y, из700 − y = SM C (y) находим эффективное количество ветряковy = 200.Следует отметить, что тот же результат мы могли бы получить, максимизируя совокупную прибыль компании и фермерского хозяйства, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
