Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Изобразите решение графически.4.4. Равновесие по Линдалю341(б) Если бы решение о размере площади очищаемой территории принималось на основе добровольного финансированияжителями районов, то как вы полагаете, какая площадь лесопарковой зоны была бы очищена от мусора и какую долю внесли быжители каждого из районов в финансирование очистки?4.41. По мотивам [2.3]. В поселке таунхаусов соседи дома,содержащего три квартиры, где живут семьи Ивановых, Петровых и Сидоровых, размышляют об оборудовании в их совместномдворике перед домом альпийской горки. Рассматриваются дваварианта альпийской горки: с фонтаном и без.
Оборудование альпийской горки с фонтаном обойдется соседям в 70 000 руб., а безфонтана — в 45 000 руб. Известно, что предпочтения Ивановых,Петровых и Сидоровых могут быть представлены квазилинейными функциями полезности. Каждая семья определила, какуюмаксимальную сумму денег она готова заплатить за обустройствогорки. Эти данные представлены в табл. 4.1.Т а б л и ц а 4.1СемьиМаксимальная сумма, кото- Максимальная сумма, которую семья готова заплатить рую семья готова заплатитьза горку без фонтаназа горку с фонтаномИвановы20 00025 000Петровы15 00020 000Cидоровы20 00030 000(а) Какой вариант альпийской горки является Парето-оптимальным?(б) Если обустройство горки будет осуществляться на основедобровольного финансирования, то будет ли она приобретена,и если да, то какая?4.4. Равновесие по Линдалю4.42. Является ли равновесное распределение в равновесииЛиндаля допустимым?4.43.
Рассмотрите экономику задачи 4.13. Укажите нарис. 4.2 равновесное по Линдалю количество общественногоблага, производимое фирмой.342Гл. 4. Провалы рынка4.44. Рассмотрите экономику с общественным благом. Потребители владеют начальным запасом только частного благаω1 = 64. Известно, что во всех внутренних распределениях,удовлетворяющих уравнению Самуэльсона, количество производимого общественного блага составляет 4 ед. Что можно сказатьо том, какое количество общественного блага будут потреблятьпотребители во внутреннем равновесном распределении по Линдалю (если равновесие существует)?4.45.* Рассмотрите экономику с двумя благами (частным благом и общественным благом) и двумя потребителями, которыеBобладают разными запасами частного блага, ωA1 = 20 и ω1 = 80,kkkно одинаковыми функциями полезности: u (x1 , x2 ) = x1 x2 .
Потребители в равных долях владеют фирмой, производящей изединицы частного блага единицу общественного.(а) Запишите определение равновесия по Линдалю.(б) Найдите равновесие по Линдалю.4.46. Пусть предпочтения выпуклы и строго монотонны,производственная функция вогнута. Покажите, что в экономикезадачи 4.14 внутреннее равновесное распределение в равновесииЛиндаля является Парето-оптимальным.4.47. Рассмотрите экономику задачи 4.21. Потребители владеют фирмой в равных долях.
Найдите равновесие по Линдалю.4.48. Рассмотрите экономику, в которой два потребителяимеют квазилинейные функции полезности вида uA (xA1 , x2 ) =√B (xB , x ) = 4√x + xB , где x — количествоиu= 8 x2 + xA222111потребляемого общественного блага, а xk1 — потребление частного блага k-м потребителем, k = {A, B}.
В экономике есть однафирма, которая производит общественное благо из частного. Дляпроизводства y2 ед. общественного блага требуется затратитьc (y2 ) = (y2 )3/2 ед. частного. Начального запаса общественного блага в экономике нет. Начальные запасы частного благаBωA1 = ω1 = 10. Фирмой полностью владеет потребитель В.(а) Найдите равновесие по Линдалю.1 = 8, xA(б) Рассмотрите распределение (x2 = y2 = 4, x1 = 5,Bx1 = 7). Если возможно, реализуйте его как равновесное поЛиндалю в экономике с трансфертами. Если нет, то объясните,почему.4.5.
Решения задач3434.49. Рассмотрите экономику с двумя благами (общественным и частным) и с тремя потребителями (А, В и С), функцииполезности которых строго монотонны по обоим благам. Потребители А и В в равных долях владеют фирмой, технология которой позволяет произвести y2 ед. общественного блага, используяc (y2 ) = y22 ед.
частного. Потребители владеют начальными заBCпасами частного блага ωA1 = 10, ω1 = 20 и ω1 = 30. Начальныхзапасов общественного блага в экономике нет. Известно, что вовнутреннем равновесии Линдаля цены частного и общественногоблаг равны, соответственно, p1 = 2 и p2 = 8. Цены Линдаля дляпотребителей В и С равны, соответственно, qB = 2 и qC = 4.Определите недостающие параметры равновесия Линдаля, которые возможны, используя имеющуюся информацию.4.50.
Жители небольшого поселка решили украсить улицыновогодними гирляндами. Всех жителей поселка можно разделить на две группы: А и В. Предпочтения каждой группы могут быть описаны следующими функциями полезности:uA (x, y A ) = xy A и uB (x, y B ) = xy B , где x — количество метровгирлянд, а y A , y B — количество агрегированного блага. Ценаодного метра гирлянды равна 2 д.
е., а цена агрегированногоблага равна 1 д. е. Доход группы А равен 10 000 д. е., а доходгруппы В равен 8000 д. е.(а) Предположим, каждая группа независимо выбирает свойвклад, tA и tB соответственно, в финансирование покупки новогодних гирлянд. Сколько метров гирлянд будет закуплено каждой группой потребителей?(б) Является ли количество метров гирлянд, полученноев п. (а), Парето-оптимальным? Аргументируйте свой ответ.(в) Предложите способ финансирования покупки гирлянд,который приведет к Парето-оптимальному распределению в равновесии, где каждая группа будет принимать решение о покупкегирлянд независимо. Продемонстрируйте, как этот способ решитпроблему неэффективности в данной экономике.4.5.
Решения задач4.1. (а) Как видно из записи, полезность потребителя завиAсит не только от количества потребляемых им благ (xA1 и x2 ), нои от количества используемого фактора производства (первого344Гл. 4. Провалы рынкаблага) фирмой. Таким образом, имеет место внешний эффектсо стороны производства на потребителя. Поскольку по условию∂v/∂x1 < 0, что означает уменьшение полезности при увеличении использования фактора производства, то воздействие напотребителя отрицательное.(б) В экономике с одним потребителемпроизво A A и одним2 , x1 , y2 называетсядителем допустимое распределение x1 , xПарето-оптимальным,не существуетдругого допустимо A еслиA , x , y , такого, что uA xA , xA , xx,xго распределения11 >21212A1 .A> uA x1, x2, xДругими словами, в экономике с одним потребителем Парето-оптимальное распределение — это допустимое распределение, в котором благосостояние потребителя максимально (намножестве допустимых распределений).Запишем задачу поиска Парето-оптимальных распределений:⎧ A,v x2 , x1 + xA⎪1 → A Amax⎪⎪x1 , x2 , x1 , y2 0⎪⎪⎪⎨ xA + x = ωA ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩1xA21= y2 +1ωA2,=0y2 = f (x1 ) .Упростив задачу, получим: v (f (x1 ) , x1 ) + ωA1 − x1 →Условиепервогопорядкадлявнутреннегоmax .0x1 ωA1решения:∂v ∂vf (x1 ) +− 1 = 0.A∂x∂x21 A A2 , x1 , y2Таким образом, если внутренне распределение x1 , xПарето-оптимально, то оно удовлетворяет условию A A∂v x2 , x11∂v x2 , x11−= f (x1 )∂x1∂xA2или, так как1= c (y2 ), где c (y2 ) — количество первогоf (x1 )блага, необходимое для выпуска y2 ед.
второго блага, в другой A Aзаписи:∂v x2 , x11∂v x2 , x= c (y2 ) 1 −.(4.1)∂x1∂xA2Заметим, что при заданных свойствах производственной функции для функции c (y2 ) выполнено c (y2 ) > 0 и c (y2 ) > 0 (таким4.5. Решения задач345образом, c (y2 ) — выпуклая функция). Так как v xA2 , x1 и f (x1 )вогнуты, то условие первого порядка не только необходимо, но идостаточно.Так как ∂v/∂x1 < 0 (внешний эффект отрицателен), то A1∂v x2 , x∂v(xA1 )2, x1−> c (y2 ) .> 1, следовательно,∂x1∂xA2 A A2 , x1 , y2 , p1 , p2 называется равновесием(в) Набор x1 , xв экономике A сA экстерналиями, если2 — решение задачи потребителя при равновесных(1) x1 , x1 :ценах p1 , p2 и объеме затрачиваемого в производстве фактора x⎧ ⎪1 + xA,v xA⎪2, x1 → Amax⎨x , xA 0122 xA1 ωA2 ωAp1 , p2 ) ;p1 xA2 +π (⎪1 +p2 p1 +p⎪⎩=0(2) (x1 , y2 ) — решение задачи фирмы при равновесных ценахp1 , p2 :p2 y2 − p1 x1 → max ,x1 = c (y2 ) ;x1 , y2 01 = ωAA2 + ωA(3) xA1 + x1, x2 = y2 .
Так как в задаче речьAAидет о внутреннем равновесном распределении 1, то x1, x2 > 0.Внутреннее решение задачи потребителя удовлетворяет условиюA = p2 /p1 , что для рассматриваемой функции полезностиMRS211 )/∂xA2 /p1 .означает ∂v (xA2, x2 =pРешение задачи фирмы, такое, что y2 и x1 > 0 удовлетворяютp1 = c (y2 ).условию первого порядка задачи фирмы: p2 /Таким образом, в равновесии в экономике с экстерналиями y ).1 )/∂xAвыполнено условие ∂v (xA22, x2 = c (Поскольку при наличии внешнего эффекта в Парето-опти y ), равновесное1 )/∂xAмальном распределении ∂v (xA22, x2 > c (распределение не Парето-оптимально.1Внутренним распределением называется распределение, в котором потребление всех благ каждым потребителем ненулевое.
В гл. 3 внутреннимираспределениями назывались распределения, в которых все компоненты былиположительными. В рассматриваемой же задаче не требуется расширенияэтого понятия, так как при нулевом запасе второго блага и условии f (0) = 0положительное потребление второго блага возможно только при x1 , y2 > 0.346Гл.
4. Провалы рынка(г) Так как по условию ∂v/∂x1 < 0, то v1 (x1 ) > 0 (этоусловие, показывающее, что внешний эффект оказывает отрицательное воздействие наКроме того, чтобы A га Aпотребителя).что v2 x2 > 0,рантироватьсвойства v x 2 A, x1 , предположим, (x ) 0 (функция0(функцияvxвогнутая)иvv2 xA21221v1 (x1 ) выпуклая). Задача на поиск Парето-оптимального распределения сводится к виду:− c (y ) → max .v2 (y2 ) − v1 c (y2 ) + ωA 1 20y2 f (ωA1)x1xA1В оптимальном по Парето распределении благосостояние единственного потребителя достигает максимального значения длярассматриваемой экономики. Таким образом, индикатор общественного благосостояния может быть записан какW (y2 ) = v2 (y2 ) − v1 c (y2 ) − c (y2 ) . x1Функция v2 (y2 ) может трактоваться как частный выигрыш(выгоды) от потребления y2 , c (y2 ) — как частные издержки,связанные с производством y2 , c (y2 ) + v1 (c (y2 )) — как общественные издержки, связанные с экстерналиями.Дифференциальная характеристика внутренних оптимальныхпо Парето распределений:y2 ) = c (y2 ) 1 + v1 c (y2 ) ,v2 ( x1илиy2 ) = c (y2 ) + c (y2 ) v1 c (y2 ) .v2 ( x1Таким образом, в оптимальном по Парето распределенииy2 )) равна общественным препредельная частная выгода (v2 (дельным издержкам, которые равны сумме предельных частных y )), и предельных издержек, связанных с внешнимиздержек (c2 (y2 ) v1 (c (y2 )) .эффектом c (Дифференциальная характеристика внутреннего равновесноy2 ).го распределения: v2 ( y2 ) = c (=xA24.5.
Решения задач347В оптимальном по Парето распределении v2 (y2 ) > c (y2 ),y2 ) − c (y2 ) > 0. В равновесном распределении имеемили v2 (y2 ) − c (y2 ) = 0. Рассмотрим функцию ϕ (y2 ) = v2 (y2 ) − c (y2 ).v2 (y2 ) > ϕ (y2 ). Заметим, что такДля функции ϕ (y2 ) выполнено ϕ (как по условию производственная функция вогнута (f (x1 ) < 0),то функция издержек выпукла (c (y2 ) > 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
