Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(а) В рассматриваемой экономике с одним потребителемПарето-оптимальное распределение — это допустимое распределение, в котором благосостояние потребителя максимально.Таким образом, Парето-оптимальное распределение является решением следующей задачи:⎧ A A A,maxu x1 , x2 , x1 →⎪⎪⎪xA, xA, y2 , x1 0⎪12⎨ Ax1 + x1 = ωA1,⎪A⎪ x2 = y2 + ω2 ,⎪⎪⎩y2 = f (x1 ) .354Гл. 4.
Провалы рынкаВыразим через x1 остальные переменные задачи: y2 = f (x1 ),AAAxA1 = ω1 − x1 , x2 = ω2 + f (x1 ). Подставляя полученные выраAAжения для x1 , x2 в целевую функцию, приведем задачу к следующему виду:AuA ωA1 − x1 , ω2 + f (x1 ) , x1 → max .0x1 ωA1Условие первого порядка для решения, в котором компонента0 < x1 < ωA1:−∂uA∂uA ∂uA∂uA∂uA ∂uA +f(x)+=0,илиf(x)+=.11∂x1∂x1∂xA∂xA∂xA∂xA1221Поскольку по условию ∂uA /∂xA2 = 0, то разделим левую иправую часть полученного выражения на ∂uA /∂xA2 , откуда получим дифференциальную характеристику внутреннего Парето∂uA ∂uA∂uA ∂uA=,оптимального распределения f (x1 ) +AAA∂x1∂x2∂x1∂x2которая может быть записана следующим образом: f (x1 ) ++ MRSxA , xA = MRSxAA , xA .1212(б) По условию заданное распределение допустимо, а значит,для него выполнены условия сбалансированности рынков.
Таккак в рассматриваемом распределении все компоненты положительные, то решения задач потребителя и фирмы должны бытьвнутренними. Во внутреннем решении задачи потребителя: A A A1 → max ,u x1 , x2 , xAxA1 , x2 0AAAp1 , p2 ) ,p1 x1 + p2 x2 p1 ω1 + p2 ωA2 + π (A1 = p1 /p2 . ДопустимоеAMRSxAA , xA x1, x2, x12распредевыполненоление удовлетворяет ограничению задачи производителя:p2 y2 − p1 x1 → max ,x1 , y2 0y2 = f (x1 ) ,и во внутреннем решении задачи производителя выполненоx1 ) = p1 /p2 (условиепорядка). Так как по условиюf ( первогоAAA2 , x1 = f (x1 ) = 3, распределение может быть1 , xMRSxA , xA x12p2 = 3. Но невозможно дать одноравновесным при ценах p1 /значно утвердительный ответ, поскольку в рассуждениях использовались условия первого порядка, которые, в общем случае,являются только необходимыми, но не достаточными условиями.4.5.
Решения задач355(в) Распределение не удовлетворяет необходимому условиюПарето-оптимальности, выведенному в п. (а). Таким A образом, оноA,x1 , xне может быть Парето-оптимальным. MRSxA ,xA x1 = −6212означает, что dxA2 /dx1 = −(−6) = 6. Таким образом, увеличение использования фактора на 1 малую единицу требует увеличения потребления второго блага на 6 малых единиц. Этоозначает, что воздействие на потребителя негативное. Уменьшимиспользование первого блага в производстве x1 на одну малуюединицу.
Это возможно, поскольку по условию все компоненты распределения положительны. Тогда выпуск уменьшится наx1 ) = 3 малых единицы.В рассматриваемом распределенииf (A, x,xA=3.Этоозначает, что увеличение потребMRSxAA , xA x11212ления первого блага на одну малую единицу компенсируется безизменения полезности уменьшением потребления второго благана 3 малых единицы. Таким образом, в отсутствии экстерналийтакое перераспределение не привело бы к увеличению A A полезноA2 , x1 = −6,1 , xсти.
Однако так как по условию MRSx , xA x1 2то уменьшение использования первого блага в производстве намалую единицу без изменения полезности компенсировалось быпотерей шести малых единиц второго блага. Потребителю жепришлось отказаться только от трех малых единиц второго блага, а следовательно, его благосостояние возросло.4.4. (а) В экономике с одним потребителем Парето-оптимальное распределение — это допустимое распределение, такое, чтоне существует другого допустимого распределения, в которомблагосостояние потребителя было бы больше.
Таким образом,задача поиска оптимальных по Парето распределений записывается следующим образом:⎧A,ln xA⎪2 + ln y2 + x1 → A Amax⎪⎪x1 , x2 , y2 , x1 0⎪⎪⎪A⎨ xA1 + x1 = ω1 ,ωAxA⎪2 ,2 = y2 + ⎪⎪⎪⎪⎪√ =0⎩y 2 = 2 x1 .AВыразив из ограничений переменные xA2 и x1 через y2 , приведем2max√ , откуда найдемзадачу к виду 2 ln y2 + 10 − y2 /4 →0y2 2 10y2 = 2. Воспользовавшись условиями допустимости (ограниче-356Гл.
4. Провалы рынканиями задачи), найдем остальные компоненты распределения:1 = 1, xAxA2 = 2, x1 = 9.В дальнейшем, для большей наглядности и понимания полученных результатов, будет использоваться дифференциальнаяхарактеристика внутренних оптимальных по Парето распределений. Для ее вывода запишем функцию полезности в следующемвиде: AAAuA xA1 , x2 , y2 = vx x2 + vy (y2 ) + x1 ,где vi (·) > 0, vi (·) < 0, i = {x, y}. Обратную функцию к производственной функции обозначим c (y2 ), где c (y2 ) — количествоединиц первого блага, необходимое для производства y2 единицвторого.
В задаче c (y2 ) = y22 /4. Заметим, что для функции выполнено c (y2 ) > 0, c (y2 ) > 0.Тогда для задачи поиска оптимальных по Парето распределений⎧ A,vx x2 + vy (y2 ) + xA⎪1 → A Amax⎪⎪x1 , x2 , y2 , x1 0⎪⎪⎪A⎨ xA1 + x1 = ω1 ,ωAxA⎪2 ,2 = y2 + ⎪⎪⎪⎪=0⎪⎩x1 = c (y2 ) .AВыразив переменные xA2 и x1 через y2 , запишем целевуюфункцию (функцию полезности) следующим образом: vx (y2 ) ++ vy (y2 ) + ωA1 − c (y2 ). Таким образом, индикатор благосостояния для рассматриваемой экономики W (y2 ) = vx (y2 ) + vy (y2 ) −− c (y2 ). Слагаемое vx (y2 ) интерпретируется как выгода от потребления второго блага, y2 , c (y2 ) — как частные издержкипроизводства второго блага, разность c (y2 ) − vy (y2 ) интерпретируется как общественные издержки.Условие первого порядка, которое в силу вогнутости целевойфункции является достаточным условием, для внутреннего решения естьy2 ) + vy (y2 ) − c (y2 )= 0, или vx (y2 ) = c (y2 ) − vy (y2 ) .
(4.2)vx (То есть во внутреннем Парето-оптимальном распределении предельная выгода от потребления равна предельным общественнымиздержкам.4.5. Решения задач357(б) В равновесии потребитель решает задачу при равновесных ценах и равновесном уровне выпуска второго блага:⎧ A⎪y2 ) + xA,⎪ vx x2 + vy (1 → AmaxA⎨⎪⎪⎩p1 xA1+p2 xA2p1 ωA1+x1 , x2 0p2 ωAp1 ,2 + π (p2 ) .=0Так как полезность растет по каждому потребительскому благу, то предпочтения потребителя строго монотонны.Во внутреннем решении задачи потребителя выполнено условиеp1 . Так как функция полезности вогнута (сумMRSxAA , xA = p2 /21ма вогнутых функций), то предпочтения потребителя выпуклы.Следовательно, условие равенства предельной полезности отношению цен является не только необходимым, но и достаточным.
p12 /Для рассматриваемой задачи — это условие: vx xA2 = p(обратная функция спроса). Из условия уравновешенности рынкавторого блага xA2 = y2 .p2 y2 − p1 x1 → max ,x1 , y2 0условиеДля задачи производителяx1 = c (y2 ) ,первого порядка для внутреннего решения записывается, какp1 = c (y2 ) (обратная функция предложения фирмы). Так какp2 /производственная функция вогнута (функция c(y2 ) выпукла),то условие первого порядка задачи фирмы является не тольконеобходимым, но и достаточным. Таким образом, дифференциальная характеристика внутреннего равновесного распределенияy2 ) = c (y2 ). Для заданныхфункций это условие означаетvx (√1/y2 = y2 /2, откуда y2 = 2 . Из ограничения задачи фирмыx1 = 1/2.√ Из условия сбалансированности рынка второго благаAx2 = 2 .
Из условия сбалансированности рынка первого благаxA1 = 9,5.Таким образом, равновесное распределение не является оптимальным по Парето. Так как полезность потребителя растетс ростом выпуска второго блага (слагаемое ln y2 в полезности),то внешний эффект, возникающий в производстве, положительный. В Парето-оптимальном распределении производится большевторого блага, чем в равновесии, поскольку в равновесии фирмаучитывает только частные издержки и не учитывает внешниевыгоды.358Гл. 4. Провалы рынкаРис. 4.5. Чистые потери в равновесии равны площади заштрихованной области(в) На рис. 4.5 заштрихованы безвозвратные (чистые) потери.Площадь заштрихованнойобласти равна безвозвратнымпотерям.
В равновесном распределениипроизводится y2 =√= 2 ед. второго блага. Нои при бо́льшем выпуске предельная выгода (а, значит, готовность заплатить) выше, чемпредельные общественные издержки вплоть до Парето-оптимального уровня y2 = 2. Пример более подробного обоснования см. в решении п. (г) задачи 4.1.(г) Реализуем внутреннееA1 = 1,оптимальное по Парето распределение (xA1 = 9, x2 = 2, xy2 = 2) как равновесное в экономике с налогом/субсидией наэкстерналии.Начнем анализ с задачи фирмы. Именно деятельность фирмыприводит к внешнему эффекту, причем этот внешний эффектположительный. Таким образом, нужно ввести субсидию фирмедля того, чтобы в равновесии она производила бо́льший выпуск. Существуютли цены и субсидия такие, что решением(p2 + s) y2 − p1 x1 → max ,x1 , y2 0 является (x1 = 1, y2 = 2)?задачиx1 = c (y2 )Заметим, что (x1 , y2 ) удовлетворяет ограничению задачи.Упростив задачу, получим: (p2 + s) y2 − p1 c (y2 ) → max.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
