Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Предпочтенияпотребителей представимыдифференцируемыми функциями полезности uk xk1 , x2 , где x2 — количество потребляемого общественного блага, а xk1 — потребление частного блага k-м потребителем, k = {A, B, C}. Потребители владеют начальным запасомчастного блага и не владеют общественным. Технология можетбыть задана дифференцируемой возрастающей производственнойфункцией y2 = f (x1).tA , tB , tC , xAB1 , xC1 , x2 , y2 , x1 , гдеПусть набор p1 , p2 , 1, xtk — добровольный взнос на финансирование покупки общественного блага потребителя k, k = {A, B, C}, — равновесиес добровольным финансированием, такое, что все потребителипотребляют блага в положительных количествах.Пусть,того, для частного блага выполнено k кромеkk2 /∂x1 > 0 и f (x1 ) > 0 в равновесии существует1 , x∂u xпотребитель k1 с положительным взносом на покупку общественного блага все предельные полезности по общественномублагу kkk2 /∂x1 0,1 , xнеотрицательны для всех потребителей ∂u xпричем хотя бы для одного потребителя k2 , k2 = k1 , неравенствострогое.4.3.
Равновесие с добровольным финансированием337Покажите, что в равновесное распределение в равновесиис добровольным финансированием не Парето-оптимально.4.30. По мотивам [2.3]. Пусть в экономике имеютсядваA (xA , x ) = min xA , xпотребителя с функциямиполезностиu2211и uB (xB1 , x2 ) = min xB1 , x2 , где x2 — количество потребляемогообщественного блага, xk1 — потребление частного блага k-м индивидуумом, k = {A, B}. Производство представлено одной фирмой, принадлежащей потребителям в равных долях, технологиякоторой позволяет произвести из единицы частного блага единицу общественного.
Потребители имеют только запасы частногоBблага в размере ωA1 = 20 и ω1 = 80.(а) Охарактеризуйте Парето-оптимальные распределения.(б) Найдите равновесие с добровольным финансированием.Является ли равновесное распределение Парето-оптимальным?(в) Прокомментируйте полученный результат. Как он соотносится с теоремой о неоптимальности (см. задачу 4.29).4.31. Рассмотрите экономику, в которой два потребителяимеют квазилинейные функции полезности вида uA (xA1 , x2 ) =√B (xB , x ) = 4√x + xB , где x — количествоиu= 8 x2 + xA222111потребляемого общественного блага, а xk1 — потребление частного блага k-м потребителем, k = {A, B}.
Технология позволяетпроизвести единицу общественного (второго) блага (y2 ) из двухединиц частного (первого) блага (x1 ). Начального запаса общественного блага в экономике нет. Начальные запасы частногоBблага ωA1 = ω1 = 10.Потребители владеют фирмой в равных долях.(а) Существуют ли значения неизвестного параметра такие,Bчто распределение (xA1 = 6, x1 = 12, x2 = 4, y2 =?, x1 = 2)является допустимым?(б) Найдите множество внутренних Парето-оптимальныхраспределений.(в) Найдите равновесие с добровольным финансированием.(г) Является ли равновесное распределение, найденноев п. (в), Парето-оптимальным?В следующих пп. ((д), (е)) считайте, что оба блага в заданнойэкономике частные.(д) Найдите равновесие по Вальрасу.338Гл.
4. Провалы рынка(е) Будет ли равновесное распределение в п. (д) Парето-оптимальным?4.32. Рассмотрите экономику, в которой два потребителяимеют квазилинейные функции полезности вида uA (xA1 , x2 ) =B (xB , x ) = 2 ln (x + 2) + xB , где x —иu= ln (x2 + 2) + xA222111количество потребляемого общественного блага, а xk1 — потребление частного блага k-м потребителем, k = {A, B}. В экономикеесть одна фирма, которая производит общественное благо изчастного.
Для производства y2 ед. общественного блага требуется затратить c (y2 ) = 4 (y2 + 2)2 ед. частного. Начальногозапаса общественного блага в экономике нет. Начальные запасыBчастного блага ωA1 = 10, ω1 = 20. Фирмой потребители владеютв равных долях.(а) Укажите диапазон равновесных цен в равновесиях c добровольным финансированием, в которых общественное благо непотребляется и не производится.(б) Существуют ли равновесия с добровольным финансированием, в которых общественное благо потребляется в положительном количестве?4.33.
Рассмотрите экономику, в которой два потребителяимеют квазилинейные функции полезности вида uA (xA1 , x2 ) =√B (xB , x ) = 2√x + xB , где x — количествоиu= 3 x2 + xA222111потребляемого общественного блага, а xk1 — потребление частного блага k-м потребителем, k = {A, B}. В экономике есть однафирма, которая производит общественное благо из частного. Дляпроизводства y2 ед. общественного блага требуется затратитьc (y2 ) = (y2 )3/2 ед.
частного. Начального запаса общественного блага в экономике нет. Начальные запасы частного благаBωA1 = 80,5 и ω1 = 100,5. Фирмой полностью владеет потребитель В.1 = 1,Существуют ли цены, при которых набор (x2 = y2 = 1, xB = 101, A = 3/2, B = 0), где tk — добровольный=79,xttxA11взнос потребителя k, является равновесным в равновесии с добровольным финансированием? Если да, то найдите их, если нет,то объясните почему.4.34.
Рассмотрите экономику, в которой два потребителяимеют квазилинейные функции полезности вида uA (xA1 , x2 ) =√B (xB , x ) = 12√x + xB , где x —,гдеα>0,иu= α x2 + xA2221114.3. Равновесие с добровольным финансированием339количество потребляемого общественного блага, а xk1 — потребление частного блага k-м потребителем, k = {A, B}. В экономикеесть одна фирма, которая производит общественное благо (y2 ) из2/3частного. Производственная функция f (x1 ) = x1 . Начальногозапаса общественного блага в экономике нет.
Начальные запасыBчастного блага ωA1 = 30 и ω1 = 40. Фирмой владеет потребитель А.(а) При каких значениях параметра α покупку общественного блага в равновесии с добровольным финансированиемфинансирует только потребитель B? Найдите это равновесие/равновесия.(б) Существуют ли такие значения α, при которых оба потребителя финансируют покупку общественного блага в равновесиис добровольным финансированием? Если да, то найдите эторавновесие/равновесия. Если ответ нет, то объясните почему.4.35. По мотивам [2.1]. В экономике три потребителя имеютодинаковые предпочтения, представимыефункциями полезности αКобба–Дугласа: uk (xk1 , x2 ) = xk1 (x2 )1−α , 0 < α < 1, где x2 —количество потребляемого общественного блага, а xk1 —потребление частного блага k-м потребителем, k = {A, B, C}. У потребителей нет запаса общественного блага, а совокупный запасчастного блага, равный ω, распределен поровну между K потребителями, причем K 3.
В экономике есть фирма, котораяпозволяет из единицы частного блага (x1 — затраченное частноеблаго) произвести единицу общественного блага (y2 — произведенное общественное благо). Потребители владеют фирмой вравных долях. Какое количество общественного блага производится в равновесии с добровольным финансированием? Как этоколичество меняется с увеличением K?4.36.
По мотивам [2.1]. В экономике два потребителя, предпочтения которых одинаковы и представимыфункциями полез k αkk1−αности Кобба–Дугласа: u (x1 , x2 ) = x1 (x2 ) , 0 < α < 1, гдеx2 — количество потребляемого общественного блага, а xk1 —потребление частного блага k-м потребителем, k = {A, B}. Потребители владеют начальным запасом первого блага ωA1 >0,Bω1 >0. В экономике есть фирма, которая позволяет из единицычастного блага произвести единицу общественного блага. Потребители владеют фирмой в равных долях. При каком значении340Гл.
4. Провалы рынкапараметров финансировать покупку общественного блага будеттолько потребитель B?4.37. Рассмотрите экономику с двумя благамии двумяпотреA (x )10,x=xбителями с функциями полезности вида: uA xA2211 9/10и uB xB1 , x2 = xB1x2 , где x2 — потребление общественногоблага, а xk1 — потребление частного блага потребителем k. Потребители обладают начальными запасами частного блага ωA1 =6и ωB1 =?, но не владеют запасом общественного блага.
Технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба.(а) Пусть ωB1 = 54. Известно, что в равновесии с добровольным финансированием цена общественного блага p2 = 9 и ценачастного блага p1 = 3. Найдите все компоненты равновесия,которые возможно.(б) Найдите все такие значения ωB1 , что покупку общественного блага финансирует только потребитель В?4.38. Рассмотрите экономику с двумя благами (общественным и частным) и двумя потребителями.
Предпочтения потребителей представимы функциями полезности: uk xk1 , x2 = xk1 ++ 3x2 , где k — индекс потребителя, k = {A, B}. Каждый потребитель владеет положительным запасом частного блага в размереωk1 > 0. Кроме того, потребители в равных долях владеют фирмой, производящей общественное благо из частного. Технологияпозволяет из единицы частного производить единицу общественного. Найдите равновесие с добровольным финансированием.4.39. Рассмотрите экономику задачи 4.21.
Фирма принадлежит потребителю В. Найдите равновесие с добровольным финансированием.4.40. Издержки очистки от мусора лесопарковой территории,расположенной между районами «Ясенево» и «Бутово», составляют T C (x) = x2 , где x — площадь очищаемой территории(в га). Проведенные исследования выявили, что предпочтениявсех жителей районамогут быть описаны функцией «Ясенево»√полезности вида uЯ x, mЯ = 20 x + mЯ , а предпочтения всехжителей района «Бутово»могут√быть представлены функциейполезности вида uБ x, mБ = 12 x + mБ , где mЯ и mБ — потребление агрегированного блага всеми жителями соответствующих районов.(а) Найдите Парето-эффективную площадь очищаемой отмусора территории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
