Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для этого решим задачу минимизации издержек фирмы:T CA (yA ) + T CB (yB ) → min ,yA ,yB 0 ⇒yA + yB = y, 2αyA + FA + βyB2 + FB → min ,yA ,yB 0⇒yA + yB = y.Условия первого порядка поставленной задачи для внутреннего решения имеют вид:2αyA = 2βyA ) = M CB (yB ) ,yB ,M CA (⇒yA + yB = y,yA + yB = y.Отсюда для внутреннего решения находимyA = y · β/(α + β),yB = y · α/(α + β).Поскольку β/(α + β) < 1 и α/(α + β) < 1 для любого α, β > 0,то распределение выпусков, при котором в одном из городовне выпускается продукция, не является оптимальным для фирмы.
Поэтому в городе А будет выпускаться доля совокупноговыпуска, равная β/(α + β), в городе В будет выпускаться долясовокупного выпуска, равная α/(α + β), и функция совокупныхиздержек фирмы имеет вид T C (y) = y 2 · αβ/(α + β) + FA + FB .Заметим также, что в силу α > β в городе А будет выпускаться меньший объем продукции, чем в городе В.(б) В городе В будет выпускаться положительный объем продукции до тех пор, пока совокупные издержки фирмы при по-194Гл.
2. Теория поведения производителякупке лицензии и производстве в городе В будут не больше, чемпри отказе производства в этом городе:αβ 2y + FA + FB + F αy 2 + FA + FB ,α+βоткуда имеем F y 2 · α2 /(α + β).2.46. (а) Обратим внимание нато, что все издержки фирмы — переменные, так как при y = 0 имеемT C (y) = 0.Найдем предельные и средниеиздержки фирмы и изобразим кривые издержек графически (рис. 2.16):M C (y) = 2y,y 0,AC (y) = y + T /y, y > 0.Рис. 2.16.
Предельные исредние издержки фирмы(б) Найдем предложение фирмы.Для этого решим задачу максимизации прибыли фирмы:py − T C (y) → max, или в данном случае: py − y 2 − T → max .y0y>0Отметим, что при нулевом выпуске фирмы она получает нулевуюприбыль, которая, возможно, при ненулевых ценах на продукциюфирмы не является максимальной. Поэтому будем решать задачумаксимизации прибыли при положительном выпуске фирмы.Поскольку в условиях совершенной конкуренции фирма воспринимает цену производимого продукта как заданную, то условия первого порядка имеют вид:p = M C (y) , или в нашем случае: p = 2y.Обратим внимание на то, что условия первого порядка являются необходимыми и достаточными, так как целевая функция задачи максимизации прибыли фирмы строго вогнута:(py − y 2 − T ) < 0.В долгосрочном периоде фирма будет работать на рынкесовершенной конкуренции, только если цена продукта превышает средние издержки фирмы.
Иначе фирма несет убытки ией выгоднее прекратить свою деятельность, получая при этомнулевую прибыль. В данном случае фирма будет работать, только2.4. Решения задач195√√если цена продукта будет√ не менее 2 T . При p = 2 T фирмебезразлично, выпускать T единиц продукта или уйти с рынка.В обоих случаях прибыль фирмы будет равна нулю. Будем считать, что, если фирме безразлично, уйти с рынка или выпускатьпродукцию, получая такую же прибыль, как при бездействии, тофирма работает в отрасли.Таким образом, функция предложения фирмы имеет вид:√p/2, p 2 T ,y (p) =√0,p<2 T.Изобразим графически кривуюпредложения фирмы (рис.
2.17).2.52. Заметим, что в условии краткосрочного периода предложение фирмы должно удовлетворять следующим Рис. 2.17. Предложениефирмыправилам:1) p = M C (y);2) при данном объеме выпускаемой продукции предельныеиздержки фирмы не убывают;3) p min AV C(y).(а) Утверждение верно.В точке, y > 0, где средние переменные издержки убывают,предельные издержки меньше средних переменных издержек.Покажем это.Пусть при некоторых значениях объема y выпускаемой продукции AV C (y) убывают, значит, AV C (y) = (V C (y)/y) < 0,илиV C (y) y · V C (y) − V C (y)==AV C (y) =yy21= (M C (y) − AV C (y)) < 0.yСледовательно, M C (y) < AV C (y).Так как максимизирующая прибыль фирма работает в точке,где p = M C (y) и M C не убывают, то p < AV C (y).
Такимобразом, нарушается правило (3) максимизации прибыли в краткосрочном периоде p min AV C(y), и фирма никогда не будетпроизводить в точке, где средние переменные издержки убывают.196Гл. 2. Теория поведения производителя(б) Утверждение неверно.Для приведения контрпримера заметим, что когда средниеиздержки убывают, предельные издержки меньше средних издержек (доказывается аналогично п. (а) данной задачи), однакотехнология производства можетбыть такова, что в точке y,где предельные издержки меньше средних издержек, предельные издержки могут возрастатьи быть больше средних переменных издержек.
Приведем контрпример (рис. 2.18).В данном случае все условиямаксимизации прибыли в кратРис. 2.18. Контрпримеркосрочном периоде выполнены:1) p = M C (y );2) в точке y предельные издержки фирмы возрастают;3) p > min AV C(y);Поэтому утверждение неверно.(в) Утверждение верно. Нарушается правило (2), предельныеиздержки в точке выбора фирмы, максимизирующей прибыль,должны не убывать.2.5.
Ответы и подсказкиββ−12.1. (а) MP1 = α xα−1x2 , MP2 = β xα1 x2 . Изменение1предельного продукта первого фактора при изменении объемовиспользования первого фактора не зависит от параметра β.Предельный продукт первого фактора растет с ростом объемовего использования при α > 1. (б) MRT S12 (x1 , x2 ) = α x2 /(β x2 ).При любых α > 0, β > 0. Факторы являются замещаемыми, ноне являются абсолютными заменителями. (в) Если α + β > 1,то данная технология демонстрирует возрастающую отдачу отмасштаба.
Если α + β = 1, то имеем постоянную отдачу, еслиα + β < 1, то — убывающую. (г) Да, может, если α + β > 1,α < 1, β < 1. 2.2. Возможные причины: менеджменту фирмыстановится труднее управлять технологическим процессом приросте фирмы, увеличении количества заводов и т. п., большойштат работников может работать не так слаженно, как маленькаякоманда и т. д. Убывающая отдача обычно наблюдается при2.5. Ответы и подсказки197больших уровнях выпуска.
2.3. Подсказка: воспользовавшисьвогнутостью производственной функции, покажите, что неменьший объем продукции можно произвести, используя 10 ед.капитала и 24 ед. труда. Затем воспользуйтесь свойствомсвободы распоряжения. 2.4. Изоквантой, соответствующейвыпуску q, называется множество всех возможных комбинацийфакторов производства (x1 , x2 , ..., xn ), таких, что q являетсямаксимально возможным объемом выпуска при использованииданной комбинации факторов.
Таким образом, если технологияпредставима производственной функцией f (x), то изокванта,соответствующая выпуску q, представляет собой множествокомбинаций факторов производства (x1 , x2 , ..., xn ) таких, чтоf (x1 , x2 , ..., xn ) = q. Не могут. Подсказка: предположив, чтоони могут пересекаться, рассмотрите точку их пересеченияи воспользуйтесь определением изокванты. Принимая вовнимание предпосылку о монотонности технологий, принятуюв стандартном курсе микроэкономики, легко показать, чтоизокванты не могут иметь положительный наклон и не могутбыть толстыми.
2.5. Нет. Указанная в условии производственнаяфункция обладает постоянной отдачей от масштаба, в товремя как изокванты на рисунке не соответствуют данномусвойству. Сравнив изокванты q = 20 и q = 40, достаточнозаметить, что увеличение каждого фактора производства вдва раза приводит к увеличению объема выпуска менее, чемв два раза.
2.6. (а) Подсказка: заметьте, что y = 3x1 , если3x1 x2 , и y = x2 , если 3x1 x2 , где y — объем выпускаемойx) = 0, MRT S12 (x) = ∞. Факторыпродукции. (б) MRT S12 (являются абсолютно дополняющими друг друга. (в) Постояннаяотдача от масштаба. 2.7. (а) Предельный продукт первогофактора убывает с ростом объема использования этого фактора,а предельный продукт второго фактора возрастает с ростомобъема его использования.
(б) Данная технология не обладаетни возрастающей, ни убывающей, ни постоянной отдачей отмасштаба. (в) Когда предельный продукт первого фактораменьше среднего продукта этого фактора, средний продуктпервого фактора убывает. Если средний продукт для технологииявляется дифференцируемой функцией, то для любой дифференцируемой производственной функции данный результат будетсправедлив. Смотри подсказку в ответе к задаче 2.8. Средний ипредельный продукты первого фактора схематично изображены198Гл. 2. Теория поведения производителяРис. 2.19.
Средний (a) и предельный (б) продукты первого фактора−1/2−1/2на рис. 2.19; MP1 (x1 ) = 0,5 · x1 , AP1 (x1 ) = x1+x22 /x1 .2.8. (а) Пока предельный продукт выше среднего, среднийпродукт возрастает. Когда предельный продукт ниже среднего,средний продукт убывает. (б) Подсказка: продифференцируйтеAPL ≡ f (L, K, N )/L по L. (в) «Закон» убывания предельногопродукта был получен эмпирически, это свойство, присущеебольшинству реальных технологических процессов. «Закон»гласит, что с увеличением объема использования факторапроизводства предельный продукт этого фактора убывает.Для данной технологии предельный продукт труда штатнойединицы возрастает. Это не означает, что эмпирический«закон» убывания предельного продукта не работает, посколькууказано, что данная производственная функция может описывать производственный процесс только за некоторый периодвремени.
2.9. (а) В качестве варианта объяснения можноуказать возможность неэффективной работы какого-либо звенапроизводства. В частности, менеджеры одной из фирм моглиплохо организовать производственный процесс. (б) Не выявляетубывающую отдачу от масштаба, поскольку как минимум один2.5. Ответы и подсказки199из факторов (капитал–помещение) остается фиксированным.Не выявляет убывающую производительность труда, посколькунаблюдаем увеличение не только объема труда, но и объемадругих факторов. 2.10. (а) Подсказка: чтобы нарисоватьлинии одинаковой прибыли, необходимо в пространстве«фактор–выпуск» графически изобразить прямые, описываемыеуравнением Π = py − wx при различных значениях Π, где p,w — цены продукта и фактора, соответственно, Π — значениеприбыли фирмы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
