Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Рассмотрите фирму, действующую в условиях совершенной конкуренции и производящую готовую продукцию, максимизируя свою прибыль. Пусть в краткосрочном периоде некоторые факторы производства фиксированы.Верны ли следующие утверждения:(а) Фирма никогда не будет производить такой объем выпуска, при котором средние переменные издержки убывают.178Гл. 2.
Теория поведения производителя(б) Фирма, никогда не будет производить такой объем выпуска, при котором средние краткосрочные издержки убывают.(в) Фирма никогда не будет производить такой объем выпуска, при котором краткосрочные предельные издержки убывают.2.4. Решения задач2.11. (а) Выпишем задачу максимизации прибыли: max pf L, K − wL − rK .L0Условие первого порядка для внутреннего решения задачи:∂f L∗ , K− w = 0 или p M PL L∗ , K − w = 0.p∂LРешение задачи производителя будет определяться условиемпервого порядка в силу строгой вогнутости целевой функции(по условию предельный продукт труда убывает, а издержкина труд линейны). Следовательно, условие первого порядка является необходимым и достаточным условием решения задачипроизводителя.Приведенный ниже рис.
2.4 демонстрирует внутреннее решение данной задачи фирмы, если f (0; K) = 0.(б) Выпишем задачу производителя при введении субсидии:max(pf (L, K) − (w − s)L − rK).L0Рис. 2.4. Решение задачи максимизации прибыли2.4. Решения задач179Условие первого порядка, как было показано выше, являетсянеобходимым и достаточным условием решения задачи производителя. K∂f L, K − (w − s) = 0.− (w − s) = 0, или p MPL L,p∂LТак как производственная функция характеризуется убывающимпредельным продуктомтруда,то в силу того, что (w − s) < w,∗имеем MPL L , K > MPL L, K , откуда получаем L∗ < L.Таким образом, при субсидировании труда фирма увеличитиспользование этого фактора в данном случае.В силу предпосылки о производственных процессах, состоящей в том, что увеличение использованиякаждого фактора не∗∗уменьшает выпуск продукции, имеем y =f L , K f L, K = y.Для случая производственной функции, которая проиллюстрирована на рис.
2.4, y ∗ < y.Найдем, как изменится прибыль фирмы: − rK,y − wLπ∗ = py ∗ − wL∗ − rK pтак как любая иная комбинация факторов производства, вместотой, которая при данных ценах максимизировала прибыль фирмы, будет давать фирме не бо́льшую прибыль, чем максимальная.По той же причине − rK py ∗ − (w − s)L∗ − rK.π = py − (w − s)LЗаметим, что py ∗ −(w−s)L∗ −rK > py ∗ −wL∗ −rK = π∗ .π = py −(w − s)L−rKТаким образом, получили π > π∗ . Проиллюстрируем полученные результаты.Графически сравнить прибыли в каждой ценовой ситуацииможно на оси выпусков, проиллюстрируем это на рис.
2.5 ниже.Линии одинаковой прибыли в разной ценовой ситуации:py − wL − rK = π∗ = py ∗ − wL∗ − rK, − rK.π = py − (w − s)Lpy − wL − rK = Отсюда, сравнивая значения выпусков при L = 0, получаемπ > π∗ .180Гл. 2. Теория поведения производителяРис. 2.5. Введение субсидии2.14. Фирма максимизирует прибыль, воспринимает цены какзаданные. Рассмотрим, как изменится выбор фирмы при изменении цены продукта. Будем полагать, что фирма используетдва фактора x1 и x2 для производства продукта y. Предположим, что цена продукта увеличилась: p0 < p1 .
В начальнойценовой ситуации фирма, максимизируя свою прибыль, производит y 0 единиц выпуска и использует набор (x01 , x02 ) факторов производства. В другой ценовой ситуации фирма, максимизируя свою прибыль, производит y 1 единиц выпуска и использует набор (x11 , x12 ) факторов производства. Полагаем также,что цены факторов не изменялись, так как нам необходимовыделить реакцию фирмы на изменение цены продукта. Тогда p0 y 0 − w10 x01 − w20 x02 p0 y 1 − w10 x11 − w20 x12 (поскольку любойдругой выбор выпуска и факторов не может принести фирмебо́льшую прибыль), p1 y 1 − w10 x11 − w20 x12 p1 y 0 − w10 x01 − w20 x02(аналогично).Сложив два неравенства, получаем(p0 − p1 )(y 0 − y 1 ) 0 ⇒ если (p0 − p1 ) < 0, то (y 0 − y 1 ) 0.Таким образом, при увеличении цены продукта выпуск продукта не уменьшится. Тогда можно сравнить выручку фирмыв предложенных ценовых ситуациях: p0 y 0 p1 y 1 .
Следовательно,выручка фирмы не убывает с ростом цены продукта.Очевидно, что в силу приведенного в решении доказательства, утверждение будет справедливо для фирмы производящейлюбое количество продуктов и использующей любое количествофакторов производства.2.4. Решения задач1812.24.
(а) Уравнение изокосты (линии одинаковых расходов)имеет вид c = wL + rK. В координатах факторов производстваизокоста представляет собой прямую линию с тангенсом угла наклона, равным −w/r (будем говорить «с наклоном −w/r»), причемстоит заметить, что изокоста, соответствующая большим расходам,лежит дальше от начала координат, чем изокоста, соответствующая меньшим расходам.
Проиллюстрируем сказанное на риc. 2.6.(б) Технологияпроизводства Рис. 2.6. Линии одинаковыхрасходовописывается функцией Кобба–Дугласа. Изокванта, соответствующая y единиц выпуска, представляет собой совокупностьнаборов факторов производства, при использовании которыхпроизводится y единиц продукта, причем y = 4L1/2 K 1/2 .В координатах факторов производства изокванта для даннойтехнологии, соответствующая y единиц выпуска, описываетсяуравнением K = y 2 /(16L). Заметим, что чем больше уровеньвыпуска, тем дальше находится изокванта от начала координат.Выпишем задачу минимизации издержек:wL + rK → min ,L,K0y = 4 L1/2 K 1/2 .Выпишем Лагранжиан для данной оптимизационной задачи:L (L, K, λ) = wL + rK + λ y − 4 L1/2 K 1/2 .Заметим сразу, что L = 0 или K = 0 не может быть решениемпоставленной задачи, так как в этом случае невозможно достичьвыпуска y > 0.Условия первого порядка для внутреннего решения имеютвид: K, λ)∂L(L, −1/2 K 1/2 = 0,= w − 2λ L∂L K, λ)∂L(L, 1/2 K −1/2 = 0,= r − 2λ L∂K182Гл.
2. Теория поведения производителя K, λ)∂L(L, 1/2 = 0,1/2 K= y − 4L∂λоткуда имеем минимизирующее издержки отношение капиталак труду: L = w/r.K/Полученное соотношение не зависит от количества выпускаемой продукции в силу того, что технология представлена однородной производственной функцией. В данном случае технология представлена производственной функцией первой степениоднородности.
Изобразим полученный результат графически нарис. 2.7.Наименьших затрат при заданных ценах факторов производства и уровне выпуска фирРис. 2.7. Оптимальное соот- ма сможет достичь в точке, гдеизокоста коснется соответствуюношение факторовщей изокванты. Следовательно,наклон изокосты в точке минимума издержек должен быть равеннаклону изокванты. Так как наклон изокванты в любой точке характеризуется предельной нормой технологического замещенияфакторов производства, то имеем K) = K/ L = w/r.MRT SLK (L,В силу однородности производственной функции наклон любойизокванты вдоль данного луча, выходящего из начала координат,одинаков и зависит только от соотношения затрачиваемых факторов в этой точке, т.
е. от наклона данного луча. Так как ценыфакторов остаются постоянные, то минимизирующее издержкиотношение капитала к труду не зависит от количества выпускаемой продукции.(в) Зная минимизирующее издержки отношение капиталак труду, мы сможем найти условный спрос на факторы производства. Условием является количество выпускаемой продукции, которое необходимо получить с минимальными издержками. Учи-2.4. Решения задач183тывая условия первого порядка задачи фирмы, минимизирующейиздержки, выписанные в п. (б), имеем L = w/r,K/ 1/2 , 1/2 Ky = 4Lоткуда находим условный спрос на факторы:1 w1 ry,K (y, w, r) =y.L (y, w, r) =4 w4 r(г) Найдем теперь функцию издержек фирмы в долгосрочномпериоде:√ (y, w, r) + r K (y, w, r) = 1 y wr .C (y, w, r) = w L2Обратим внимание на то, что издержки прямо пропорциональнывыпуску в силу постоянной отдачи от масштаба данной технологии.(д) Найдем средние и предельныеиздержки фирмы в долгосрочном периоде:1√1√wr ,M C (y) =wr .AC (y) =22Заметим, что средние и предельныеиздержки фирмы постоянны при неизменных ценах факторов производстваи равны.
Объясняется данный факт Рис. 2.8. Средние и предельные издержкитем, что при постоянной отдаче отмасштаба издержки фирмы линейно зависят от количества выпускаемой продукции. Изобразим полученный результат графически на рис. 2.8.2.36. При увеличении количества факторов в четыре раза выпуск возрос только в два раза. Это дает возможностьпредположить, что, по крайней мере на некотором участке,технология характеризуется убывающей отдачей от масштаба.Заданная же функция издержек такова, что средние издерж√ки AC (w1 , w2 , y) = c (w1 , w2 , y)/y = 2w10,5 w20,5 / y при любомуровне выпуска убывают с ростом выпуска. Это свидетельствует о том, что такая функция издержек может быть у фирмы,технология которой характеризуется возрастающей отдачей от184Гл.
2. Теория поведения производителямасштаба. Следовательно, эта функция издержек не может бытьфункцией издержек рассматриваемой фирмы.2.37. (а) Участок убывания кривой функции средних долгосрочных издержек (LRAT C) при росте выпуска может отражать возрастающую отдачу от масштаба (издержки растутмедленнее выпуска; для технологий, представленных однородными производственными функциями, например, для увеличениявыпуска в t раз необходимо увеличить расход ресурсов менее,чем в t раз) а участок возрастания кривой средних долгосрочныхиздержек при росте выпуска может отражать убывающую отдачуот масштаба (издержки растут быстрее выпуска; для технологий,представленных однородными производственными функциями,например, для увеличения выпуска в t раз, необходимо увеличить расход ресурсов менее, чем в t раз).U-образная форма кривой долгосрочных средних издержек,кроме описанных выше факторов, может быть следствием того,что технология фирмы, работающей в долгосрочном периоде,обладает убывающей отдачей от масштаба, и издержки фирмыпри нулевом выпуске равны нулю, но при положительном выпуске фирма несет издержки, связанные со входом в отрасль,т.
е. функция долгосрочных издержек имеет вид LRT C (y) == C(y) + T , y > 0, LRT C(0) = 0, где T = const > 0 являетсявеличиной расходов фирмы, связанных со входом в отрасль.Тогда участок убывания средних долгосрочных издержек прималом выпуске объясняется доминирующей ролью составляющейT /y, а участок возрастания средних долгосрочных издержек прибольших объемах выпускаемой продукции объясняется доминирующей ролью составляющей C(y)/y, которая в силу убывающейотдачи от масштаба является возрастающей функцией.(б) Кривая долгосрочных средних издержек является огибающей кривых краткосрочных средних издержек. Каждая криваякраткосрочных средних издержек касается кривой долгосрочныхсредних издержек при таком уровне выпуска (или имеет с нейобщие точки), при котором количество фиксированного фактора,которое используется в краткосрочном периоде, является оптимальным (минимизирующим издержки) для производства этогоуровня выпуска в долгосрочном периоде.
При данном количествефиксированного фактора SRAT C(y) > LRAT C(y) при любомдругом уровне выпуска [1.6; c. 252–255].2.4. Решения задач1852.38. (а) Средние переменные издержки для двухфакторнойтехнологии в краткосрочном периоде имеют вид AV C (w, q) ≡≡ V C (q)/q = w1 x1 (q)/q, где x1 (q) — функция условного спросана переменный фактор производства.Нас интересует поведение кривой средних переменных издержек, следовательно, нужно определить, если это возможно, знакпроизводной функции AV C (w, q):qw1 (x1 )q − w1 x1 (q) w1qV C − V Cx1 (q)(x1 )q −,==AV Cq =q2q2qqгде11x1 (q)(x1 )q ==,.MP1qAP1Следовательно, AV Cq = w1 /q (1/(MP1 ) − 1/(AP1 )).Таким образом, на участке, где предельная и средняя производительности переменного фактора равны, средние переменныеиздержки постоянны, и соответствующая кривая горизонтальнав осях «выпуск — средние издержки».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
