Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 33
Текст из файла (страница 33)
На участке, где предельный продукт (предельная производительность) переменногофактора превышает средний продукт этого фактора, средниепеременные издержки убывают, и соответствующая кривая имеет отрицательный наклон. На участке, где предельный продуктпеременного фактора меньше среднего продукта этого фактора,средние переменные издержки возрастают, и соответствующаякривая имеет положительный наклон.(б) Заметим сразу, что в силу монотонности производственной функции и x2 > 0, имеем f (x1 , x2 ) > 0 для любого x1 > 0.• Если f (x1 , x2 ) представляет собой линейную зависимостьот переменного фактора для любого x1 (постоянная отдачана переменный фактор), то1) при f (0, x2 ) = 0 имеем MP1 (x1 , x2 ) = AP1 (x1 , x2 ) == const для любого x1 > 0;2) при f (0, x2 ) > 0 имеем MP1 (x1 , x2 ) = const << AP1 (x1 , x2 ) для любого x1 > 0.Для графического сравнения средней и предельной производительности переменного фактора вспомним, что графическитангенс угла наклона касательной к графику производственнойфункции f (x1 , x2 ) в любой точке x1 есть предельный продуктпеременного фактора, а наклон секущей, проведенной из начала186Гл.
2. Теория поведения производителяРис. 2.9. Сравнение среднего (а) и предельного (б) продуктов переменного фактора для случая линейной зависимости от переменногофакторакоординат к графику функции f (x1 , x2 ) в точке x1 , есть среднийпродукт переменного фактора (рис. 2.9).• Если f (x1 , x2 ) строго вогнута по x1 для любого x1 (убывающая отдача на переменный фактор), то при f (0, x2 ) = 0 иf (0, x2 ) > 0 имеем MP1 (x1 , x2 ) < AP1 (x1 , x2 ) для любогоx1 > 0 (рис. 2.10).Рис. 2.10. Сравнение среднего (а) и предельного (б) продуктов переменного фактора для случая вогнутой функции по переменномуфактору2.4.
Решения задач187Рис. 2.11. Сравнение среднего (а) и предельного (б) продуктов переменного фактора для случая выпуклой функции по переменномуфактору• Если f (x1 , x2 ) строго выпукла по x1 для любого x1 , (возрастающая отдача на переменный фактор), то1) при f (0, x2 ) = 0 имеем MP1 (x1 , x2 ) > AP1 (x1 , x2 ) длялюбого x1 > 0 (рис. 2.11);2) при f (0, x2 ) > 0 однозначное соотношение междусредней и предельной производительностью переменного фактора для произвольной технологии не определяется и будет зависеть непосредственно от конкретной функциональной зависимости, характеризующейтехнологический процесс.Доказать предложенные факты аналитически можно, используя уравнение касательной к графику функции f (x1 , x2 ) в точкеx01 = 0.(в) Поведение кривой средних совокупных издержек будетопределяться поведением кривой средних переменных издержек и кривой средних фиксированных издержек, посколькуAT C (w, q) = AV C (w, q) + AF C (w, q).Вне зависимости от технологии кривая средних фиксированных издержек AF C (w, q) представляет собой гиперболу, поскольку AF C (w, q) = w2 x2 /q, т.
е. графически представлена убывающей по q функцией.Таким образом, имеем:• Если f (x1 , x2 ) представляет собой линейную зависимостьот переменного фактора (постоянная отдача на перемен-188Гл. 2. Теория поведения производителяный фактор) для любого x1 и f (0, x2 ) = 0, то AT C (w, q)является убывающей функцией, как сумма постоянной иубывающей функции.Если f (x1 , x2 ) представляет собой линейную зависимость от переменного фактора (постоянная отдача на переменный фактор) для любого x1 и f (0, x2 ) > 0, то функцияAT C (w, q) убывает до f (0, x2 ) > 0, поскольку переменный фактор не используется, пока q f (0, x2 ), а затембудет определяться доминированием убывающей функцииAF C (w, q) или возрастающей функции AV C (w, q).
Аналитически можно показать (предоставим эту возможность читателю), что при линейной зависимости функции f (x1 , x2 )от переменного фактора и f (0, x2 ) > 0 функция AV C (w, q)является возрастающей и ограниченной сверху, а потомупри q > f (0, x2 ) поведение кривой AT C (w, q) будет определяться доминированием функции AF C (w, q), т. е. приданных условиях кривая AT C (w, q) является убывающейпри любых значениях объема выпускаемой продукции.• Если f (x1 , x2 ) строго вогнута по x1 (убывающая отдачана переменный фактор) для любого x1 и f (0, x2 ) > 0 илифункция AT C (w, q) убывает до f (0, x2 ) > 0, поскольку переменный фактор не используется, пока q f (0, x2 ), а затем будет определяться доминированием убывающей функции AF C (w, q) или возрастающей функции AV C (w, q).Аналитически можно показать (предоставим эту возможность читателю), что для строго вогнутой по переменному фактору функции f (x1 , x2 ) и f (0, x2 ) > 0 функцияAV C (w, q) является неограниченно возрастающей, а потому при больших объемах выпускаемой продукции поведение кривой AT C (w, q) будет определяться доминированиемфункции AV C (w, q), т.
е. при данных условиях криваяAT C (w, q) будет иметь U-образную форму.Поведение кривой AT C для строго вогнутой по x1 функции f (x1 ; x2 ) и f (0; x2 ) = 0 предлагаем читателю рассмотреть самостоятельно.• Если f (x1 , x2 ) строго выпукла по x1 (возрастающая отдачана переменный фактор) для любого x1 и f (0, x2 ) = 0, тоAT C (w, q) является убывающей функцией, как сумма двухубывающих функций.2.4. Решения задач189Если f (x1 , x2 ) строго выпукла по x1 (возрастающая отдача на переменный фактор) для любого x1 и f (0, x2 ) > 0,то невозможно сделать однозначный вывод о поведениикривойAT C (w, q), и зависит непосредственно от конкретной функциональной зависимости, характеризующей технологический процесс.2.40.
(а) Поскольку в краткосрочном периоде для двухфакторной технологии условный спрос на переменный фактор определяется однозначно объемом выпускаемой продукции и объемомзафиксированного фактора, имеем:для завода А: q 2A, LA (10) = 25,KA = 4, LA (qA ) =2q2ST CA (qA ) = A + 16, ST CA (10) = 41;4для завода В:0,qB 2,LB (10) = 64,LB (qB ) =(qB − 2)2 , qB > 2,16,qB 2,ST CB (10) = 80.ST CB (qB ) =(qB − 2)2 + 16, qB > 2,KB = 4,(б) Неверно. Если бы весь объем, составляющий 10 ед.
продукции, был выпущен на заводе А, то издержки фирмы составили бы 57. Приведем пример, когда фирма может снизитьиздержки, по сравнению с указанным в п. (б) распределениемвыпусков: пусть на заводе А будет выпущено 8 ед. продукции,а на заводе В будет выпущено 2 ед., тогда издержки на заводе Асоставят 32, на заводе В — 16. Совокупные издержки фирмыв этом случае снизились на 11. Таким образом, нерациональновыпускать все 10 ед. продукции на заводе А.2.42.
(а) Поскольку альтернативные издержки использования помещения равны нулю, а любые формы оплаты использования этого помещения отсутствуют, все затраты фирмы на производство являются переменными. При данных затратах фирмабудет максимизировать прибыль, если сможет выпускать максимально возможный выпуск. Поэтому объем производства будет190Гл. 2. Теория поведения производителяявляться решением следующей задачи, где учтено, что объемпомещения фиксирован и равен 1:LR → max ,L,R0wL + qR = 32,для которой возможно только внутреннее решение, которое будет определяться условиями первого порядка, необходимыми идостаточными (предлагаем читателям убедиться в этом самостоятельно): R) = w/q,MRT SLR (L, + qR = 32,wL R) = (8, 8) и объем выпускаемой глины y = 8.
Покаоткуда (L,жем выбор фирмы рис. 2.12.Рис. 2.12. Выбор фирмы(б) Уравнения изокост:wL + qR = const, R < 8,4wL + qR = const, R 8.Представим их на рис. 2.13.(в) Выбор фирмы после изменения цен является решениемзадачи:⎧⎧⎨ wL + qR → min,⎪⎪⎨R8⎩ 4wL + qR → min,R>8⎪⎪⎩√LR = 8.2.4. Решения задач191Рис.
2.13. Изокосты фирмыЛегко убедиться, что условие касания изокосты и изоквантыне является решением поставленной задачи из-за отсутствиянепрерывности в изокостах. В точке (L∗ , R∗ ) = (4, 16), где изокоста касается изокванты, издержки фирмы равны 64, в то времякак увеличение использование труда на малую величину и снижение использование сырья на малую величину при сохранениивыпуска неизменным лишь незначительно увеличат издержкифирмы по сравнению с исходной ситуацией. Минимум затратв этом случае недостижим в силу отсутствия непрерывности и«скачка» значения издержек при использовании сырья в объеме8 ед.
Проиллюстрируем это на рис. 2.14.2.43. (а) Представим сначала графическое решение поставленной задачи. Для этого изобразим три графика (рис. 2.15),совмещенных горизонтально, где по горизонтали будет отложен объем выпускаемой продукции (на первом, втором заводахи совокупный выпуск соответственно), а по вертикальной осиотложим величины предельных издержек. На первом и второмграфиках изобразим кривые предельных издержек каждого иззаводов (в данном случае они представлены прямыми линиями всилу вида функции переменных издержек), а на третьем графикеизобразим кривую, соответствующую «горизонтальной сумме»кривых предельных издержек производства в городах А и В.Поскольку при положительных объемах выпуска в обоих городах192Гл.
2. Теория поведения производителяРис. 2.14. Выбор фирмы после изменения ценРис. 2.15. Распределение выпуска фирмы между заводами (а — первого, б — второго, в — совокупный выпуск)выпуск будет распределен таким образом, чтобы предельныеиздержки производства этих объемов были равны, то графически на кривой «горизонтальной суммы» предельных издержекмы находим точку, соответствующую желаемому совокупномуобъему выпускаемой продукции. Проведя от нее горизонтальнуюпрямую влево до пересечения с графиками функций предельных издержек каждого города, мы находим объемы выпускаемойпродукции в этих городах.
Таким образом, следуя приведенному примеру графического построения, можно увидеть, что ес-2.4. Решения задач193ли желаемый совокупный объем выпуска фирмы составляет y,то в первом городе объем выпуска составит yA , а во второмгороде yB . При этом при данных объемах выпуска предельныеиздержки производства в городах будут равны, следовательно,в силу возрастания предельных издержек любое перераспределение выпусков приведет лишь к повышению совокупных издержекфирмы.Используя графики, можно заметить, что в силу соотношениймежду параметрами α и β доля совокупного выпуска в городе Вбудет выше, чем доля совокупного выпуска в городе А.Теперь найдем распределение совокупного объема выпускаемой продукции между городами А и В и функцию совокупныхиздержек фирмы аналитически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
