Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Верно. Подсказка: рассмотрите три набора, соответствующие точке пересечения кривыхбезразличия и двум точкам на различных кривых безразличия.1.21. Неверно. Рисунок 1.68 демонстрирует контрпример. 1.22.(б) x y ⇔ x1 y1 , где x1 , y1 — количество яблок в наборах xи y соответственно. (в) Предпочтения полны: всегда наиболеепредпочтителен набор с наибольшим количеством яблок, а есликоличество яблок одинаково, то наборы эквивалентны и при этомне важно какое количество других фруктов.
(г) Предпочтения1.9. Ответы и подсказки139Рис. 1.67. Пример типичных кривых безразличия для строго монотонных, невыпуклых предпочтений (а) и типичных кривых безразличиядля выпуклых, немонотонных предпочтений (б)Рис. 1.68. Пример кривой безразличия для невыпуклых предпочтенийявляются транзитивными. 1.23. (б) x y ⇔ x1 y1 , x2 y2 , гдеxi и yi — координаты наборов x и y соответственно.
(в) Предпочтения не являются полными, что можно продемонстрироватьконтрпримером. (г) Предпочтения являются транзитивными.1.24. (а) Кривые безразличия — прямые с наклоном равным −1.(в) Предпочтения являются выпуклыми. (г) Пример функцииполезности: u(x1 , x2 ) = x1 + x2 . (д) Уравнение кривой безразличия, проходящей через набор (1, 8): x2 = 9 − x1 . 1.25. (а) Тренерпредпочтет игрока A игроку B.
(б) Тренер предпочтет игрока Bигроку C. (в) Тренер предпочтет игрока C игроку A. (г) Поскольку все спортсмены сравнимы, то предпочтения являются полными. (д) Предпочтения не являются транзитивными. (е) Новыепредпочтения не являются полными. Поскольку если, например,один спортсмен превосходит другого по двум характеристикам,но уступает по третьей, то тренер не может выбрать между двумя140Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностиэтими спортсменами. (ж) Новые предпочтения тренера транзитивны.
1.26. Подсказка: полнота предпочтений не влечет ихтранзитивность, так же, как и отсутствие полноты предпочтенийне влечет отсутствие их транзитивности. 1.27. (а) Предпочтения не являются монотонными, являются выпуклыми. (б) Предпочтения не являются монотонными, не являются выпуклыми. (в) Предпочтения являются монотонными, не являютсявыпуклыми. 1.28. (а) (3, 10) (2, 4) (8, 4) (2, 16), причем последние три набора эквивалентны. (б) Верно. Подсказка: воспользуйтесь определением строгой выпуклости предпочтений.
(в) (3, 9) (2, 8) (1, 5). Не достаточно информации о свойствах предпочтений, чтобы сравнить набор (4, 3)с любым из оставшихся. (г) Подсказка: воспользовавшисьвыпуклостью предпочтений, например, можно показать, что(4, 5) (2, 11) ∼ (5, 2), а затем воспользоваться строгой монотонностью предпочтений. 1.29. (а) Неверно. Контрпример:«толстые» кривые безразличия. (б) Верно.
Подсказка: воспользуйтесь определениями гомотетичности предпочтений и функцииполезности. (в) Не может. Подсказка: воспользуйтесь определением строгой монотонности предпочтений и определением функции полезности. 1.30. (а) Пусть x1 — это количество порцийсуши, x2 — количество порций куриных крылышек (в неделю).1) Для данного индивида суши и куриные крылышки являются взаимозаменяемыми благами (совершенными субститутами) с пропорцией замещения один к одному: индивид готовобменять одну порцию куриных крылышек на одну порцию суши. Таким образом, семейство кривых безразличия описываетсяуравнениями вида x1 + x2 = k. 2) Для данного индивида сушии куриные крылышки взаимодополняющие блага (совершенныекомплементы) с пропорцией замещения один к двум: индивидс каждой порцией крылышек потребляет две порции суши. Таким образом, семейство кривых безразличия описывается уравнениями вида min{x1 /2, x2 } = k.
3) Поскольку единственное,что приносит удовлетворение данному индивиду — это куриныекрылышки, то кривые безразличия в пространстве (x1 , x2 ) —горизонтальные линии, т. е. семейство кривых безразличия описывается уравнениями вида x2 = k. 4) Для данного индивидаточка (20, 15) является точкой насыщения. Кривые безразличия — окружности с центром в точке (20, 15): чем дальшеокружность от центра, тем менее предпочтительны лежащие на1.9. Ответы и подсказки141ней наборы.
Семейство кривых безразличия описывается уравнениями вида −(x1 − 20)2 − (x2 − 15)2 = k. (б) 1) Предпочтенияудовлетворяют свойствам: монотонности, строгой монотонности,выпуклости. Предпочтения не удовлетворяют свойству строгойвыпуклости. 2) Предпочтения удовлетворяют свойствам: монотонности, выпуклости. Предпочтения не удовлетворяют свойствам строгой монотонности, строгой выпуклости. 3) Предпочтения удовлетворяют свойствам: монотонности, выпуклости.Предпочтения не удовлетворяют свойствам строгой монотонности и строгой выпуклости. 4) Предпочтения удовлетворяютсвойствам выпуклости и строгой выпуклости.
Предпочтения неудовлетворяют свойствам монотонности и строгой монотонности. (в) Примеры функций полезности. 1) u(x1 , x2 ) = x1 + x2 ;2) u(x1 , x2 ) = min{x1 /2, x2 )}; 3) u(x1 , x2 ) = x2 ; 4) u(x1 , x2 ) == −(x1 − 20)2 − (x2 − 15)2 . 1.31. Предпочтения не являются выпуклыми. 1.32. (а) Уравнение кривой безразличия: 64 = (x1 x2 )2или x2 = 8/x1 . Кривая безразличия — гипербола.
(б) Уравнение кривой безразличия, соответствующей уровню полезности, равному 100: 100 = (x1 x2 )2 или x2 = 10/x1 . Даннаякривая безразличия расположена дальше от начала координат, чем полученная в п. (а). (в) MRS12 = −dx2 /dx1 = x2 /x1 ,MRS12 (2, 4) = 4/2 = 2, MRS12 (4, 2) = 2/4 = 1/2. Кривые безразличия демонстрируют убывание предельной нормы замещения, т. е. чем больше у потребителя первого блага, тем ниженорма, по которой он готов заместить второе благо первым.(г) 1) (а) 2x1 + x2 = 10, кривая безразличия — отрезок прямойс отрицательным наклоном; (б) 2x1 + x2 = 100 — отрезок прямойс отрицательным наклоном, расположенный дальше от начала координат, чем в п.
(а); (в) MRS12 (2, 4) = MRS12(4, 2) = 2.√2) (а) 2 x1 + x2 = 6, график квадратного корня с отрицательным знаком смещенный вдоль оси ординат на величину полезно√√√MRS12 (2, 4) = 1/( x1 ) = 1/( 2 ),сти; (б) 2 x1 + x2 = 100; (в) √√MRS12 (4, 2) = 1/( x1 ) = 1/( 4 ) = 1/2. Предельная норма замещения в каждой точке зависит только от количества первого блага. 3) Кривая безразличия и предельная норма замещения совпадают с вычисленными в пп. (а), (в), поскольку заданная функция представляет собой положительное монотонное преобразование исходной функции; (б) x2 = exp{100}/x1 .1.33. (а) Предпочтения полные.
Для любого набора можно вычислить разницу между удвоенной второй координатой и квад-142Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностиратом первой. Из двух наборов, тот набор, для которого этаразница окажется больше, является более предпочтительным.Если вычисленные разницы одинаковы, то наборы эквиваленты. (б) Предпочтения транзитивные. (в) Функция полезностиu(x1 , x2 ) = 2x2 − (x1 )2 . (г) 2x2 − (x1 )2 = −2.
(д) Подсказка: длятого, чтобы изобразить кривую безразличия, удобно записатьуравнение кривой в виде x2 = (x1 )2 /2 − 1. (е) Предпочтенияне являются строго монотонными. (ж) Предпочтения удовлетворяют свойству выпуклости. 1.34. (а) Информации достаточно: z ∼ y x. (б) Предпочтения не являются монотонными.(в) Совпадут с кривой безразличия, которой принадлежит набор y. 1.35. (а) Предпочтения удовлетворяют свойствам полноты, транзитивности. (в) Предпочтения монотонны и не являются выпуклыми. 1.36. (а) В пространстве товаров, где пооси абсцисс откладывается количество первого блага, а по осиординат — количество второго блага, кривые безразличия представляют собой прямые с положительным наклоном, причем наиболее предпочитаемым наборам соответствуют кривые безразличия, пересекающие ось ординат дальше от начала координат.Другими словами, предпочтения могут быть описаны, например, так: x y тогда и только тогда, когда x2 − x1 y2 − y1 .(б) Предпочтения не являются монотонными.
1.37. (а) Рис.1.69демонстрирует ответ на п. (а). (б) Три грамма картошки готовбудет обменять на один грамм майонеза. (в) Предпочтения полны, транзитивны, строго монотонны, выпуклы, но не являются строго выпуклыми. 1.38. Оба ответа неверны. Подсказка:рассмотрите такой набор комплементарных товаров, для которо-Рис. 1.69. Кривые безразличия для агента с предпочтениями видаu(x1 , x2 ) = min{2x1 + x2 , x1 + 3x2 }1.9. Ответы и подсказки143го увеличение потребления одного из товаров может привестик росту благосостояния. 1.39.
Подсказка: используйте определение предельной нормы замещения и правило взятия полного дифференциала функции многих переменных, учитывая, чтовдоль любой кривой безразличия значение функции полезности не меняется. 1.40. Подсказка: найдите MRSxy . Обратитевнимание, что значение предельной нормы замещения товаровзависит от объема товаров в любом данном наборе.
1.41. Пустьпредпочтения потребителя представимы функцией полезности(x) = g(u(x)),u(x), т. е. x y ⇔ u(x) u(y) ∀x, y ∈ R+ . Пусть uгде g(·) — непрерывная строго возрастающая функция. Тогдаx y ⇔ u(x) u(y) ⇔ g(u(x)) g(u(y)) ⇔ u(x) u(y), т. е.функция полезности u(x), представляющая собой положительное монотонное преобразование функции u(x), описывает теже предпочтения. 1.42. Неверно. Подсказка: рассмотрите строго выпуклые предпочтения, где оба товара являются антиблагами.
1.43. (а) Положение улучшится. (б) Положение ухудшится. (в) Изменятся. 1.44. Да. Подсказка: функция полезности возрастает хотя бы по одному аргументу. 1.45. (а) Верно. Подсказка: воспользуйтесь доказательством от противного. (б) Неверно. Подсказка: в качестве контрпримера рассмотрите предпочтения с «толстыми» кривыми безразличия. 1.46.Неверно, наборы сравнить нельзя. Необходимо привести контрпример.
1.47. (а) Подсказка: изобразите кривую безразличияпотребителя, проходящую через точку x = (x1 , x2 ), укажитенаправление роста полезности и воспользуйтесь определениембюджетной линии. (б) Утверждение неверно. 1.48. Утверждениеневерно.Подсказка:рассмотритеслучайсовершенныхсубститутов.1.50. Нерационально. Увеличив потребление первого товара на бесконечномалую величину, потребитель улучшитсвое положение. 1.51.
(а) Подсказка:x), сравните с отношенайдите MRS12(нием рыночных цен, используйте бесконечно малые изменения в потреблении.Рис. 1.70. Контрпри(б) Неверно. Подсказка: рассмотритемер к задаче 1.52набор, в котором не потребляетсяодин из товаров. 1.52. Неверно. Рисунок 1.70 демонстрируетконтрпример, где изображена типичная кривая безразличия144Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностипредпочтений агента, предпочтения которого являются строгомонотонными, но не являются выпуклыми. 1.53. Подсказка:возьмите любую точку в бюджетном множестве и проведите через нее кривую безразличия. Определите, будет ли данная точкаоптимальной. 1.54. 120.
1.55. u(x1 , x2 ) = x1 + x2 , p1 = 2 p2 , t —потоварный налог на первое благо, доходпотребителя, любая по2 ) = (1000, 500). 1.57. y = 4.ложительная величина. 1.56. (x1 , x1.58. (а) Функция u(x1 , x2 ) = (u(x1 , x2 ))2 не представляет теже предпочтения, что и заданная функция в условии. Например,для потребителя, предпочтения которого представимы функциейполезности u(x1 , x2 ) = −(x1 − 2)2 − (x2 − 3)2 , набор (2, 3) предпочтительней набора (1, 3), тогда как для потребителя, функция2полезности которого u(x1 , x2 ) = − (x1 − 2)2 − (x2 − 3)2 ,наоборот, набор (1, 3) предпочтительней набора (2, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
