Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Построение кривой цена–потребление для агента с функцией полезности u(x1 , x2 ) = (x1 )2 + (x2 )2• Построение кривых доход–потребление и кривой Энгеляпредставлены на рис. 1.33. При этом рассмотрены лишь те случаи, когда потребление первого товара положительное.1.73. (а) Для того чтобы найти доходы правительства отналогообложения товара y, необходимо найти количество блага y, на которое предъявляет спрос данный потребитель приналогообложении.
Для этого решим задачу потребителя:xy → max ,x,y0px x + (py + t)y m,1.8. Решения задач97Рис. 1.33. Построение кривой доход–потребление и кривой Энгеля дляагента с функцией полезности u(x1 , x2 ) = (x1 )2 + (x2 )2где m — доход потребителя, а t — величина потоварного налога.Или для данного агента:xy → max ,x,y025 x + 40 y 600.Предпочтения данного потребителя представимы функциейполезности вида Кобба–Дугласа (u(x, y) = xα y β ), где α = β = 1.Поэтому мы можем воспользоваться известной функцией спросана каждое благо:αmβmи y (px , py , m) =.x (px , py , m) =(α + β) px(α + β) pyНайдем выбор потребителя при данных ценах и уровне дохода:x∗ = 12,y ∗ = 7,5.Таким образом, доход правительства от налогообложения составит T = ty ∗ , или в данном случае T = 30 д.
е.98Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенности(б) Если правительство заменит потоварный налог на товар yпаушальным налогом, это сократит располагаемый доход потребителя на величину T. Так как необходимо найти наибольшийпаушальный налог, который позволил бы потребителю остатьсяна том же уровне благосостояния, то необходимо найти минимальный доход, позволяющий достичь прежнего уровня благосостояния. Следовательно, необходимо решить следующую задачупотребителя:25 x + 36 y → min ,px x + py y → min ,x,y0x,y0⇒(*)∗∗u (x, y) = u (x , y ) ,xy = u (x∗, y ∗ ) = 90.Решим поставленную задачу графически на рис. 1.34, зная,как ведут себя кривые безразличия для предпочтений видаКобба–Дугласа.Угловое решение задачи (*) не существует, так как любой набор, не содержащий какого-либо блага, дает потребителю нулевую полезность в силу вида его функции полезности.
Агенту же необходимо достичь уровня благосостоянияu(x∗, y ∗ ) = x∗ y ∗ = 90. Так как кривые безразличия — гладкие,без изломов, то бюджетная линия агента при взимании наибольшего паушального налога должна коснуться данной кривой безразличия, иначе была бы возможность снизить доходпотребителя за счет большей суммы паушального налога.
Поэтому в новой точке оптимума (x, y) необходимо выполнениеусловия касания кривой безразличия и бюджетной линии, т. е.x, y) = px /py , или y/x = 25/36. Кроме того, набор (x, y)MRSx,y (Рис. 1.34. Замена потоварного налога паушальным налогом без изменения благосостояния потребителя1.8. Решения задач99∗ ∗должен лежать на кривой безразличияx, y) = x y = x y = 90. √ u(√Таким образом, имеем: (x, y) = 18 10 /5, 5 10 /2 . Тогда величину необходимого паушального налога найдем из уравнения бюджетной линии: 25 x + 36 y = 600 − T, откуда имеемT ≈ 30,8 д.
е.Заметим, что при такой замене потоварного налога паушальным налогом, при которой благосостояние потребителя осталосьбы на прежнем уровне, потребление товара y возрастает (y > y ∗ ).(в) Сравним доходы правительства, получаемые при различных схемах налогообложения, описанных выше: T > T . Такимобразом, если бы правительство заменило потоварный налог натовар y паушальным налогом, который позволил бы данномупотребителю остаться на прежнем уровне благосостояния, тодоход правительства возрос бы.Объясним полученный результат. Сначала выпишем уравнения бюджетных линий потребителя в обоих случаях налогообложения:px x + (py + t)y = m,px x + py y = m − T.В случае нейтральной к госбюджету замены (ty ∗ = T ) набор (x∗, y ∗ ) будет удовлетворять обоим бюджетным ограничениям.
Следовательно, обе бюджетные линии пройдут через точку(x∗, y ∗ ), но с различными наклонами. Изобразим графически указанную ситуацию на рис. 1.35.Рис. 1.35. Сравнение доходов правительства от потоварного и паушального налогообложения100Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностиЗаметим, что в точке (x∗, y ∗ ) наклон кривой безразличия равен наклону бюджетной линии при потоварном налоге MRSxy (x∗ , y ∗ ) = px /(py + t) .
А наклон бюджетной линиипри паушальном налогообложении равен (по абсолютной величине) px /py . Следовательно, наклон кривой безразличия в точке(x∗, y ∗ ) отличен от наклона бюджетной линии при паушальномналогообложении в случае нейтральной к госбюджету замены.Значит, есть возможность снизить доход потребителя такимобразом, чтобы он остался на том же уровне благосостояния.Покажем это. В точке (x∗, y ∗ ) потребитель готов был отказатьсяот ε ед.
товара x (ε > 0, ε — бесконечно малое) ради увеличениятовара y на px ε/(py + t). Найдем стоимость наборапотребленияx∗ − ε, y ∗ + px ε/(py + t) при паушальном налогообложении: ppx ε y= m + ε px− 1 < m.px (x∗ − ε) + py y ∗ +py + tpy + tТаким образом, чтобы достичь уровня благосостояния, соответствующего потоварному налогообложению, можно сократитьдоход потребителя в случае паушального налога на величинубо́льшую, чем доход правительства при потоварном налоге.(г) Исследуем, будет ли результат п. (в) справедлив при любых предпочтениях потребителя.Заметим, что величина максимального паушального налогане может быть меньше, чем доходы правительства от потоварногоналога, поскольку всегда можно установить T = ty ∗, оставивпотребителя на том же уровне благосостояния.Если предпочтения потребителя таковы, что кривые безразличия гладкие, без изломов, и выбор потребителя при потоварном налоге внутренний, то всегда будет иметь место тот жерезультат, который был получен в предыдущем пункте, а именно:T > T = ty ∗.Приведем примеры, когда будет иметь место результат, отличный от полученного в п.
(в). Если предпочтения агента таковы,что кривые безразличия имеют излом или потребитель в случаепотоварного налога отказался от потребления товара, которыйне облагается налогом, то максимальный паушальный налог,который позволил бы потребителю остаться на прежнем уровнеблагосостояния, был бы в точности равен доходу правительстваот данного потребителя при потоварном налоге.Продемонстрируем сказанное выше графически на рис. 1.36.1.8. Решения задач101Рис.
1.36. Примеры предпочтений агентов, при которых доходы правительства от потоварного и паушального налогообложения при сохранении уровня благосостояния совпадают1.83. Из условия следует, что pti = 6 pbi и mt = 4mb , где— цена блага i в текущем периоде, pbi — цена блага i в базисном периоде, mt — доход потребителя в текущем периоде,mb — доход потребителя в базисном периоде. Уравнение бюджетной линии в текущий период pt1 x1 + pt2 x2 = mt . Выразивцены и доход текущего периода через, соответственно, ценыи доход базисного периода, получим 6 pb1 x1 + 6 pb2 x2 = 4mb . Разделим левую и правую часть полученного тождества на шесть:pb1 x1 + pb2 x2 = 2mb /3, тогда как уравнение бюджетной линиив базисный период pb1 x1 + pb2 x2 = mb . Следовательно, бюджетноемножество текущего периода содержится в бюджетном множестве базисного периода, а это означает, что в базисный периодблагосостояние не меньше, чем в текущем.pti102Гл.
1. Теория поведения потребителя в условиях определенности1.90. Приведенные далее рассужения справедливы для случая n товаров в экономике, а графические иллюстрации приведены для случая двух товаров. По условию, m1 /m0 = 1,5 m0 /m0 == 3/2, где m0 — доход потребителя в базисном периоде, а m1 —доход потребителя в текущем периоде.(а) Lp > 3/2 и Pp < 3/2.Если Lp = (p1 x0 )/(p0 x0 ) > 3/2, то отсюда следует, что p1 x0 >> 1,5 p0 x0 = 1,5 m0 = p1 x1 = m1 .
То есть набор x0 недоступенпотребителю в текущем периоде, и, соответственно, мы не можемсравнить наборы на основе данной информации.Если Pp = (p1 x1 )/(p0 x1 ) < 3/2, то отсюда следует, что p0 x1 >> p0 x0 = m0 . То есть набор x1 был недоступен потребителюв базисном периоде, и, соответственно, мы не можем сравнитьнаборы на основе данной информации.Такая ситуация возможна. Сравнить наборы в этом случае мыне можем, следовательно, не можем сделать однозначный выводо том, как изменилось благосостояние потребителя. Оно могловозрасти, снизиться и не измениться.Проиллюстрируем на рис. 1.37 данный результат для двухтоварной экономики, где обозначено 0 — бюджетная линияв базисном периоде, 1 — бюджетная линия в текущем периоде.Рис.
1.37. Оценка благосостояния потребителя при Lp >3/2 и Pp <3/2(б) Lp < 3/2 и Pp > 3/2.Если Lp = (p1 x0 )/(p0 x0 ) < 3/2, отсюда следует, что p1 x0 < m.То есть набор x0 доступен потребителю в текущем периоде, однако в этом периоде потребитель выбрал набор x1 = x0 (мы знаем,1.8. Решения задач103что это разные наборы, поскольку различаются расходы на ихприобретение при одинаковых ценах).
Следовательно, набор x1(прямо выявлено) предпочитается набору x0 .Если Pp = (p1 x1 )/(p0 x1 ) > 3/2, отсюда следует, что p0 x1 < m0 .То есть набор x1 был доступен потребителю в ценах базисногопериода, однако был выбран наборx0 = x1 (мы знаем, что это разныенаборы, поскольку различаются расходы на их приобретение при одинаковых ценах). Следовательно, наборx0 (прямо выявлено) предпочитаетсянабору x1 .Приходим к противоречию. Еслипотребитель ведет себя рационально,то такая ситуация невозможна.Проиллюстрируем данный резуль- Рис. 1.38. Анализ потретат на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
