Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть потребительувеличивает потребление первого блага на ε (ε > 0). Тогда ему82Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностинеобходимо отказаться от (p1 /p2 ) ε ед. второго блага (в этомслучае потребитель тратит свой доход полностью). Найдем уровеньблагосостоянияпотребителя в точке x = (0, m/p2 ) и в точкеm − p1 εx = ε,после указанного выше перераспределения доp2хода√m − p1 εmи u (x) = 4 ε +.u (x) =p2p2Заметим, что всегда при любых положительных ценах товаровx). Следовательнайдется ε < 16 (p2 /p1 )2 , при котором u (x) > u (но, при данных предпочтениях агент всегда (при p1 > 0, p2 > 0)может перераспределить свой доход таким образом, чтобы повысить свое благосостояние, если он находится в точке, где уровеньпотребления первого блага равен нулю.Заметим также, что поскольку предпочтения агента строгомонотонны, то при нулевой цене какого-либо из благ задачапотребителя не имеет решения (максимум полезности при бюджетном ограничении в этом случае недостижим).Найдем теперь, при каких условиях на цены и доход потребителя его оптимальный набор не будет содержать второе благо.Эта ситуация будет возможна, если предельная норма замещениявторого товара первым в точке x = (m/p1 , 0) окажется больше,чем отношение цен товаров (p1 /p2 ).
В этом случае у потребителянет ресурсов (отсутствует второе благо) для перераспределениядохода таким образом, чтобы можно было повысить его благосостояние. Либо оптимальный набор в точке x = (m/p1 , 0) будетвозможен, если MRS1,2 (x) = p1 /p2 . Поэтому имеемx1 = m/p1 ,p1если MRS1,2 (x) ,p2x2 = 0,т. е. 2m/p1p1, или p1 4 (p2 )2 /m.p22. Таким образом, если p1 > 4 (p2 )2 /m, то оптимальный наборпотребителя может быть только внутренним.
В этом случае условие MRS12 (x∗ ) = p1 /p2 является необходимым и достаточнымв силу строгой выпуклости предпочтений. Поэтому имеем ∗2/ x1 = p1 /p2 ,p1 x∗1 + p2 x∗2 = m,1.8. Решения задач83если p1 > 4 (p2 )2 /m, откуда получаемx∗1 = 4 (p2 /p1 )2 ,x∗2 = m/p2 − 4 p2 /p1 .Итак, учитывая все ограничения на цены и доход потребителя,выпишем функции спроса на первое и второе благо для данногопотребителя:m/p1 ,p1 4 (p2 )2 /m,x1 (p1 , p2 , m) =4 (p2 /p1 )2 , p1 > 4 (p2 )2 /m,иx2 (p1 , p2 , m) =0,p1 4 (p2 )2 /m,m/p2 − 4 p2 /p1 , p1 > 4 (p2 )2 /m.(г) Кривая доход–потребление представляет собой совокупность точек в координатах товаров, являющихся оптимальнымнабором потребителя при неизменных ценах на все товары и различных уровнях дохода потребителя.
Кривая Энгеля представляет собой совокупность точек на плоскости в координатах товар–доход, являющихся оптимальным уровнем потребления данного товара при неизменных ценах на все товары и различныхуровнях дохода потребителя. Найденные выше функции спросана первое и второе благо помогут построить нам указанныекривые.Заметим, что при относительно низком доходе, m 4 (p2 )2 /p1 , второй товар не потребляется при любых положительных ценах благ. При доходе m > 4 (p2 )2 /p1 агент неменяет потребление первого блага с ростом дохода (спрос егона первое благо в этом случае не зависит от уровня дохода).Предпочтения данного потребителя квазилинейные, поэтомукривые безразличия являются точной копией друг друга сосдвигом по вертикальной оси.
Наклон любой кривой безразличияпри любом значении x2 и некотором значении x1 одинакови определяется только значением координаты x1 (вспомним,√что MRS12 = 2/ x1 ). Поэтому при неизменных ценах и ростедохода, начиная с некоторого уровня дохода m 4 (p2 )2 /p1 ,любая кривая безразличия будет касаться бюджетной линии(т. е. иметь с ней одинаковый наклон) в точке, где x1 = 4 (p2 /p1 )2 .84Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностиЗаметим, что до некоторого уровня дохода спрос потребителяна первое благо пропорционален доходу, следовательно, спрос напервое благо растет с ростом дохода при неизменных ценах натовары. Значит, до некоторого уровня дохода при неизменныхценах (m < 4 (p2 )2 /p1 ) первый товар ведет себя, как нормальноеблаго. Второй товар при этом уровне дохода ведет себя, какнейтральный к доходу, поскольку при этом уровне дохода спросна него равен нулю, т.
е. не изменяется. Но, начиная с некоторогоуровня дохода при неизменных ценах (m 4 (p2 )2 /p1 ), спросданного потребителя на первый товар не зависит от уровня дохода. Значит, первый товар при этом уровне дохода ведет себя, какнейтральное к доходу благо. Второй же товар при этом уровнедохода ведет себя, как нормальный товар, поскольку спрос нанего растет с ростом дохода потребителя.Рис. 1.24. Кривая доход–потребление и кривая Энгеля для квазилинейных предпочтенийНа рис.
1.24 представлены кривая доход–потребление и кривая Энгеля для данного потребителя.1.67. (а) (i) Для нахождения функции спроса необходиморешить задачу потребителя:α1 x1 + α2 x2 → max ,x1 ,x2 0p1 x1 + p2 x2 m.Поскольку полезность потребителя возрастает по каждому аргументу, то потребитель выберет набор, на который полностьюпотратит свой доход.1.8. Решения задач85Следует также заметить, что при нулевой цене хотя бы одноготовара объем спроса данного агента на этот товар неограниченно возрастает, вследствие чего задача потребителя решения неимеет. Поэтому искать функцию спроса мы будем только приположительных ценах обоих благ.Товары являются совершенными субститутами для данногопотребителя, так как предельная норма замещения товаров постоянна, MRS12 (x) = α1 /α2 = const.
Если субъективная оценкапотребителя первого товара окажется выше рыночной оценки,то он откажется от потребления второго товара, потратив весьсвой доход на первое благо. Если субъективная оценка потребителя первого товара окажется ниже рыночной оценки, то оноткажется от потребления первого товара, потратив весь доходна второе благо. Если субъективная оценка потребителя первоготовара окажется такой же, как и рыночная оценка, то ему будетбезразлично, как именно распределить свой доход между товарами.Таким образом:mx1 (p1 , p2 , m) = ,p1α1p1p1> , тоесли MRS12 (x) > , т. е.p2α2p2x2 (p1 , p2 , m) = 0;x1 (p1 , p2 , m) = 0,p1α1p1m< , тоесли MRS12 (x) < , т.
е.x2 (p1 , p2 , m) = ;p2α2p2p2если же MRS12 (x) =p1αp, т. е. 1 = 1 , тогда потребитель выберетp2α2p2любой набор, удовлетворяющий уравнению бюджетной линииp1 x1 + p2 x2 = m.Итак, функция спроса для данного потребителя имеет вид:⎧⎧m p1αp1α⎪⎪< 1,< 1,⎨ ,⎨ 0,p1 p2α2p2α2x2 (p1 , p2 , m) =x1 (p1 , p2 , m) =p1α1m p1α⎪⎪⎩ 0,⎩ ,> ,> 1;p2если жеα2p2p2α2p1α= 1 , то любые наборы (x1 , x2 ), удовлетворяющиеp2α2уравнению бюджетной линии p1 x1 + p2 x2 = m, являются решением задачи потребителя.Графическое решение задачи потребителя представлено нарис. 1.25.86Гл. 1.
Теория поведения потребителя в условиях определенностиРис. 1.25. Изображение выбора потребителя с функцией полезностивида u(x1 , x2 ) = α1 x1 + α2 x2(ii) Охарактеризуем каждый товар с точки зрения реакциина изменение дохода и изменение цен.• Первый товар ведет себя как нормальное благо, еслиp1 /p2 < α1 /α2 , поскольку ∂x1 (p, m)/∂m = 1/p1 > 0 и ведет себякак нейтральное к доходу благо, если p1 /p2 > α1 /α2 , поскольку∂x1 (p, m)/∂m = 0.Второй товар ведет себя как нормальное благо, если p1 /p2 >> α1 /α2 , поскольку ∂x2 (p, m)/∂m = 1/p2 > 0, и ведет себя какнейтральное к доходу благо, если p1 /p2 < α1 /α2 , поскольку∂x2 (p, m)/∂m = 0.При p1 /p2 = α1 /α2 и x1 > 0, x2 > 0 выбор потребителя неоднозначен, поэтому нельзя охарактеризовать товары с точки зрения изменения спроса на изменение дохода.Таким образом, ни один из товаров не является ни нормальным, ни нейтральным к доходу товаром, так как не демонстрирует одинаковой реакции на изменение дохода потребителя прилюбых ценах и доходах.• Первый товар ведет себя как обычное благо при p1 /p2 << α1 /α2 , поскольку ∂x1 (p, m)/∂p1 = −m/(p1 )2 < 0.1.8.
Решения задач87Второй товар ведет себя как обычное благо при p1 /p2 >> α1 /α2 , поскольку ∂x2 (p, m)/∂p2 = −m/(p2 )2 < 0.В тех случаях, когда первое или второе благо не потребляется, нет смысла говорить о том, как спрос на него изменяется приизменении его цены.При p1 /p2 = α1 /α2 и x1 > 0, x2 > 0 выбор потребителя неоднозначен, поэтому нельзя охарактеризовать товары с точки зрения изменения спроса на изменение своей цены.• Если повышение цены первого товара приводит к увеличению спроса на второй товар, то второй товар является (валовым)заменителем (субститутом) первого товара для данного потребителя. Поскольку ∂x1 (p1 , p2 , m)/∂p2 = 0 при p1 /p2 < α1 /α2 , тов соответствии с определением (валового) заменителя первыйтовар не является (валовым) заменителем второго. Аналогично,поскольку ∂x2 (p1 , p2 , m)/∂p1 = 0 при p1 /p2 > α1 /α2 , то второйтовар не является (валовым) заменителем первого.(iii) Используя функции спроса, полученные ранее, изобразим кривые цена–потребление (для изменения цены первого товара), доход–потребление и Энгеля.• Для данного вида предпочтений при изменении цены первого товара при p1 /p2 > α1 /α2 потребитель не будет потреблятьпервое благо, расходуя весь свой доход только на второй товар.При p1 /p2 = α1 /α2 любой набор, лежащий на бюджетной линии,является наилучшим для данного агента.
При p1 /p2 < α1 /α2потребитель будет тратить весь свой доход только на первыйтовар, причем спрос на него будет расти при снижении ценыэтого блага. Рисунок 1.26 демонстрирует построение кривойцена–потребление.Рис. 1.26. Построение кривой цена–потребление для потребителяс функцией полезности u(x1 , x2 ) = α1 x1 + α2 x288Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенности• Кривая доход–потребление является геометрическим местом точек в пространстве товаров, являющихся выбором потребителя при неизменных ценах товаров и различных уровняхдохода. Кривая Энгеля представляет зависимость в пространстведоход–потребление количества потребляемого товара от доходаагента при неизменных ценах на товары.Если при некоторых ценах данный агент не предъявляетспрос на один из товаров, то изменение дохода агента при фиксированных ценах не изменит объем потребления этого товара.Если цены благ фиксированы на таком уровне, что наклоныкривой безразличия и бюджетной линии совпадают, то выборпотребителя не определен однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
