Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Читателю предлагаетсясамостоятельно построить кривую доход–потребление и кривуюЭнгеля в этом случае. А мы построим кривые доход–потреблениеи Энгеля лишь для того случая, когда потребитель предъявляетненулевой спрос на один из товаров, первый, отказавшись приэтом от потребления второго товара, т. е.
при p1 /p2 < α1 /α2 . Приэтом увеличение дохода агента не изменяет объем его спроса наРис. 1.27. Построение кривой доход–потребление и кривой Энгеля дляпотребителя с функцией полезности u(x1 , x2 ) = α1 x1 + α2 x21.8. Решения задач89второй товар, поскольку отношение цен остается неизменным.Построение кривой доход–потребление демонстрирует рис. 1.27.(б) (i) Для нахождения функции спроса необходимо решитьзадачу потребителя:min{α1 x1 , α2 x2 } → max ,p1 x1 + p2 x2 m.x1 0,x2 0Поскольку предпочтения потребителя монотонны, то потребитель выберет набор, на который полностью потратит свой доход.Оба товара будут потребляться в положительном количестве.В противном случае полезность агента от приобретения набора,содержащего нулевое количество хотя бы одного блага, меньше,чем полезность, которую агент получит, потребив оба благав положительном количестве, что возможно, поскольку доходпотребителя положителен.2 ) приПокажем, что в точке выбора потребителя (x1 , xположительных ценах агент таким образом распределит1 = α2 x2 .
Предположим, что это несвой доход, что α1 x1 > α2 x2 и p1 x1 + p2 x2 = m, следоватак. Например, α1 x1 , α2 x2 } = α2 x2 . Тогда рассмоттельно, u (x1 , x2 ) = min {α1 xx1 − ε, x2 ), где ε =рим набор (x1 , x2 ) = (α1 x1 − α2 x2> 0.α1x1 , x2 ) = α1 (x1 − ε) = α2 x2 .Заметим, что u (x1 , x2 ) = u (2 ) = (x1 + δ, x2 + δ), гдеПостроим теперь набор (x1 , xδ=εp1(α x − α2 x2 ) p1= 1 1> 0.
Набор (x1 , x2 ) в точностиp1 + p2α1 (p1 + p2 )доступен потребителю, так как1 + p2 x2 = p1 (x − ε + δ) + p2 (x2 + δ) =p1 x 1α1 x1 − α2 x2 (α1 x1 − α2 x2 ) p1++1 −= p1 xα1α1 (p1 + p2 )(α1 x1 − α2 x2 ) p1= p1 x1 + p2 x2 = m.2 ++ p2 xα1 (p1 + p2 )2 ) = min {α1 (x1 − ε + δ) , α2 (x2 + δ)} >При этом u (x1 , xx1 − ε) = α2 x2 = u (x1 , x2 ).
Таким образом, перераспреде> α1 (лив доход, потребитель может повысить свое благосостояние.А значит, набор, в котором содержится количество благ, такое1 > α2 x2 , не является наилучшим для потребителячто α1 xсреди доступных ему наборов. Аналогично можно показать, что90Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностипотребитель не будет выбирать набор, в котором α1 x1 < α2 x2 .1 = α2 x2 .Следовательно, в точке оптимума α1 xВыбор потребителя при положительных ценах будет удовлетворять следующим условиям:1 = α2 x2 ,α1 xp1 x1 + p2 x2 = m.Следует заметить также, что существует решение задачи потребителя с данными предпочтениями и при нулевой цене одногоиз товаров.
При нулевой цене первого товара, максимизируясвою полезность, агент купит максимально возможное для егобюджета количество второго товара, а именно: x2 = m/p2 , приэтом количество первого товара, которое будет потреблять агент,может быть любым, удовлетворяющим условию x1 α2 m/α1 p2 .Аналогично, при нулевой цене второго товара агент, максимизируя свою полезность, купит максимально возможный при егобюджете объем первого товара x1 = m/p1 , при этом количествовторого товара, которое будет потреблять агент, может бытьлюбым, удовлетворяющим условию x2 α1 m/α2 p1 .Отсюда находим функции спроса на каждое благо:⎧α2 m⎪, p1 , p2 > 0,⎪⎪αp+ α2 p1⎪12⎪⎨α mx1 (p1 , p2 , m) =∀x1 2 , p1 = 0, p2 > 0,⎪α1 p2⎪⎪⎪m⎪⎩ ,p1 > 0, p2 = 0,p1⎧α1 m⎪, p1 , p2 > 0,⎪⎪αp+ α2 p1⎪12⎪⎨α mx2 (p1 , p2 , m) =∀x2 1 , p1 > 0, p2 = 0,⎪α2 p2⎪⎪⎪m⎪⎩ ,p1 = 0, p2 > 0.p2Проиллюстрируем решение задачи потребителя при положительных ценах товаров графически на рис.
1.28.(ii) Охарактеризуем каждый товар с точки зрения реакциина изменение дохода и изменение цен.• Первый и второй товары являются нормальными благами,∂x (p , p , m)i1 2так как∂mi, j = 1, 2, i = j.=αj> 0 при любых p1 , p2 , m > 0,α1 p2 + α2 p11.8. Решения задач91Рис. 1.28. Выбор потребителя с функцией полезности u(x1 , x2 ) == min{α1 x1 , α2 x2 } при положительных ценах товаров• Первый и второй товары являются обычными благами, так2∂xi (p1 , p2 , m)(αj ) m=−< 0, i, j = 1, 2, i = j.2∂pi(α1 p2 + α2 p1 )как• Первый и второй товары являются (валовыми) дополнителями благами друг для друга, поскольку=−α1 α2 m2(α1 p2 + α2 p1 )∂xi (p1 , p2 , m)=∂pj< 0, i = j, i, j = 1, 2, причем стоит заме-тить, что товары являются абсолютно взаимодополняющими (совершенными комплементами), по определению, поскольку приα1 x1 > α2 x2 имеем MRS12 = 0 и при α1 x2 < α2 x2 MRS12 = ∞.(iii) Используя функцию спроса, изобразим кривые цена–потребление (для изменения цены первого товара), доход–потребление и кривую Энгеля.• Изобразим кривую цена–потребление.
Заметим, что приданных предпочтениях задача потребителя может иметь решениеи при нулевых ценах на товары.Пусть цена второго товара фиксирована, в то время как ценапервого товара изменяется. Если p1 > 0, p2 > 0, то потребитель выбирает наборы, лежащие на луче, выходящем из началакоординат: α1 x1 = α2 x2 (не включая само начало координат).Поэтому участок кривой цена–потребление совпадает с лучомα1 x1 = α2 x2 , где 0 < x2 m/p2 .Если p1 /p2 → ∞, т.
е. цена первого товара столь велика, чтопотребитель не имеет возможности приобрести первый товарни в каком количестве, то любой набор, содержащий нулевое92Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностиколичество первого товара и любое положительное количествовторого товара в том объеме, в котором агент может себе егопозволить, будет приносить потребителю максимальный уровеньполезности, равный 0, следовательно, будет являться решением задачи потребителя при этих ценах и принадлежать кривойцена–потребление.Если p1 /p2 → 0, т. е.
цена первого товара равна нулю, толюбой набор, содержащий количество второго товара x2 = m/p2и количество первого товара, равное x1 α2 m/(α1 p2 ), будетприносить потребителю максимальный уровень полезности, равный u = α2 m/p2 , следовательно, будет являться решением задачи потребителя при этих ценах и принадлежать кривой ценапотребление.
Построение кривой цена–потребление демонстрирует рис. 1.29.Рис. 1.29. Построение кривой цена–потребление для агента с функцией полезности u(x1 , x2 ) = min{α1 x1 , α2 x2 }• Кривая доход–потребление (при положительных ценах товаров) представляет собой луч, выходящий из начала координат,где α1 x1 = α2 x2 .• Кривая Энгеля представляет собой луч, выходящий из начала координат в пространстве доход–потребление первого товара,где x1 (p1 , p2 , m) = α2 m/(α1 p2 + α2 p1 ).Рисунок 1.30 демонстрирует построение кривой доход–потребление.1.8.
Решения задач93Рис. 1.30. Построение кривой доход–потребление и кривой Энгеля дляпотребителя с функцией полезности u(x1 , x2 ) = min{α1 x1 , α2 x2 }(в) (i) Найдем функцию спроса, решив задачу потребителя:(x1 )2 + (x2 )2 → max ,x1 0,x2 0p1 x1 + p2 x2 m.Выбирая наилучший набор, потребитель полностью потратитвесь свой доход, так как полезность возрастает по своим аргументам.Сразу заметим, что решение задачи потребителя возможнотолько при положительных ценах товаров, поскольку при нулевой цене хотя бы одного товара в силу строгой монотонностипредпочтений решения задачи максимизации полезности данногоагента не существует.Приведем сначала аналитическое решение, а затем продемонстрируем, что для данного вида предпочтений решение задачипотребителя можно получить графически.Найдем внутреннее решение задачи потребителя, затем сравним полезность от внутреннего решения и угловых точек.94Гл.
1. Теория поведения потребителя в условиях определенностиВнутреннее решение задачи потребителя определяется соотношениями:⎧⎧⎧p1mpx1p1⎪⎪⎪(x)=,⎪MRSx1 = 2 1 2 ,=,12⎨⎨⎨p2p1 + p2x2p2⇒⇒>0,x>0,x>0,x>0,x12mp12⎪⎪⎪⎪⎩x⎩2 = 2 2 2 .⎩p x +p x = m,p xp+p +p x = m,1 12 21 12 2122 ) = m2 /(p21 + p22 ).Полезность от внутреннего набора: u (x1 , xНайдем полезность от угловых наборов:• если потребитель отказывается от потребления первого товара, то он выбирает набор (x1 , x2 ) = (0, m/p2 ).
Полезностьот этого набора u (x1 , x2 ) = m2 /p22 ;• если потребитель отказывается от потребления второго то2 ) = (m/p1 , 0). Полезностьвара, то он выбирает набор (x1 , x22 ) = m /p21 .от этого набора u (x1 , xСравним полезность от внутреннего решения задачи потребителя и угловых наборов:2 ) =u (x1 , xm2m2<= u (x1 , x2 ) ,p21 + p22p212 ) =u (x1 , xm2m2<= u (x1 , x2 ) .p21 + p22p22Итак, ни при каких ценах и доходе потребитель не выберетнабор, содержащий положительное количество каждого блага.Сравним полезности от угловых наборов:x1 , x2 ) , еслиu (x1 , x2 ) > u (m2m2>, или p1 > p2 ;p22p21x1 , x2 ) , еслиu (x1 , x2 ) < u (m2m2<, или p1 < p2 ;p22p21x1 , x2 ) , еслиu (x1 , x2 ) = u (m2m2=, или p1 = p2 .p22p21Следовательно, потребитель откажется от потребления первого товара, если цена его будет больше, чем цена второготовара.
Потребитель откажется от потребления второго товара,если цена его будет больше, чем цена первого товара. Дляпотребителя эквивалентны наборы, не содержащие либо первоеблаго, либо второе благо, если их цены равны.1.8. Решения задач95Функции спроса на товары имеют вид: m0, p1 < p2 ,, p1 p2 ,mp1x2 (p1 , p2 , m) =x1 (p1 , p2 , m) =, p1 p2 .0, p1 > p2 ,p2Представим выбор потребителя при различных ценах графически на рис. 1.31.Рис. 1.31. Выбор потребителя с функцией полезности u(x1 , x2 ) =22= (x1 ) + (x2 )Заметим, что предпочтения потребителя не являются выпуклыми. Более того, любая выпуклая комбинация двух данныхнаборов (C = αA + (1 − α)B ∀α: 0 < α < 1, где A, B, C —наборы) для данного агента всегда строго хуже, чем худшийиз данных наборов.
Поэтому решение задачи потребителя стоитискать только среди угловых наборов, в котором не содержитсяодин из товаров.(ii) Охарактеризуем спрос на каждый товар с точки зренияреакции на изменение дохода и изменение цен.• Если p1 p2 , то первый товар ведет себя как нормальноеблаго, поскольку ∂x1 (p1 , p2 , m)/∂m = 1/p1 > 0. Если p1 > p2(рис.
1.31, в), то первый товар ведет себя как нейтральное к доходу благо, поскольку ∂x1 (p1 , p2 , m)/∂m = 0.Аналогично, если p1 p2 , то второй товар ведет себя какнормальное благо, поскольку ∂x2 (p1 , p2 , m)/∂m = 1/p2 > 0. Еслиp1 < p2 (рис. 1.31, б), то второй товар ведет себя как нейтральноек доходу благо, поскольку ∂x2 (p1 , p2 , m)/∂m = 0.Таким образом, ни один из товаров не является ни нормальным, ни нейтральным к доходу товаром, так как не демонстри-96Гл. 1.
Теория поведения потребителя в условиях определенностирует нормальной или нейтральной реакции на изменение доходапотребителя при любых ценах и доходах.• Поскольку ∂xi (p1 , p2 , m)/∂pi = −m/(pi )2 < 0 ∀i, то оба товара ведут себя как обычные блага, если относительные ценытаковы, что данные блага потребляются агентом.• Поскольку ∂xi (p1 , p2 , m)/∂pj = 0 при pi < pj ∀i = j, тотовары не являются (валовыми) заменителями.(iii) Используя функции спроса, изобразим кривыецена–потребление (при изменении цены первого товара),доход–потребление и кривую Энгеля.• Кривую цена–потребление при изменении цены первогоблага демонстрирует рис. 1.32. Обратите внимание, что точка(x1 , x2 ) = (0, m/p2 ) также принадлежит кривой цена–потребление.Рис. 1.32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
