Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1.18. Бюджетные множества семьи при введении альтернативнойпрограммы помощи(е) Если все правительственные программы отменены, тобюджетное ограничение семьи имеет вид:px x + py y m ⇒ 4 x + 5 y 500.Предположим теперь, что введена в действие программа скидок в супермаркете, такая, что при покупке товара X в количестве x (x < 125) все дополнительные единицы товара Xпродаются на 5 руб. дешевле. Бюджетное ограничение в этомслучае имеет вид:x x,px x + py y m,⇒(px − 5)(x − x) + py y m − px x, x > x.76Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенности⇒40 x + 50 y 5000,x x,⇒35(x − x) + 50 y m − 40 x, x > x,4 x + 5 y 500,x x,⇒7(x − x) + 10 y 1000 − 8 x, x > x.Новое бюджетное множество семьи Ивановых представленона рис.
1.19.Рис. 1.19. Начальное бюджетное множество и бюджетное множествопри введении системы скидок на дополнительные единицы(ж) При альтернативной системе скидок в супермаркете бюджетное ограничение имеет вид:x x,px x + py y m,⇒(px − 5)x + py y m, x > x,40 x + 50 y 5000, x x,⇒⇒35 x + 50 y 5000, x > x,4 x + 5 y 500,x x,⇒7 x + 10 y 1000, x > x.«Скачок» объясняется тем, то теперь цена может быть снижена не только за единицы, приобретенные сверх x, но и за всеединицы, которые семья приобретает до x, если объем ее покупокпревысит это количество (см.
рис. 1.20).При системе оптовых скидок в супермаркете семья Ивановыхсможет приобрести больше товара X, потратив на него все деньги, чем при системе скидок на дополнительные единицы товара1.8. Решения задач77Рис. 1.20. Начальное бюджетное множество семьи и бюджетное множество при введении системы оптовых скидокРис.
1.21. Бюджетные множества семьи при введении различных систем скидок в супермаркете(см. рис. 1.21):1000 − x1000< xоптдля любого x < 125.xдопmax =max =771.49. Пусть (x, y) — набор, содержащий x занятий математикой и y занятий английским языком, а px и py — рыночныецены этих услуг, соответственно. Поскольку предельная нормазамещения уроков английского языка уроками математики дляданного студента не совпадает с рыночной нормой обмена этихуслуг и набор (x, y) = (4, 3) является внутренним (т. е. потребление всех услуг в наборе строго положительное), то имеетсявозможность улучшить положение данного потребителя. Продемонстрируем это.Заметим, что в данной точке студент выше ценит занятияматематикой, чем рынок.
За 1 малую ед. занятий математикой78Гл. 1. Теория поведения потребителя в условиях определенностив данной точке студент готов пожертвовать 2 малыми ед. занятий английским языком, оставаясь при этом на том же уровнеблагосостояния, в то время как 1 малую ед. занятий математикой по рыночным ценам можно обменять только на 2/3 малыхед. занятий английским языком. Отказавшись от 2ε > 0 (ε —бесконечно малое) занятий английским языком, студент мог быприобрести 2εpy /px = 3ε занятий математикой. Заметим, что приотказе от 2ε занятий английским языком взамен увеличенияколичества занятий математикой на ε, студент остался бы напрежнем уровне благосостояния (по определению предельнойнормы замещения).
Рыночный обмен позволит ему увеличитьколичество занятий математикой на 3ε, 3ε > ε. Следовательно,в силу строгой монотонности предпочтений студента при такомрыночном обмене его благосостояние возрастет.Обратите внимание, что подобное перераспределение доходаоказалось возможным в силу положительности количества каждой услуги в исходном наборе.1.65. (а) Для того чтобы определить выбор агента, необходимо решить следующую задачу: √4 x1 + x2 → max ,x1 ,x2 0p1 x1 + p2 x2 m,где p1 , p2 — цены 1-го и 2-го товаров соответственно, а m —доход потребителя.Заметим, что нам не известны цены товаров и доход потребителя.
Однако мы знаем, что, потратив весь свой доход,потребитель может приобрести наборы (12, 1) и (8, 9). Располагая этими сведениями, составим систему уравнений, благодарякоторой определим доход потребителя и цену одного из товаровотносительно цены другого товара:12 p1 + p2 = m,откуда находим p1 = 2 p2 и m = 25 p2 .8 p1 + 9 p2 = m,Пусть p2 — цена товара-измерителя, тогда приняв p2 = 1, получим p1 = 2, а m = 25.Функция полезности данного потребителя возрастает по каждому благу, поэтому потребитель в точке оптимального наборапотратит свой доход полностью.
Иначе на неизрасходованныеденьги он мог бы докупить одного из товаров, повысив свой1.8. Решения задач79уровень благосостояния, так как полезность возрастает по каждому товару. Следовательно, бюджетное ограничение в решениизадачи потребителя будет выполняться как равенство. Такимобразом, задача потребителя сводится к следующей оптимизационной задаче: √4 x1 + x2 → max ,x1 ,x2 02x1 + x2 = 25.Найдем сначала внутреннее решение последней задачи, а затемпроверим, не является ли один из угловых наборов наилучшимдля потребителя, сравнив их полезности. Выразим из уравнениябюджетной линии x2 и подставим в целевую функцию, перейдятем самым к задаче безусловной оптимизации функции однойпеременной:√(*)4 x1 + (25 − 2x1 ) → max .x1 0Условие√ первого порядка (для внутреннего решения) имеет1 − 2 = 0.
Обратите внимание, что условия первоговид: 2/ xпорядка будут не только необходимыми, но и достаточными длянахождения внутреннего максимума целевой функции, поскольку целевая функция в задаче (*) строго вогнута (ее втораяпроизводная строго меньше нуля).Из условия первого порядка находим количество первого благав оптимальном внутреннем наборе: x1 = 1. А затем из уравнения бюджетной линии определимколичество второго блага в оптимальном наборе: x2 = 23. Для проверки угловых решений вычислимполезность потребителя на набо2 ) = (1, 23), (x1 , x2 ) =рах (x1 , x2 ) = (12,5, 0), где= (0, 25), (x1 , xпоследние два набора — угловыеРис.
1.22. Начальный выборнаборы, в которых потребитель отпотребителяказывается от потребления одного√2 ) = 27, u(x1 , x2 ) = 25, u(x1 , x2 ) = 10 2 .из товаров; u(x1 , xСравнив полезности, замечаем, что оптимальным для потреби2 ) = (1, 23). Заметим, что в данномтеля является набор (x1 , xслучае угловые решения мы могли бы и не проверять, поскольку80Гл.
1. Теория поведения потребителя в условиях определенностицелевая функция задачи (*) строго вогнута, следовательно, найденный внутренний оптимум должен быть единственным. Продемонстрируем решение задачи данного потребителя при данныхценах и доходе на рис. 1.22.(б) Если цена первого товара снизится в 20 раз, то задачапотребителя будет выглядеть следующим образом: √4 x1 + x2 → max ,x1 ,x2 00,1 x + x2 = 25.Выражая, как и в п. (а), потребление второго блага через первоеиз уравнения бюджетной линии и подставляя полученное выражение в целевую функцию, сведем задачу потребителя к задачена безусловный экстремум функции одной переменной. Найдемвнутреннее решение задачи√4 x1 + (25 − 0,1 x) → max .x1 0Условиерешения дает нам первого порядка для внутреннего2/ x 1 − 0,1 = 0, откуда находим x 1 = 400.Заметим, что полученный объем потребления первого товара x 1 недоступен потребителю при данных ценах и доходе.Поскольку условия первого порядка являются необходимымии достаточными для нахождения внутреннего максимума целевой функции, так как она строго вогнута, то делаем вывод,что наше предположение о том, что оптимальный набор потребителя при данных ценах и доходе является внутренним,неверно.
Сравним полезности от угловых точек, лежащих набюджетной линии потребителя:u(0, m/p2 ) = u(0, 25) = 25 и√u(m/p1 , 0) = u(250, 0) = 20 10 > 25.Таким образом, оптимальный набор потребителя в этом случае не будет содержать второго блага, а весь свой доход потребитель потратит на покупку первого: (x1 , x2 ) = (250, 0). Продемонстрируем графически выбор потребителя после изменения ценына рис. 1.23.Обратите внимание, что при данных предпочтениях оказалось возможным не только внутреннее решение, но и угловоепри некотором соотношении цен и дохода.(в) Спрос потребителя на первое и второе благо найдем, решив задачу потребителя при произвольных ценах pi > 0, i = 1, 2,1.8. Решения задач81Рис. 1.23.
Выбор потребителя после изменения цены первого товараи доходе m > 0: √4 x1 + x2 → max ,x1 ,x2 0p1 x1 + p2 x2 m.Решение задачи потребителя разобьем на два этапа: 1) определим сначала, при каких условиях на цены и доход агента приданных предпочтениях возможно угловое решение задачи потребителя, 2) затем найдем условия на доход и цены, при которыхвозможно только внутреннее решение задачи потребителя.1.
Предположим, что оптимальным является набор, не содержащий первое благо. Найдем предельную норму замещения вто√рого блага первым в этой точке: MRS12 = 2/ x1 и MRS12 → ∞при x1 = 0. Таким образом, ради увеличения потребления первого блага на ε ед. (ε > 0, ε — бесконечно малое), в точке, гдеагент не потребляет это благо, потребитель готов отказаться отбесконечно большого количества второго блага. Поэтому еслиперераспределить доход потребителя так, чтобы, оставаясь награнице бюджетного множества, он увеличил бы потреблениепервого блага на бесконечно малую величину, ему пришлось быотказаться от второго блага в количестве p1 ε/p2 , а для того,чтобы остаться на том же уровне благосостояния, агент готов был отказаться от бесконечно большого количества второготовара. В силу строгой монотонности предпочтений (функцияполезности возрастает по каждому аргументу) благосостояниепотребителя при указанном перераспределении дохода возрастет.Изложим сказанное выше формально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
