Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 113
Текст из файла (страница 113)
1 ! Положим, что внешнее воздействие изменяет один из ! параметров колебательной системы, и рассмотрим сначала простой механический пример. с Пусть имеется маятник, дли- о ну которого можно изменять (рис. 393), подтягивая конец Р"' ЗэЗ Параметрмчеекнй Реэе нити, перекинутой черю блок, или,наоборот, его отпуская.
Будем периодически изменять длину маятника, подтягивая нить (уменьшая длину) всякий рэз, когда маятник будет находиться вблизи положения равновесия (О), и отпуская пить (увеличивая длину) при крайних положениях маятника (1 и к), т.е. с частотой, равной удвоенной частоте собственных колебаний маятника. Мы найдем, что маятник начнет совершать колебания с возрастающей амплитудой, которая пАРАметРический РезонАнс 531 будет увеличиваться до тех пор, пока нить не соскочит с блока.
Это будет наблюдаться и в том случае, если частота изменения длины не равна удвоенной собственной частоте, но близка к ней. В этом опыте мы имеем нарастагощие колебания, как и в случае резонанса под действием периодической внешней силы, однако они возникают в результате периодического изменения одного из параметров системы (длины). Поэтому описанное явление получило название параметрического резонанса.
Причину нарастания колебаний можно объяснить, исходя из энергетических соображений. Когда мы укорачиваем нить в положении О (рнс. 393), то внешняя сила (сила руки) совершает работу не только против силы тяжести, но и против центробежной силы, так как, проходя через положения равновесия О, маятник имеет наибольшую скорость, При удлинении нити работу совершает маятник. Однако эта работа производится только за счет силы тяжести, так как в положениях 1 и Я центробежная сила равна нулю (скорость равна нулю), и поэтому она меньше работы при укорочении нити. Таким образом, в колебательную систему (маятник) непрерывно вводится энергия за счет работы внешней силы, что и приводит к нарастанию колебаний.
Аналогичные явления параметрического резонанса наблюдаются и в электрических колебательных контурах, если параметры контура (емкость или индуктивность) изменяются периодически. Рассмотрим, например, колебательный контур А.С (рис. 394), имеющий конденсатор с подвижной пластиной, которую можно периодически приближать ко второй пластине или удалять от нее. Положим, далее, что в контуре в силу каких-либо случайных причин возникли колебания и что в момент времени, когда заряд конденсатора проходит через нуль, мы сближаем пластины.
Это не будет сопро- Рис. 394. колебательвмй вождаться никакой работой, так как за контур с изменяемой емряд конденсатора равен нулю, а значит, н сила притяжения между пластинами также равна нулю. Через время, равное четверти периода собственных колебаний Т(4, заряд конденсатора будет наибольшим.
Если в этот момент раздвинуть пластины, то внешние силы совершат работу, затрачиваемую на преодоление взаимного притяжения пластин. Тогда емкость конденсатора уменьшится, а напряжение между его обкладками возрастет, способствуя колебаниям в контуре. Если затем опять через время Т(4 сблизить пластины, то энергия контура не изменится, так как заряд конденсатора в этот момент снова равен нулю. При последующем разведении пластин в контур снова будет введена определенная энергия, и т.д.
Поэтому, 532 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ ГЛ ХХ! изменяя достаточно сильно емкость конденсатора с частотой, равной удвоенной частоте собственных колебаний (или близкой к ней), мы получим в контуре электрические колебания с возрастающей амплитудой, которая будет увеличиваться до тех пор, пока конденсатор не будет пробит. Отметим, что начальные малые колебания и в механических, и в электрических системах всегда возникают нод влиянием случайных внешних воздействий, или флуктуаций.
Поэтому при достаточно сильном периодическом изменении параметров наблюдается самовозбуждение колебаний. Правильное соотношение между фазой колебаний и фазой изменения параметра осуществляется прн этом автоматически, так как усиливаются только те колебания, которые имеют нужную начальную фазу. Описанный опыт с электрическим параметрическим резонансом был впервые осуществлен Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси в 1933 г.
Построенная ими емкостная параметрическая машина имела вращающийся конденсатор, содержащий две системы пластин, снабженных радиальными вырезами, одна из которых была неподвижна, а другая приводилась во вращение с помощью зэектромотора. Такая машина развивала напряжения до многих тысяч вольт. Явление параметрического резонанса можно использовать для технического получения переменных токов. й 227. Комплексные величины Для сложения колебаний тока и напряжения в различных сетях переменного тока особенно удобно пользоваться символическим методом, в котором гармонические колебания разных физических величин представляют в виде комплексных величин. Этот метод значительно упрощает все вычисления, и поэтому его широко применяют не только в теории переменных токов, но и при исследовании любых механических и электрических колебаний. Известно, что ехр Ц а) = соз а + у Вш а. Здесь а — вещественное число, а 1 = А/ — 1.
Поэтому всякое комплексное число х = х+1й можно представить в показательной форме х = рехр (уа). При этом вещественную и мнимую части х и р комплексного числа х можно выразить через р и а: х = рсова, р = рэ1па, 533 1 227 КОМПЛЕКСНЪ|Е ВЕЛИЧИНЫ и, наоборот, р и |т можно выразить через х и у: р = ь/х2 + у2, ~я се = у,~х. Напомним, что р называется модулем комплексного числа к, а а — его аргумеюпом. Положим теперь, что |т изменяется со временем по закону а = о|2+ |р. Тогда х и у будут представлять два гармонических колебания: х = рсов(м2+ р), у = рвш(о|1+ |р), (227.1) происходящих с круговой частотой о| и имеющих амплитуду р и начальную фазу |р.
Согласно сказанному выше, оба эти колебания можно выразить при помощи одного комплексного выражения к = рехр [~(ш1 + |р)) = рехр (у|р) ехр (7и|г). (227.2) Если мы условимся заранее брать только вещественную часть комплексного выражения (227.2), то мы получим первое из колебаний (227.1); если же мы будем употреблять только мнимую его часть, то получим второе колебание. Таким образом, гармонические колебания можно описывать либо с помощью тригонометрических функций сов и в|п, либо с помощью комплексных выражений. Последний способ имеет, однако, большое преимущество в тех случаях, когда приходится складывать несколько колебаний, так как правила сложения комплексных чисел гораздо проще, нежели правила сложения тригонометрических функций. Если частота о| одинакова для всех рассматриваемых колебаний, то множитель ехр(|ый) можно не выписывать.
В этих случаях мы вполне определим гармоническое колебание, если зададим лишь величину е=х+Гу е = рехр (у|р),. (227.3) которая называется комплексной амплитпудой. Ее модуль р дает фактическую амплитуду гармонического колебания, а аргумент р— | начальную фазу колебания. х Х Представление колебаний с помощью комплексных выражений Рис. 39б, Изображение комп- тесно связано с векторными диа- лексиогочиолаорипомощиаекграммами. Действительно, если на тога плоскости (рис.
395) ввести две взаимно перпендикулярные оси и по одной из них (Х) откладывать вещественную часть х комплексного числа к, а по другой (У) — мнимую часть |у, то число х будет изображаться на этой плоскости некоторым вектором. 534 Вынужденные кОлеБАния. Негеменные тОки Гл хх1 длина этого вектора р = ~/хо+ уз есть модуль комплексного числа в, а угол |р = агс1б(у/х), составленный с вещественной осью Х, равен аргументу в.
Поэтому, задавая комплексную амплитуду колебания в (формула (227.3)), мы определяем вектор., длина которого равна амплитуде колебаний, а угол поворота— начальной фазе, т.е, поступаем так же, как и при построении векторной диаграммы колебаний. Различие заключается лишь в том, что в случае векторной диаграммы мы изображаем этот вектор графически, а пользуясь комплексным выражением, задаем его аналитически.
Вернемся теперь к переменным токам и положим, что сила тока в цепи равна 1 = 1о в|пы1. Пользуясь комплексными величинами, это колебание можно записать в виде 1 = |о ехР ( Уи8). Тогда колебания напряжения на чисто активном сопротивлении (3 217) будут выражаться формулой Ь1 = 1от ехр (7ы1). Комплексная амплитуда в данном частном случае оказывается вещественной: Пег (227.4) что, согласно сказанному выше, обозначает отсутствие сдвига фаз между напряжением и током. Колебания напряжения па индуктивности (3 219) опережают по фазе колебания тока на х/2, и поэтому 5|е = 1оиХ ехр [| (ыФ + к/2)]. Комплексная амплитуда этих колебаний Уае = |выем ехр (угг(2). Входящий сюда множитель ехр(рг/2) изображается на ком- плексной плоскости (см.
рис. 395) вектором, имеющим длину 1 и направленным вдоль мнимой оси 1У. Поэтому ехр (7к,72) = у и, следовательно, Уоь = 1о.1ь|ь. (227.5) Наконец, для колебаний напряжения на конденсаторе, кото- рые отстают от колебаний тока на к~2 (3 218), получим 17с = (1о!ь|С) ехр [у(сЛ вЂ” я/2)]. Комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе равна Нос = (1о/ыС) ехр ( — 7х/2), или, так как ехр ( — 7я/2) = — у' = 1(~, с'ос = —. (227.6) Р.|С 535 1 221 КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Рассмотрим теперь, как можно производить сложение колебаний, пользуясь комплексными выражениями. При этом мы везде предполагаем, что речь идет о колебаниях скалярных величин (каковыми являются сила тока, заряд конденсатора, напряжение и т.д.). Суммой комплексных чисел г1 х1 + зу11 г2 х2 + уу2~ по определению, называют комплексное число я=х+р; у которого вещественная (Х) и мнимая (У) части суть суммы соответственно вещественных и мнимых частей слагаемых: Х = х'1 + хг + хз + ", 1' = у1 + у2 + уз + - .
Если г„х2, ... — комплексные выражения гармонических колебаний, то величины 21, х2, хз, ... и соответственно у1, у2, уз, ... представля1от собой гармонические колебания (одно из которых описываешься функцией соз, а другое — вш). Поэтому комплексное Выражение Я будет соответствовать сумме складываемых колебаний. Если по-прежнему все колебания имеют одинаковую частоту ы, то и здесь общий множитель ехр (11о2) можно не выписывать, а достаточно сложить лишь комплексные амплитуды суммируемых колебаний. Таким образом, мы приходим к следующему правилу: длл сложения нескольких колебаний одинаковой частоты достагаочно сложить комплексные амплитуды этих колебаний.
Модуль полученного комплексного выражения дает фактическую амплитуду результирующего колебания, а его аргумент — начальную фазу. Отметим, что на комплексной плоскости (Х,уУ) сложение комплексных чисел изображается суммированием векторов, представляющих эти комплексные числа, а комплексное число Я, выражающее искомую сумму, является замыкающим вектором (векторной суммой). Поэтому данное выше правило в точности соответствует построению векторной диаграммы результирующего колебания. Поясним сказанное на примере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
