Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 111
Текст из файла (страница 111)
(В б формуле вместо сов (как в 5 210) мы пишем Б1п, что, однако, не играет никакой роли, так как начальная фаза б1б нами пока еще не определена.) Поэтому в первые моменты времени после замыкания цепи будут возбуждаться колебания сложной формы, представляющие собой сумму собственных н вынужденных колебаний, происходящих с различными частотами ьб и ьбь С течением времени собственные колебания будут затухать, и когда онн практически прекратятся вовсе, мы получим устано- ,4! 1 222 УотАНОВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ 521 вившиеся вынужденные колебания. Таким образом, время установления колебаний есть время, в течение которого затухают собственные колебания контура.
Оно тем больше, чем меньше коэффициент затухания сг. Остановимся теперь специально на случае резонанса, когда частота генератора и = ыо. Будем считать, что затухание контура невелико, так что можно положить частоту собственных колебаний ьп - ые Тогда колебания заряда будут иметь вид о = е, + о, = Ае "' вш (ыес+ се) + С вш (ыо1+ 1в). (222.1) В этой формуле амплитуда собственных колебаний А и начальная фаза ьь зависит от начальных условий процесса (ср. 3 210), положим, что мы замыкаем цепь в момент времени 1 = О, причем до замыкания заряда на конденсаторе не было. Тогда начальные условия будут 1=0: о=О, 1=й~/И=О. (222.2) Подставляя первое из начальных условий в (222.1), имеем Аьш ф+ Сеш у = О.
(222.3) Второе начальное условие дает — Апаш ф+ АыосоэСЭ+ Сыо сов р = О. Если, как было предположено выше, и << ые, то первым членом в этом уравнении можно пренебречь по сравнению со вторым членом, и поэтому Асовф+ Ссоз1с = О. (222.4) Из уравнений (222.3) и (222.4) получаем А = С, ф = 1е + я. Подставляя эти значения А и сЭ в (222.1), находим закон временного изменения заряда конденсатора после замыкания цепи в виде о = С(1 — е )сйп(ыаг+ р). (222.5) Эта зависимость изображена графически иа рис. 386. При резонансе в контуре возникыот колебания с возрастающей амплитудой, которая асямптотически приближается к установившемуся значению, Время, в течение которого практически достигается это зна- чение, тем болыпе, чем меньше коэффициент затухания и контура.
Аналогичные кривые мы получили бы, рассматривая напряжение на конденсаторе и на индуктивности или силу тока в контуре. В 3 221 мы видели, что при резонансе напряжений амплитуда установившихся колебаний тока равна 1о = (3р/г. Отсюда получается,что если активное сопротивление цепи г — > О, тосе — > оо. Физический смысл этого, на первый взгляд, странного результата заключается в следующем. ис , становление колебаКогда сопротивление контура нгограннний при резонансе ченно уменьшается,то и затухание контура стремится к нулю, а, следовательно, время установления колебаний неограниченно увеличивается.
Поэтому в действительности в контуре будут колебания конечной амплитуды, которая, однако, будет непрерывно возрастать в процессе колебаний. 522 Вынужденные кОлеБАния. певеменные ТОки гл хх! й 223. Работа и мощность переменного тока Рассмотрим теперь, чему равна работа, совершаемая в цепи при наличии в ней переменного тока. Положим сначала, что цепь имеет только активное сопротивление. В этом случае вся работа тока целиком превращается в тепло. Пусть напряжение на концах цепи (а и б на рис. Зб9) есть бг = ь'0 э!Пан. Так как в случае активного сопротивления сдвига фаз между током и напряжением нет, то сила тока изменяется по закону г = гээ!Па!1.
В течение малого промежутка времени переменный ток можно рассматривать как ток постоянный, и поэтому мгновенная мощность переменного тока Р! = гс! = !ог!0 э!и 7.1 1!1 Изменение мгновенной мощности с течением времени в случае чисто активного сопротивления изображено на !Р =60' рис. 387 а. Здесь же б даны кривые колебаний тока г и напряжения У тоже для случал актива! ного сопротивления. Обычно необходимо 1 знать не мгновенное 0 значение мощности, а ее среднее значение за большой период време<р =90' ни, охватывающий много периодов колебаний. Так как мы имеем дело Рис. 887 Колебания мгновенной мощности с периодическим процессом, то для нахождения этого среднего значения достаточно, очевидно, вычислить среднее значение мощности эа один полный период.
Работа переменного тока за малое время й есть Г1ПГ = !0СОВ!П а4гПГ, 1 222 РАБОТА И МОЩНОСТЬ ПЕРБМБННОГО ТОКА 623 а, следовательно, работа Ат за время полного периода колебаний Т выражается формулой Т Ат = евое ~ в1п ь2е е1~. о Но в1п ~АЖ = — ~ ~1 — сов — 1~ Г1Г = — Т. -) 2,~ 1 2' / 2 Поэтому Ат = ее13оТ(2 Отсюда для средней мощности получается Р = Ат(Т = евино/2.
Так как Уе - -Г1о, то можно также написать Р = 2ОПО = гео = ~УЕ /2г. 2 2 Обозначим через г, н У, силу и напряжение постоянного тока, который выделяет в сопротивлении Г то же количество теплоты, что и данный переменный ток. Тогда Р = ееУе = гг = Й7 /г. 1223.1) Сравнивая этн выражения с выражениями для мощности переменного тока, имеем ее — ео(А/2 Пе = БГо(ъ 2. 1223. 2) Сила тока 1, называется зффекпгавиой силой переменного тока, а У, — эффективным напряжением. Пользуясь эффективными значениями, можно выразить среднюю мощность переменного тока теми же формулами (223.1), что и мощность постоянного тока.
Перейдем теперь к общему случаю, когда цепь содержит не только активное сопротивление, но и реактивное. Теперь между током и напряжением существует разность фаз, и это существенно меняет дело. Обратимся к рис. 3876, где изображены кривые колебаний тока г и напряжения У при сдвиге фаз <р = = 60', а также кривая изменения мгновенной мощности Ре — — гУ. В течение времени от 0 до Т/6 ток и напряжение имеют разные знаки и их произведение КУ отрицательно. В последующий промежуток времени, ос Т(Б до Т/2, е' и БГ имеют одинаковые знаки и мгновенная мощность положительна.
Начиная с момента Т(2, мощность снова становится отрицательной, и т.д. Мы имеем,следовательно, колебания мгновенной мощности спеременой знака. 524 Вынужденные кОлеВАния. Негеменные ТОки гл. хх! Изменение знака мгновенной мощности имеет простой физический смысл. В 2 125 мы видели, что, когда генератор посылает ток во внешнюю цепь, в его обмотке развиваются электродинамические силы, тормозящие вращение ротора. Для их преодоления двигатель, вращающий генератор, производит определенную работу, и именно за счет этой работы двигателя во внешней цепи совершается работа тока.
Данный случай соответствует положительной мгновенной мощности — происходит передача энергии от генератора во внешнюю цепь. Напротив, когда мгновенная мощность отрицательна, ток имеет противоположное направление, и электродинамические силы в генераторе способствуют вращению ротора. В эти промежутки времени мы могли бы отсоединить двигатель от генератора, причем вращение последнего поддерживалось бы самим током. При этом энергия из внешней цепи (запасенная в электрическом попе конденсатора и в магнитном поле катушек) переходит в генератор. Таким образом, периодическое изменение знака мгновенной мощности означает, что часть энергии колеблется между генератором и внешней цепью, а, следовательно, среднее значение мощности в этом случае уменьшается.
Вычислим среднюю мощность переменного тока при наличии разности фаз. Работа, совершенная во внешней цепи за время й, равна Р1 ~Й = 1'У<й. Напряжение У, согласно сказанному в Я 220 1см. рис. 381), мы можем разложить на две составляющие: активную 1Г = ба совувш колеблющуюся в фазе с током, н реактивную УР— — ба в|п1рвш (ы2 ~ х/2), смещенную по фазе относительно тока на ~х/2. Соответственно этому при вычислелии работы за полный период Т получим тоже два слагаемых. Одно из них, обусловленное реактивной составляющей напряжения, равно нулю, так как т т ~ вшаА яп (ай ~ х/2) М = ~ ~ яшЛ сов ьл Й = О.
а а Следовательно, полная работа за период определяется только активной составляющей напряжении: Г Ат = 1аба сов р ~ яп ь12й = — 1а1ГаТсов1р. г 1. 2 а 1 гг4 РАЗВЕТВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ Поэтому средняя мощность есть Р = Ат/Т = 4ВУз соз у,/2. Вводя сюда эффективные значения 1, и У„находим окончательно = гете СОЯ~О. (223.3) Полученная формула отличается от (223.1) наличием дополнительного множителя соз иг., который в электротехнике называют коэ4фициеито44 мощности. Она показывает, что в общем случае выделяемая в цепи мощность зависит не только от силы тока и напряжения, но еще и от сдвига фаз между напряжением и током. Если сдвиг фаз между напряжением и током ег = 90', то сов <р = 0 и средняя мощность равна нулю, как бы ни были велики ток и напряжение.
В этом случае энергия, передаваемая за четверть периода от генератора во внешнюю цепь, в точности равна энергии, передаваемой из внешней цепи в генератор в течение следующей четверти периода, и вся энергия колеблется между генератором и внешней цепью (рис. 387 в). Зависимость мощности от сову всегда учитывают при проектировании линий электропередачи на переменном токе. Когда питаемые нагрузки имеют большое реактивное сопротивление (например, моторы, обладающие большой индуктивностью), то ег ф 0 и соз ~о может быть заметно меньше единицы. В этих случаях для передачи нужной мощности (при данном напряжении генератора) необходимо увеличивать силу тока е„что либо приводит к Возрастанию бесполезного тепла Джоуля — Ленца, выделяемого в линии, либо требует увеличения сечения проводов (а следовательно, и веса дорогостоящей меди), что повышает стоимость сооружения линии. Поэтому на практике всегда стремятся распределить нагрузки (лампы, моторы, печи и т.д.) таким образом, чтобы сову был по возможности близок к единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
