Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Рассмотрим опять цепь, содержащую последовательно соединенное сопротивление,индуктивность и емкость, и найдем напряжение на концах этой цепи. Оно представляет собой сумму трех нащьяжений, комплексные амплитуды которых выражаются формулами (227.4) — (227.6). Поэтому комплексная амплитуда полного напряжения есть ы 1 гвг+ зоуо7 + —., = '1ег+ ге1' ~~из~ — — ~~ .
бы С .с,) 536 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ ГЛ. ХХ! Отсюда получаем выражения для фактической амплитуды напряжения (модуль) н для начальной фазы напряжения (аргумент); (70 =(0 ыЬ вЂ” 1/ыС оо = ассой что совпадает с формулами (220.3)., (220.4). 8 228. Комплексные сопротивления Применение комплексных величин для расчетов цепей переменного тока можно еще значительно упростить, если ввести понятие о комплексном сопротивлении. Пусть 1о есть амплитуда силы тока в каком-либо участке цепи, а ио — комплексная амплитуда напряжения.
Тогда комплексное сопротивление я этого участка определяется соотношением ио = х!о. (228.1) Таким образом, комплексное сопротивление участка есть отношение комплексной амплитуды напряжшшя к амплитуде силы тока. Если мы умножим обе части формулы (228.1) на ехрОо!!), то слева мы получим мгновенное значение напряжения и = ио ехр(во!), справа же вместо !о войдет ! = !о ехр(уы!), т.е.
мгновенная сила тока. Поэтому для мгновенных значений напряжения и тока справедлива формула, аналогичная (228.1): и = ха (228.2) Найдем, чему равны комплексные сопротивления в различных частных случаях. Пусть участок цепи имеет только активное сопротивление г. Тогда, если амплитуда тока есть !о, то амплитуда напряжения (см. (227.4)) равна ио =!от и ю=с. (228.3) В этом частном случае комплексное сопротивление не имеет мнимой части и равно активному сопротивлению участка.
Если участок цепи содержит только катушку ицлуктивности Ь, то, согласно (227.5), иоь = !ойо!Ь, поэтому яь = !ыж (228 4) Совершенно так же находим, что в случае конденсатора (формула (227.6)) комплексное сопротивление равно хо = —. 1 (228.5) !ыС Представим себе теперь, что мы имеем какую-нибудь цепь переменного тока, которая может быть сколь угодно сложной. Так как мы рассматриваем только квазистационарные токи, то для мгновенных значений электрических величин справедливы те же законы Кирхгофа, что и лля постоянных токов. Поэтому для любого замкнутого контура (например, контура 1-2-3 — 4 — 5, рис. 396) мы имеем (второе правило Кирхгофа) эыоь ехр (7!о!) = т2 еоь ехр (уы!), 837 4 22В КОМПЛВКСНЫВ СОПРОТИВЛЕНИЯ где еоь — комплексные амплитуды ЭДС генераторов.
Сокращая обе части на ехр 15ые), получим соответствующее уравнение для амплитуд зЫоэ = ~' еою (228.6) Точно так же для любой точки разветвления цепи справедливо первое пра- вило Кирхгофа, которое после сокращения на общий множитель ехр 15ше) имеет вид (228.7) 'Раким образом, мы видим, что законы настоянного тока применимы не к обычным фактическим амплитудам тока, напряжения и ЭДС, но к комплексным амплитудам этих величин, причем под сопротивлениями отдельных участков цепи нужно понимать их комплексные сопротивления. Поэтому решение зздачи о любой цепи переменного тока можно получить из соответствующего решения для постоянного тока, если силу тока, 1 напряжение и ЭДС заменить их комплексными ал|плитудами, а сопро- В| тивление участков — их комплексными сопротивлениями.
3 Отсюда, в частности, получается 5 4 следующее простое правило для вычисления сопротивления цепей: чтобы найти сопротивление цепи для переменного тока, нужно в этой цепи мысленно заменшпь каждую ис. 3 , азветвленная цепь переиндухтивность Ь на ее комплексменного тока нос сопротивление уыЬ, каждую емкость С вЂ” на 1/(/ыС), а все активные сопротивления оставить без изменений. Затем с указанными комплексными сопро|пивлениями нужно произвести |пе же операции, что и при вычислении сокро|пивления для постолннозо |пока, складывая при последовательное| соединении сопротивления, а при параллельном — им обратные величины (проводимости).
Полученная в резулыпате э|лого комплексная величина Я = Х + 5У и буде|а представлять собой полное комплексное сопротивление цепи Эта величина получила название импеданса цепи. Ее вещественная часть Х есть активное сопротивление цепи, а мнимая часть У вЂ” реактивное сопротивление. Модуль импеданса 4|1 = |/Хз + Уз дает сопротивление цепи для переменного тока и определяет амплитуду силы тока при заданной амплитуде напряжения на концах цепи: |о = 11о/14. Аргумент импеданса дает угол та на который напряжение опережает ток в цепи| сбр= 1'/х. Рассмотренный метод комплексных сопротивлений весьма удобен для практических расчетов и поэтому и|ирако применяется в электротехнике.
Он исключительно прост и пе требует вычисления сдвигов фаз (что необходимо при построении векторных диаграмм), так как они уже учтены в 538 вынужденные кОлЕБЛНИя. ПЕРЕмеННЫе тОкИ Гл. ХХ! комплексных сопротивлениях. По сравнению с векторными диаграммами этот метод обладает еще и тем преимуществом, что позволяет вести расчеты с какой угодно точностью, тогда как векторные диаграммы, как и всякий графический метод, отличаются большей наглядностью, но не обеспечивают точности. Для иллюстрации метода комплексных сопротивлений рассмотрим некоторые простейшие примеры, П р и м е р 1. Цепь содержит последовательно соединенные активное сопротивление г и индуктивность б (рис. 397 а).
Рпс. 397. Примеры простых цепей Так как при последовательном соединении складываются сопротивления, то импеданс цепи есть г=г+у б. Поэтому сопротивление всей цепи равно г -,/Р РЭТ* а напряжение опережает ток по фазе на угол Эг = эгссб (зги/г). П р и м е р 2. Цепь состоит из конденсатора емкостью С, параллельно которому присоединено активное сопротивление г (конденсатор с утечкой, рис. 397 6). При параллельном соединении складываются проводимости участков. Поэтому, если Я есть импеданс цепи, то 1/Я = 1/~ + гыС. Отсюда 1 гж 1/г+ ЗыС' Чтобы привести это выражение к виду Я = Х + уУ, умножим и разделим правую часть на 1/г — у >С.
Тогда — Х 'У 1/гг + гСг 1 Ь,гггСг Сопротивление цепи равно г= т'77*-.1,'~зз.*ь. а напряжение опережает ток по фазе на угол 1а = эхссб (У/Х) = — агсэб (РггС). 539 1 228 КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ В данном случае угол яг оказывается отрицательным, а, значит, напряжение отстает по фазе от тока (как и должно быть при емкостном характере цепи). П р и м е р 3. Рассмотрим цепь, которая обсуждалась при изучении резонанса токов (рис. 397 е).
В этом случае мы должны найти сначала импеданс Яя ветви, содержащей индуктивность Так как г и Ь соединены здесь последовательно, то Я,= +уб. Обе же ветви цепи соединены между собой параллельно. Поэтому для импедюяса Я всей цепи имеем 1 1 — = —.— + уыС. Я г+улгь Выражая отсюда Я и уничтожая мнимость в знаменателе, находим после несложных преобразований, что г -Р уы[Ц1 — ьягЬС) — Сгг] (1 ляг гС)г Р,гСггл Найдем условие, при котором мнимая часть импеданса (реактивное сопротивление) обращается в нуль, Этот случай вынужденных колебаний, как мы знаем (3 225), называется резонансом токов. Искомое условие есть Ц1 — ья~ЬС) — Сгг = О.
г Считая, как и раньше, ля 1, » г, находиля, что г г г резонанс токов наступит при частоте ьяо, равной , =1//ХС. Подставляя это значение в выражение для Я и учитывая, что (1 — яягг ВС) = О, получаем резонансное сопротивление контура Я„„= б/С . Приведенные выше результаты мы уже получили раньше (Э 225) другим способом. П р и и е р 4. Для измерения емкости кон- Рис. 398. Мост для изденсаторов употребляют мостовую схему, рабо- меРеггив смкостгг тающую на переменном токе (рис. 398).
Она подобна схеме моста на постоягпюм токе, но отличается от нее тем, что в два плеча схемы включены конденсаторы вместо сопротивлений. К двум противоположным точкам схемы (например, к а и б, рис. 398) присоединен миниатюрный генератор переменной ЭДС (зуммер), а к двум другим (и и г) — индикатор переляешяого тока (например, телефон Т). Процесс измерения заключается в том, что, меняя сопротивления двух других плеч гз и гя, добивагогся такого положения, чтобы между точками е и г колебания напряжения были равны нулю (равновесие моста), т.е. в телефоне не было слышно звука.
Найдем условие равновесия моста. Если бы мы имели ток постоянный, а вместо конденсаторов Ся и Сг были включены сопротивления гя и гг, то при равновесии мы имели бы гя/гг = Гз/гя. 540 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. НЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ ГЛ. ХХ1 В случае переменного тока, как мы знаем, нужно пользоваться комплексными сопротивлениями, те, заменить г1 на 1/ОиС1), а гт — на 1/(/звСз). Поэтому условие равновесия моста на переменном токе есть Сз/С1 гз/г4.
Измеряя на опыте отно|вение гз/гю необходимое для равновесия моста, и зная емкость одного из конденсаторов, отсюда можно определить неизвестную емкость другого конденсатора. Отметим, что при расчетах мы предполагали, что актшшые соттротивления плеч моста, содержащих конденсаторы, малы по сравнению с емкостными сопротивлениями, что обычно и имеет место на практике. П р и м е р 5. При помощи схемы моста на переменном токе можно измерять не только емкости, но и индуктивности. Однако так как катушки индуктивности обычно обладыот заметпым сопротивлением, то здесь уже нельзя пренебрегать активным сопротивлением плеч моста, содержащих ка- тушки, по сравнению с их индуктивным сопров тивлением.
Схелта моста для измерения индуктивностей изображена на рис. 399. Она содержит четыре г, переменных (безыцлукционных) сопротивления гм гг, гз и гы причем под г1 и гз мы будем понимать в дальнейшем полные активные сопротивления плеч 1 и 2, включая и сопротивления катушек. гв Комплексное сопротивление плеча 1 (ср. пример 1) есть г1 -Руины а для плеча 2 оно соответственно равно гз + Зырит.
Поэтому условие равновесия моста на переменном токе есть (г1+уюь1)/1гэ+3ыьг) = гз/гы Рис. 399. Мост для изме. илн иначе рения индуктивностей г1 + уыь! = (гз/г4 Иге + 3ьзйэ). Но для равенства двух комплексных выражений необходимо, чтобы были равны их вещественные и мнимые части порознь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
