Учебник - Оптика - Алешкевич В.А. (1238765), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Àíàëîãîì c çäåñü ÿâëÿåòñÿ ìíèìûé êîýôôèöèåíò 1/(2ik) äèôôóçèè àìïëèòóäû. Ðàññìîòðèì äâà âàæíûõ ïðèìåðà.Äèôðàêöèÿ ãàóññîâà ïó÷êà. Äëÿ ãàóññîâà êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà ñ íà÷àëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì àìïëèòóäûæ r2öA(r , 0) = A0 exp ç - 2 ÷è r0 ø(12.62)ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12.60) èìååò âèäA(r , z ) =Çäåñü r =æ r2öA01= À exp(-i Ô).exp ç - 2è r0 1 - iz z 0 ø÷1 - iz z 0(12.63)x 2 + y 2 , z0 = pr02/l. Ïðîôèëü èíòåíñèâíîñòèI (r , z ) =æöI0r21 2À =exp,ç22222 ÷è r0 (1 + z z 0 ) ø21 + z z0(12.64)à ôàçàÔ=r 2 z z0- arctg(z z 0 ).r02 1 + z 2 z 02(12.65)Èç (12.64) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïó÷îê ñîõðàíÿåò ñâîé ãàóññîâïðîôèëü ïðè ëþáîì z.
Èç-çà äèôðàêöèè åãî øèðèíà r0z óâåëè÷èâàåòñÿ:r0 z = r0 1 + z 2 z 02 ,(12.66)à èíòåíñèâíîñòü ïàäàåò.  äàëüíåì ïîëå (z ? z0) (12.64) ñîâïàäàåò ñ (12.56).Äèôðàêöèîííàÿ ðàñõîäèìîñòü èç (12.66) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîétg J 0 » J 0dr0 zdzz ? L0=l.pr0(12.67)Ñîãëàñíî (12.49) ïðè ôîêóñèðîâêå ïó÷êà ëèíçîé â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòèøèðèíà ãàóññîâà ïó÷êà ðàâíàrF = J 0 f =lf.pr0(12.68)Ýòà âåëè÷èíà ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà ñîâïàäàåò ñ ïðèáëèæåííîéîöåíêîé (12.52) è îáíàðóæèâàåò ïîëíîå ñîâïàäåíèå ñ (11.23). Èíîãäà íàèáîëååóçêóþ ÷àñòü ïó÷êà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû íàçûâàþò ïåðåòÿæêîé, à âåëè÷èíó rF ðàäèóñîì ïåðåòÿæêè.Ôàçîâûé ôðîíò, êàê ñëåäóåò èç (12.65), èç ïëîñêîãî ïîñòåïåííî ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðàáîëè÷åñêèé, õîòÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðèåé äèôðàêöèè îí äîëæåíáûòü ñôåðè÷åñêèì.
 ïðèîñåâîé îáëàñòè ïó÷êà, ãäå ñêîíöåíòðèðîâàíà åãî îñíîâíàÿ ìîùíîñòü, ïàðàáîëè÷åñêèé è ñôåðè÷åñêèé ôàçîâûå ôðîíòû ñîâïàäàþò, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ñïðàâåäëèâîñòè êâàçèîïòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ.  äàëüíåì ïîëåÔ=r 2 z0 1 r 2=k.r02 z2 z(12.69)143Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñ êðèâèçíû ôðîíòà R = z è óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì.Äèôðàêöèÿ ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî ïó÷êà. Åñëè ëàçåð ðàáîòàåò â ðåæèìå ãåíåðàöèè áîëüøîãî ÷èñëà ïîïåðå÷íûõ ìîä (ìíîãîìîäîâîì ðåæèìå), òî ïîïåðå÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ â ïó÷êå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âûõîäå ëàçåðà ïðè z = 0A(r,0) = A0e - r2r02h(r),(12.70)ãäå h(r) ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò. Åå ñðåäíåå çíà÷åíèå h = 0, à äèñïåðñèÿ s2 = 1.Ïóñòü ñòåïåíü ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè (ñì. ëåêöèþ 10) èìååò âèä2g 12 (l ,0) = h(r1 )h(r1 + l) = exp(- l 2 rê0),(12.71)ãäå rê0 íà÷àëüíûé ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè.Ðåøàÿ óðàâíåíèå (12.66) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (12.70), ïîëó÷àåì ðåøåíèåA(r, z), ÿâëÿþùååñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò.
Ñ ó÷åòîì (12.71) äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè àìïëèòóäû A(r, z) ïîëó÷àåì âûðàæåíèåà 12 =é r 2 + r 2 (r - r ) 2 ùÀ( r1, z ) A*(r2 , z )= I 0 exp ê - 1 2 2 - 2 2 1 ú .2r0 zrêzëû(12.72)Øèðèíà ïó÷êà r0z è ðàäèóñ åãî ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè rêz âîçðàñòàþò ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì ïî îäèíàêîâîìó çàêîíór0 z = r0 1 + z 2 z12 ;rêz = rê0 1 + z 2 z12 .(12.73)Çäåñüz1 =1 pr0rýô2 l(12.74) äèôðàêöèîííàÿ äëèíà ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî ïó÷êà; ýôôåêòèâíàÿ øèðèíà rýôîïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì12rýô=11+ 2.2rê0 2r0(12.75)Ó ïðîñòðàíñòâåííî êîãåðåíòíîãî (îäíîìîäîâîãî) ãàóññîâà ïó÷êà rê0 ? r0.Òîãäà rýô = 2r0 è z1 = z0, êàê ýòî áûëî ïîëó÷åíî ðàíåå. Äëÿ ìíîãîìîäîâîãî1 pr0 rê0< z 0.ïó÷êà (N ÷èñëî ïîïåðå÷íûõ ìîä) rê0 = r0 / N < r0, rýô » rê0 è z1 =2 lÐàñõîäèìîñòü ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî (ìíîãîìîäîâîãî) ïó÷êà â äàëüíåì ïîëå(z ? z0) ïðåâûøàåò ðàñõîäèìîñòü J0 êîãåðåíòíîãî ïó÷êà òîãî æå ðàäèóñà:drllr(12.76)J1 = 0z = 0 => J0 =.pr0dzz12prê0Òàêèì îáðàçîì, äèôðàêöèîííàÿ ðàñõîäèìîñòü J0 îäíîìîäîâîãî ïó÷êà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ðàñõîäèìîñòüþ.
Ðåàëüíûå ïó÷êè îáëàäàþò îãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòüþ (rê0 < r0), ïîýòîìó èõ ðàñõîäèìîñòü ïðåâûøàåòäèôðàêöèîííóþ.144Ë Å Ê Ö È ß 13Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ. Ñðåäè ìíîãî÷èñëåííûõ äèôðàêöèîííûõ ÿâëåíèé îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò äèôðàêöèÿ íà ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè (îòðàæåíèè) ïëîñêîé âîëíû ÷åðåçîäíî- èëè äâóõìåðíûå ñòðóêòóðû âîçìóùåíèå â (12.33) ïðèîáðåòàåò ïåðèîäè÷åñêóþ ìîäóëÿöèþ àìïëèòóäû è ôàçû â ïëîñêîñòè Oxy.  ðåçóëüòàòå â óãëîâîìñïåêòðå |U S(kx, ky)|2 ïîÿâëÿþòñÿ ÿðêî âûðàæåííûå ïðîñòðàíñòâåííûå ÷àñòîòû.Äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ÷àñòîòàì, áóäóò óçêèìèè èíòåíñèâíûìè. ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, íàïðàâèâ ëó÷ ëàçåðíîé óêàçêè íàêëîííî íà ïîâåðõíîñòü CD-äèñêà.
Îò åãî ïîâåðõíîñòè áóäóò îòðàæàòüñÿ â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõíåñêîëüêî ñâåòîâûõ ëó÷åé. Ýòè íàïðàâëåíèÿ áóäóò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåíèÿìèíà äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû.Ïîñêîëüêó ïîëîæåíèå äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ çàâèñèò îò äëèíû âîëíû, äèôðàêöèÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà ñâåòà. Êðîìåòîãî, ïðè èçâåñòíîé äëèíå âîëíû ïî ïîëîæåíèþ ìàêñèìóìîâ ìîæíî ñäåëàòüçàêëþ÷åíèå î ïåðèîäàõ ïðîñòðàíñòâåííîé ìîäóëÿöèè è òåì ñàìûì èññëåäîâàòüñàìó ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó.Äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè.
Äèôðàêöèîííîé ðåøåòêîé ÿâëÿåòñÿ ëþáîå óñòðîéñòâî, îáåñïå÷èâàþùåå ïåðèîäè÷åñêóþ ìîäóëÿöèþ âäîëü îäíîãî íàïðàâëåíèÿàìïëèòóäû è ôàçû ïàäàþùåé âîëíû. Íà ðèñ. 13.1 ðåøåòêà ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíà â âèäå ïðîçðà÷íîé ïëàñòèíêè ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ òîëùèíîéâäîëü îñè Ox.Ïðè ïàäåíèè íà ðåøåòêó ïëîñêîé âîëíû âîçìóùåíèå íà åå ïîâåðõíîñòèU (x, y ) = U 0e -ikeox x -ikeoy y .(13.1)Ìîäóëÿöèîííûå ñâîéñòâà ðåøåòêè çàäàþòñÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèåét (x ) =U S ( x, y )= t ( x ) e -i Ô( x ),U ( x, y )(13.2)ãäå U S(x, y) âîçìóùåíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåçðåøåòêó.Ôóíêöèÿ (13.2) ïåðèîäè÷åñêàÿ:t (x) = t (x + d ).(13.3)Âåëè÷èíà d íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ðåøåòêè.×èñëî N òàêèõ ïåðèîäîâ (øòðèõîâ) îáû÷íîâåëèêî: 102 < N < 104.
Ìíîãèå ðåøåòêè îòðàæàþò ñâåò.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ t (x) áóäåò îïèñûâàòü ìîäóëÿöèþ âîëíû ïðè îòðàæåíèè.Ðèñ. 13.1145Ïî õàðàêòåðó ìîäóëÿöèè ðåøåòêè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà àìïëèòóäíûå è ôàçîâûå. Äëÿ àìïëèòóäíûõ ðåøåòîê Ô(x) = 0, äëÿ ôàçîâûõ |t (x)| = 1. ðåçóëüòàòå äèôðàêöèè âîçìóùåíèå â äàëüíåì ïîëå, ñîãëàñíî (12.33), ðàâíîLU (P ) =L21i e ikbU 0 ò e ik (e y -e oy )dy ò t (x )e ik (e x -eox )x dx ,l b00(13.4)ãäå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ L1 è L2 îïðåäåëÿþòñÿ ðàçìåðàìè ðåøåòêè, âûïîëíåííîé â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíèêà. Åñëè äëÿ ïðîñòîòû ïîëîæèòü, ÷òî âåêòîðû e0 è e ëåæàò â ïëîñêîñòè ðèñóíêà, òî ey = e0y = 0 èL2ò dy = L2 .0Äðóãîé èíòåãðàë ïðåäñòàâèì â âèäåL1d2dNd00d(N -1)dò = ò t (x )e ikpx dx + ò + K + òdd00== ò t ( x )e ikpx dx [1 + e ikpd + K + e ikpd (N -1) ] = ò t (x )e ikpx dx1 - e ikpdN.1 - e ikpd(13.5)Çäåñü p = e x - e 0 x = sin j - sin j 0; j è j0 óãëû, îáðàçóåìûå âåêòîðàìè e è e0ñ îñüþ Oz ñîîòâåòñòâåííî, L1 = Nd.
Åñëè áû ðåøåòêà ñîñòîÿëà èç îäíîãî ïåðèîäà, òî âîçìóùåíèå áûëî áû ðàâíîU 1 (P ) =die -ikbU 0 L2t ( x )e ikpx dx .b ò0l(13.6)Ïðè íàëè÷èè N øòðèõîâ1 - e ikpdN.(13.7)1 - e ikpdÂîçìóùåíèå U îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì U1(P ) íà êîìïëåêñíóþ ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ èíòåðôåðåíöèþ âîëí îò öåïî÷êè N âòîðè÷íûõ òî÷å÷íûõèñòî÷íèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè d äðóã îò äðóãà.Ïåðåõîäÿ â (13.7) ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷èìU (P ) = U 1 (P )kpdNæsin1ç22I (P ) = U (P ) = I 1 (P ) çkpd2ç sinè22ökpd ö÷æ÷ = I 1 (P )H çè N , 2 ÷ø .÷ø(13.8)ÇäåñüI L2I 1 (P ) = 02 22l bdò t (x )e2ikpxdx(13.9)0 èíòåíñèâíîñòü ïðè äèôðàêöèè íà îäíîì øòðèõå ðåøåòêè,kpdNæsinkpdç2H (N ,)=çkpd2ç sinè2146ö÷÷÷ø2(13.10)Ðèñ. 13.2Ðèñ. 13.3 ôóíêöèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ, îïèñûâàþùàÿ èíòåðôåðåíöèþ N âîëí, äèôðàãèðîâàâøèõ íà âñåõ øòðèõàõ ðåøåòêè. Åå ãðàôèê ïðè N = 10 ïðåäñòàâëåííà ðèñ.
13.2.Ãëàâíûå ìàêñèìóìû ýòîé ôóíêöèè (Hmax = N 2) ðåàëèçóþòñÿ ïðèkpd(13.11)= mp, èëè d (sin j - sin j 0 ) = ml,2ãäå m = 0, ±1, ±2, ¾ ïîðÿäîê äèôðàêöèè.Óñëîâèå (13.11) îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíîñòü õîäà A1B1 - A2B2 ìåæäó ïàðîé ëó÷åé,ðàçíåñåííûõ íà ðàññòîÿíèå d â ïëîñêîñòè ðåøåòêè, ðàâíà öåëîìó ÷èñëó äëèíâîëí (ðèñ. 13.3). ýòîì ñëó÷àå âîëíû, äèôðàãèðîâàâøèå îò ðàçíûõ øòðèõîâ, ñêëàäûâàþòñÿâ ôàçå, è ñóììàðíîå âîçìóùåíèå âîçðàñòàåò â N ðàç, à èíòåíñèâíîñòü â N 2ðàç.Ìèíèìóìû îáðàçóþòñÿ ïðèkpdN= np, èëè Nd (sin j - sin j 0 ) = nl,(13.12)2ãäå n = ±1, ±2, ¾ ±(N - 1), ±(N + 1), ±(N + 2), ¾Ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè íàõîäÿòñÿ (N - 1) ìèíèìóìîâ.
×åìáîëüøå ÷èñëî ïåðèîäîâ, òåì áîëüøå ìèíèìóìîâ, è òåì óæå è âûøå ãëàâíûåìàêñèìóìû.Óñëîâèå (13.12) îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè, ðàçíåñåííûìèíà ðàññòîÿíèå Nd, ðàâíà öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí, çà èñêëþ÷åíèåì n = ±N,±2N, ¾, êîãäà ïîÿâëÿþòñÿ ãëàâíûå ìàêñèìóìû. Èíòåðôåðèðóþùèå âîëíû îòöåïî÷êè èñòî÷íèêîâ â íàïðàâëåíèÿõ, îïðåäåëÿåìûõ èç (13.12), ãàñÿò äðóã äðóãà.Ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ðåøåòîê.
Ïîñêîëüêó ãëàâíûå ìàêñèìóìû óçêèå, ïðè íåáîëüøîì èçìåíåíèè äëèíû âîëíû ìîæíî çàôèêñèðîâàòü èõ ñìåùåíèå. Ïîýòîìó ðåøåòêè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà. Ðàññìîòðèì âàæíåéøèå ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ðåøåòîê.Àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ õàðàêòåðèçóåò îòêëèê ïðèáîðà íà ìîíîõðîìàòè÷åñêîå âîçìóùåíèå.
Ïðè ñïåêòðàëüíîìàíàëèçå êàæäîé äëèíå âîëíû, â ñîîòâåòñòâèè ñ (13.11), ïðèïèñûâàåòñÿ óãëîâàÿ(èëè ëèíåéíàÿ) êîîðäèíàòà.Ïóñòü äëÿ ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà èñïîëüçóåòñÿ m-é ïîðÿäîê äèôðàêöèè. Ïðèîñâåùåíèè ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì ñ äëèíîé âîëíû l0 íà ýêðàíå, ãäå ôèêñèðóåòñÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà, áóäåò «ðàçìàçàííàÿ» ïîëîñà, øèðèíà êîòî-147ðîé ïðîïîðöèîíàëüíà óãëîâîé øèðèíå m-ãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè H. Ïîëîæåíèå ñåðåäèíû ýòîé ïîëîñû îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì(13.13)pm d = d (sin j m - sin j 0 ) = m l 0 .Âáëèçè êîîðäèíàòû kpmd/2 ôóíêöèþ H ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå2HmNk 0 ( p - pm )d k 0 ( p - pm )d ùésinêú2222 é Nk 0 ( p - pm )d ù=N2êú » N sinc êúû , (13.14)Nk(pp)dk(pp)dë2mm0êúsin 0êëúû22é k ( p - pm )d ùãäå k0 = 2p/l0; sinc ê 0úû » 1 .ë2Èñïîëüçóÿ (13.11) è (13.13), ìîæíî çàïèñàòül - l0 ùéH m = N 2 sinc 2 ê pmN.l 0 úûë(13.15)Ââåäåì äèôðàêöèîííóþ àïïàðàòíóþ ôóíêöèþg A (l - l 0 ) =1æ l - l0 ösinc 2 ç p.Dl Aè Dl A ø÷(13.16)ÇäåñüDl A =l0mN(13.17) øèðèíà àïïàðàòíîé ôóíêöèè.
Òîãäà(13.18)H m = N 2 Dl A g A (l - l 0 ).Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü. Åñëè ñïåêòð àíàëèçèðóåìîãî ñâåòà ñîñòîèòèç äâóõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòè, íî ñ ðàçíûìè äëèíàìèâîëí l01 è l02, òîH m = N 2 Dl A [ g A (l - l 01 ) + g A (l - l 02 )] .(13.19)Ïðè l02 - l01 = DlA ìàêñèìóì ôóíêöèè gA(l - l02) ñîâïàäàåò ñ ïåðâûììèíèìóìîì ôóíêöèè gA(l - l01), êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 13.4. ýòîì ñëó÷àå «ïðîñåäàíèå» ôóíêöèè Hm â ñåðåäèíå äîñòèãàåò 20 %. Íàëè÷èåäâóõ ìàêñèìóìîâ ïðè òàêîì êîíòðàñòå âïîëíå óâåðåííî ôèêñèðóåòñÿ êàê âèçóàëüíî, òàê è ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîòîäåòåêòîðîâ. Íà ýòîì îñíîâàí êðèòåðèé Ðýëåÿ, ñîãëàñ2Hm /NDlAíî êîòîðîìó ìèíèìàëüíàÿ ðàçíîñòü äëèí âîëí,1,0êîòîðóþ ìîæíî èçìåðèòü ñ ïîìîùüþ ðåøåòêè, ðàâíà0,5Dl min = Dl A =0l01 l02Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
