Учебник - Оптика - Алешкевич В.А. (1238765), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ä. Îíè ìîãóòèçìåíÿòüñÿ îò äåñÿòêà ìèêðîìåòðîâ äî äåñÿòêà ìåòðîâ. Ñîîòâåòñòâåííî äëèíàL0 èçìåíÿåòñÿ îò ñîòåí ìèêðîìåòðîâ äî 108 ì.Îáîáùàÿ ðåçóëüòàòû îïèñàííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèéâûâîä. Åñëè ïó÷îê ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå L = L0, òî ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü, ÷òî âîëíîâîé ôðîíò îñòàåòñÿ ïëîñêèì, à ïó÷îê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî âäîëü ñâîåé îñè.
 ýòîì ñëó÷àå ïó÷îê ìîæíî çàìåíèòü åãî ãåîìåòðè÷åñêèì îáðàçîì ëó÷îì, ñîâïàäàþùèì ñ åãî îñüþ. Äàëåå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòüçàêîíû åãî îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ è ïîñòðîèòü òåì ñàìûì ãåîìåòðè÷åñêóþîïòèêó. Íà ðàññòîÿíèÿõ L ³ L0 ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñàíèå ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì è íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü âîëíîâóþ òåîðèþ äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà.Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ïëîäîòâîðíûì èíñòðóìåíòîì, èñïîëüçóåìûì äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, çà èñêëþ÷åíèåì îáëàñòåé âáëèçè ôîêàëüíûõ òî÷åê, ãäå ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ïó÷êà ìîæåò áûòü ñîèçìåðèì ñ äëèíîé âîëíû.Èñòîðè÷åñêè âñå ïðîèçîøëî ñ òî÷íîñòüþ äî íàîáîðîò. Çàêîíû îòðàæåíèÿñâåòà áûëè èçâåñòíû åùå ãðåêàì â àíòè÷íûå âðåìåíà, à çàêîí ïðåëîìëåíèÿñâåòà áûë ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåí â 1621 ã.
ãîëëàíäñêèì ó÷åíûì Â. Ñíåëèóñîì. Îòñòóïëåíèå îò ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ áûëî îòêðûòî ïîçäíåå èòàëüÿíñêèì ôèëîñîôîì è ôèçèêîì Ô. Ãðèìàëüäè. Ðåçóëüòàòû åãî èññëåäîâàíèé áûëè îïóáëèêîâàíû ïîñëå åãî ñìåðòè â 1665 ã.Ýòî îòñòóïëåíèå è áûëî íàçâàíî äèôðàêöèåé (îò ëàò. diffractus ðàçëîìàííûé). Íà ñàìîì äåëå, äèôðàêöèÿ íåîòúåìëåìîå ñâîéñòâî âîëí ëþáîé ïðèðîäû ñòðåìèòüñÿ ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ, çàõîäÿ â îáëàñòü ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè, îãèáàÿ ïðåïÿòñòâèÿ è ò. ä.Åùå áîëåå ÿðêî äèôðàêöèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïëîñêîé âîëíû(êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà) ÷åðåç ïðîçðà÷íûå îáúåêòû, ìîäóëèðóþùèåàìïëèòóäó èëè ôàçó âîëíû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ.
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè òàêèõ ïðîñòðàíñòâåííî ìîäóëèðîâàííûõâîëí ïðîèñõîäèò ïåðåðàñïðåäåëåíèå îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî ïðîèñõîäèëî ïðè èíòåðôåðåíöèè.Èäåÿ ñâåñòè çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû ê èíòåðôåðåíöèè âîëí ôèêòèâíûõ âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ, ðàñïðåäåëåííûõ íà ïîâåðõíîñòè âîëíîâîãîôðîíòà, ïðèíàäëåæèò Ôðåíåëþ (1815). Îí íàïîëíèë èçâåñòíûé êèíåìàòè÷å120ñêèé ïðèíöèï ãîëëàíäñêîãî ôèçèêà Õ.
Ãþéãåíñà íîâûì ñîäåðæàíèåì. Ýòî ïîçâîëèëî êîëè÷åñòâåííî îáúÿñíèòü ðÿä äèôðàêöèîííûõ ÿâëåíèé, ÷òî â ñâîþî÷åðåäü ñûãðàëî âûäàþùóþñÿ ðîëü â îêîí÷àòåëüíîì ñòàíîâëåíèè êîíöåïöèèâîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà.Ïðèíöèï Ãþéãåíñà Ôðåíåëÿ. Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ñôåðè÷åñêîéâîëíû îò òî÷å÷íîãî ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èñòî÷íèêà â òî÷êå P0 (ðèñ. 11.1). òî÷êå P íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ áóäåò ðàâíàE (P ) =C i (wt -kr )e= Ae i wt ,r(11.2)C -ikre ñêàëÿðíàÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà; C êîíñòàíòà, çàâèñÿrùàÿ îò ìîùíîñòè èñòî÷íèêà.Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â òî÷êó P ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â äâàýòàïà.Íà ïåðâîì ýòàïå ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà äîñòèãàåò íåêîòîðîé ïðîèçâîëüíîéñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè S, îõâàòûâàþùåé èñòî÷íèê.
Íà ýòîé ïîâåðõíîñòèêàê áû ïîÿâëÿþòñÿ âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè.Íà âòîðîì ýòàïå âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè èñïóñêàþò ñâîè ñôåðè÷åñêèå âîëíû, êîòîðûå èíòåðôåðèðóþò â òî÷êå P. Îäíàêî, êðîìå ÷àñòîòû ñâåòà, ïàðàìåòðû ýòèõ èñòî÷íèêîâ íåèçâåñòíû. Ôðåíåëü ïðåäïîëîæèë, ÷òî âîçìóùåíèå, ïîñûëàåìîå ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêîé, ïðîïîðöèîíàëüíî åå ïëîùàäè ds è çàâèñèò îò óãëà íàêëîíà j ìåæäó íîðìàëüþ ê ïëîùàäêå è íàïðàâëåíèåì â òî÷êóíàáëþäåíèÿ.1Ïîñêîëüêó â òî÷êå P ðåãèñòðèðóåòñÿ èíòåíñèâíîñòü I = | A | 2, â äàëüíåé2øåì ìíîæèòåëü e iwt îïóñêàåì.
 ñîîòâåòñòâèè ñ äâóõýòàïíûì ðàññìîòðåíèåìãäå A =A(P ) =Còò r1 e -ik rS1e -ik rCK (j)d s = e -ikr ,rr(11.3)ãäå K(j) íåèçâåñòíûé êîýôôèöèåíò, çàâèñÿùèé îò óãëà íàêëîíà j . Åãî èíîãäàíàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì íàêëîíà. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (11.3) íåîáõîäèìî, ÷òîáû K(j) áûë óáûâàþùåé ôóíêöèåé j. Ôðåíåëü ïðåäïîëîæèë, ÷òîïðè j = p/2 K(p/2) = 0. Êðîìå òîãî, ýòîò êîýôôèöèåíò äîëæåí áûòü ðàçìåðíûì:[K ] = ì-1.
Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ïàðàìåòðîì ñ ðàçìåðíîñòüþ äëèíû ÿâëÿåòñÿ äëèíà âîëíû l, òî K ~ 1/l.Ðàññìîòðèì òåïåðü äèôðàêöèþ ñôåðè÷åñêîé âîëíû íà ýêðàíå Ý ñ îòâåðñòèåì ïëîùàäüþ S (ðèñ. 11.2).Ðèñ. 11.1Ðèñ. 11.2121Äëÿ ýòîãî îêðóæèì èñòî÷íèê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ ïëîùàäüþ S¢ òàêèìîáðàçîì, ÷òîáû îíà ïðîõîäèëà ÷åðåç ýêðàí. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìàòåðèàëýêðàíà ïîëíîñòüþ ïîãëîùàåò ñâåò è ñàì íå èçëó÷àåò, òî âòîðè÷íûå èñòî÷íèêèíà îòâåðñòèè òàêèå æå, êàê è â îòñóòñòâèå ýêðàíà. ÏîýòîìóA(P ) =Còò r1r e -ik (r +r)K (j)d s.(11.4)1SÈíòåãðàë (11.4) íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííûì èíòåãðàëîì.
Äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿâîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì âåêòîðíûõ äèàãðàìì.Çîíû Ôðåíåëÿ. Âíà÷àëå ðàññ÷èòàåì çîíû Ôðåíåëÿ. Äëÿ ýòîãî îêðóæèì òî÷êóP0 ñôåðîé ðàäèóñîì r1 = a (ðèñ. 11.3).Ïóñòü òî÷êà P ðàñïîëîæåíà íà ðàññòîÿíèè b îò ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Ìûñëåííî öèðêóëåì, îäíà íîæêà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå P, ïðîâåäåì ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû îêðóæíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íîæêàìèlllöèðêóëÿ ðàâíû b + , b + 2 , ¾, b + m . Òîãäà ñôåðà áóäåò ðàçäåëåíà íà êîëüöå222âûå îáëàñòè, íàçûâàåìûå çîíàìè Ôðåíåëÿ.Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî ïîâåðõíîñòè kr1 = ka = const, ïðîèçâåäåíèå kr áóäåò èçìåíÿòüñÿ íà âåëè÷èíó p ïðè ïåðåõîäå îò öåíòðà ïåðâîé çîíû (òî÷êè O)ê åå êðàþ (òî÷êå 1 ), çàòåì ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè 1 ê òî÷êå 2 è ò.
ä.Ðàññ÷èòàåì ðàäèóñ rm è ïëîùàäü sm m-é çîíû. Ðàäèóñ r1 ïåðâîé çîíû îïðåäåëÿåòñÿ, êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 11.3, èç óðàâíåíèé2löæa 2 - (a - d)2 = r12 = ç b + ÷ - (b + d)2 .è2ø(11.5)Ïîñêîëüêó b ? l, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíîé l2/4 = lb â ïðàâîé ÷àñòè(11.5).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìr1 =abl.a +b(11.6)Ïëîùàäü ïåðâîé çîíûpab(11.7)l.a +bÇàìåíèâ â (11.6) l íà ml, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ âíåøíåãî ðàäèóñà m-é çîíûs 1 = pr12 =rm =abml .a +b(11.8)Ïëîùàäü m-é çîíû ðàâíà ïëîùàäè êîëüöàs m = p(rm2 - rm2-1 ) = pr12 = s 1 .Ðèñ.
11.3122(11.9)Òàêèì îáðàçîì, ðàäèóñû çîí óâåëè÷èâàþòÿ~ m , à ïëîùàäè âñåõ çîí îäèíàêîâû. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ðàçëè÷èå âêëàäîâ çîí â äèôðàêöèîííûé èíòåãðàë (11.4) îáóñëîâëåíîlòîëüêî ðàçíûìè ðàññòîÿíèÿìè rm = b + m2è óãëàìè íàêëîíà jm.Ïðè èíòåãðèðîâàíèè â êà÷åñòâå ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè âûáåðåì áåñêîíå÷íîóçêèå êîëüöà ïëîùàäüþ ds, êîíöåíòðè÷íûå ñ çîíàìè Ôðåíåëÿ.
Åñëè êîìïëåêñíîé àìïëèòóäå A ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð A, òî èíòåãðèðîâàíèå ñâåäåòñÿ ê âåêòîðíîìó ñóììèðîâàíèþ:A = ò dA,(11.10)Sãäå âåêòîð dA ïîä èíòåãðàëîì îïðåäåëåí ñâîåé àáñîëþòíîé âåëè÷èíîéCdA =K (j)d s è óãëîì y = k(a + r), çàäàþùèì åãî íàïðàâëåíèå íà äèàãðàììåar(ðèñ. 11.4).Äëÿ ïðîñòîòû àíàëèçà ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèé ïðèìåì çà íà÷àëî îòñ÷åòà âåëè÷èíó y0 = ka, ïîëîæèâ åå ðàâíîé íóëþ. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññòîÿíèå b ðàâíî öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí, ïîýòîìó êîëåáàíèÿ ïîëÿ íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè è â òî÷êå íàáëþäåíèÿ P ïðîèñõîäÿò â ôàçå. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå èñïîëüçóåòñÿ ëèøü äëÿ óäîáñòâà îïðåäåëåíèÿ ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèéè íå íàêëàäûâàåò êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà ïîëó÷åííûå äàëåå ðåçóëüòàòû.Âêëàä ïåðâîé çîíû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîìA1 =ò dA .(11.11)s1Ýòîò âåêòîð èçîáðàæåí íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 11.5).Âêëàä ïåðâûõ äâóõ çîí îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîìA 1+ 2 = A 1 + A 2 =ò dA + ò dA.s1(11.12)s2Ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà èçîáðàæåíà íà ðèñ.
11.6.Âêëàä âòîðîé çîíû ìåíüøå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå: A2 < A1 (óâåëè÷èëèñüóãîë j è ðàññòîÿíèå r) è ñäâèíóò ïî ôàçå íà p. Åñëè ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèåïî âñåì çîíàì Ôðåíåëÿ, òî âåêòîð A îïðåäåëèòñÿ èç äèàãðàììû, íàçûâàåìîéñïèðàëüþ Ôðåíåëÿ (ðèñ. 11.7).Çàìåòèì, ÷òî îòíîøåíèå sm/rm íå çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ b. Ýòî îçíà÷àåò,÷òî âåëè÷èíû A1, A2 è ò. ä. òàêæå íå çàâèñÿò îò b.Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ïîçâîëÿåò ëèøü â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ îïðåäåëèòü àìïëèòóäó âîçìóùåíèÿ â òî÷êå P. Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà A îïðåäåëÿåòñÿèç (11.3) è ðàâíàÐèñ. 11.4Ðèñ. 11.5Ðèñ. 11.6Ðèñ.
11.7123C(11.13).a +bÄèàãðàììà, êðîìå òîãî, íåâåðíî îïðåäåëÿåò ôàçó âîçìóùåíèÿ â òî÷êå P. Ýòà ôàçà,êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, äîëæíà ñîâïàäàòüñ ôàçîé êîëåáàíèé íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ ðàâíà íóëþ (ïðè âûáðàííîìíà÷àëå îòñ÷åòà j0 = ka = 0).Ðèñ. 11.8×òîáû óñòðàíèòü îòñòàâàíèå âåêòîðà Aïî ôàçå íà p/2, âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè íàäåëÿþòñÿ ôàçîâûì ñäâèãîì «âïåðåä »íà (+p/2) ââåäåíèåì â äèôðàêöèîííûé èíòåãðàë ìíîæèòåëÿ e i(p/2) = i. Ýòîò ìíîæèòåëü ïðèñîåäèíÿþò ê êîýôôèöèåíòó íàêëîíà, è ïîñëåäíèé ñòàíîâèòñÿ êîìïëåêñíûì:A=K (j) =if (j).l(11.14)Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îñòàëîñü ëèøü îïðåäåëèòü âèä ôóíêöèè f. Îäíàêî ýòîâîçìîæíî ñäåëàòü ëèøü â òåîðèè äèôðàêöèè, îñíîâàííîé íà ðåøåíèè óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. ñëåäóþùåé ëåêöèè áóäóò ðàññìîòðåíû îñíîâû ñêàëÿðíîé òåîðèè äèôðàêöèè. Çäåñü îãðàíè÷èìñÿ àíàëèçîì ïðîñòåéøèõ äèôðàêöèîííûõ çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì çîííîé òåîðèè Ôðåíåëÿ è ãðàôè÷åñêîãî ðàñ÷åòà àìïëèòóäû äèôðàãèðîâàâøåé âîëíû.Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì îòâåðñòèè.
Åñëè ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà ïàäàåò íà ýêðàíñ êðóãëûì îòâåðñòèåì r0, òî àìïëèòóäà âîëíû â òî÷êå P íà îñè îòâåðñòèÿçàâèñèò îò ÷èñëà îòêðûòûõ çîí Ôðåíåëÿ (ðèñ. 11.8).Ïðè ôèêñèðîâàííîì ïîëîæåíèè èñòî÷íèêà ÷èñëî îòêðûòûõ çîí èçìåíÿåòñÿñ ðàññòîÿíèåì b. Îíî îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿrm =abm l = r0 .a +b(11.15)r02 æ 1 1 öç + ÷.l èa bø(11.16)Ñëåäîâàòåëüíî,m=Ïðè ïåðåìåùåíèè òî÷êè P âäîëü îñè àìïëèòóäà âîçìóùåíèÿ áóäåò ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿòüñÿ, äîñòèãàÿ ìàêñèìóìà ïðè íå÷åòíîì m è ìèíèìóìà ïðè÷åòíîì m.
Àáñîëþòíûé ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ðàññòîÿíèè b, êîãäà m = 1. ýòîì ñëó÷àå (ñì. ðèñ. 11.7)Amax = A1 = 2 A = 2C.a +b(11.17)Ñîîòâåòñòâåííî èíòåíñèâíîñòü âîëíû ïîâûøàåòñÿ â ÷åòûðå ðàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ èíòåíñèâíîñòüþ âîëíû â îòñóòñòâèå ýêðàíà.Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýêðàí ñ îòâåðñòèåì ïîäîáåí ëèíçå. Îí ôîðìèðóåò èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà â òî÷êå P, äëÿ êîòîðîé m = 1.
Åñëè ôîðìóëó (11.16) ïåðåïèñàòü â âèäå124l1 1+ = 2,a b r0(11.18)òî ýòî âûðàæåíèå àíàëîãè÷íî ôîðìóëå ëèíçû, ó êîòîðîé ôîêóñíîå ðàññòîÿíèåf = r02/l. Ïðè r0 = 0,5 ìì è l = 500 íì f = 50 ñì.Ýêðàí ñ îòâåðñòèåì âìåñòî îáúåêòèâà èñïîëüçîâàëñÿ â ôîòîêàìåðå îáñêóðà(îò ëàò. obscurans çàòåìíÿþùèé). Íà ôîòîïëàñòèíêå èëè ìàòîâîé ïëàñòèíêåïîëó÷àëîñü èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà, îäíàêî êà÷åñòâî ýòîãî èçîáðàæåíèÿ áûëîõóæå, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè îáúåêòèâà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èçîáðàæåíèåêàæäîé òî÷êè ôîòîãðàôèðóåìîãî ïðåäìåòà íà îáðàáîòàííîé ôîòîïëàñòèíêåïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî êîíöåíòðè÷åñêèõ êîëåö ñî ñâåòëûì ïÿòíîìâ öåíòðå ïðè ÷åòíîì m (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
