Учебник - Оптика - Алешкевич В.А. (1238765), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ïîäñòàâèâ (12.31) â (12.12), ñ ó÷åòîì (12.32) ïîëó÷èìU (P ) =i e -ikbl bòò U å (x, y )eik x x + ik y ydxdy,(12.33)åãäå kx = kex, ky = key, â çíàìåíàòåëå (12.12) ïîëàãàåì r = b, (cos j1 + cos j)/2 = 1.Ââåäåì ôóðüå-àìïëèòóäó ôóíêöèè U S(x, y):U å (k x , k y ) =òò U å ( x, y)eik x x + ik y ydxdy.(12.34)åÑëåäîâàòåëüíî,U (P ) =i e -ikbU å (k x , k y ).l b(12.35)Ñàìà ôóíêöèÿ U å ( x , y ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå äâóõìåðíîãî èíòåãðàëà Ôóðüå:U å ( x, y ) =1(2p)2òò U å (k x , k y )e-ik x x -ik y ydk x dk y .(12.36)Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (12.35) ñïðàâåäëèâî è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âîçìóùåíèÿ U S(x, y), âîçíèêàþùåãî ïðè ïàäåíèè íàáîðà ïëîñêèõ âîëí ïîä íåáîëüøèìè óãëàìè ê îñè Oz.Èíòåíñèâíîñòü â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå â äàëüíåì ïîëå ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé211 U å (k x , k y )2I (P ) = U (P ) = 2 2.(12.37)22l bÂûðàæåíèå (12.37) ïîêàçûâàåò, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîñòðàíñòâåííîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè âîçìóùåíèÿ â ïëîñêîñòè äèôðàêöèîííîãî îòâåðñòèÿ.
Âåëè÷èíû kx = kcos a è ky = kcos b íàçûâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííûìè ÷àñòîòàìè, à ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü |U S(kx, ky)|2 îïèñûâàåò óãëîâîé ñïåêòð.Òàêèì îáðàçîì, äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà ÿâëÿåòñÿ âîëíîâûì ïðîöåññîì, ïðèâîäÿùèì ê ôîðìèðîâàíèþ óãëîâîãî ñïåêòðà íà ýêðàíå, íà êîòîðîì íàáëþäàåòñÿäèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà.×ðåçâû÷àéíî âàæíî îòìåòèòü, ÷òî âî ìíîãèõ îïòè÷åñêèõ ñõåìàõ äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó Ôðàóíãîôåðà ïîëó÷àþò â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ñîáèðàþùåéëèíçû, ïîìåùàåìîé ïîçàäè äèôðàêöèîííîãî ýêðàíà. Ëèíçà ñîáèðàåò ïàðàëëåëüíûå ëó÷è, èäóùèå îò âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ, â ñâîåé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè.  ýòîì ñëó÷àå â (12.37) ðàññòîÿíèå b ðàâíî ôîêóñíîìó ðàññòîÿíèþ ëèíçû.Ñëåäîâàòåëüíî, îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü äàëåêî îòîäâèãàòü ýêðàí äëÿ íàáëþäåíèÿ êàðòèíû Ôðàóíãîôåðà, òåì áîëåå ÷òî â ðÿäå çàäà÷ L0 ìîæåò äîñòèãàòüäåñÿòêîâ è áîëåå ìåòðîâ.Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ïðÿìîóãîëüíîì îòâåðñòèè.
Ïóñòü ïëîñêàÿ âîëíàïàäàåò íîðìàëüíî íà ýêðàí ñ ïðÿìîóãîëüíûì îòâåðñòèåì ðàçìåðîì d1 ´ d2. ÒîãäàìïU 0 , | x | £ d1 2, | y | £ d 2 2;U å ( x, y ) = íïî0, | x | > d1 2 èëè | y | > d 2 2 .(12.38)137Ïîäñòàâëÿÿ (12.38) â (12.34), ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå è ïåðåõîäÿ ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷àåìI (P ) = I (k x , k y ) =æ k yd2 öI 0 (d1d 2 )2æk d ösinc 2 ç x 1 ÷ sinc 2 ç÷.2 2èøèl b22 ø(12.39)Äâóõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè (12.39) õîðîøî îïèñûâàåò ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìóþ äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó (ðèñ. 12.7).Ñäåëàåì àêöåíò íà òðåõ âàæíûõ ìîìåíòàõ.1.
Îòìåòèì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ àíàëîãèþ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè|U S(kx, ky)|2 è ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè |U(w)|2 èìïóëüñà U(t) äëèòåëüíîñòüþ tìïU 0 , | t | £ t 2;U (t ) = íïî0, | t | > t 2,(12.40)2æ wt öU (w) = U 02 t 2 sinc 2 ç ÷ .è 2ø(12.41)äëÿ êîòîðîãî (12.39) ïðîñòðàíñòâåííûå ÷àñòîòû kx è ky àíàëîãè÷íû ÷àñòîòå w â (12.41),âåëè÷èíû d1 è d2 àíàëîãè÷íû t.2. Ïîëîæåíèÿ ìèíèìóìîâ èíòåíñèâíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿìè, äëÿêîòîðûõ kxmd1/2 = lm1, kymd2/2 = lm2, èëècos a m =k xm m1l=;kd1cos bm =k ymk=m2 l,d2m1, m2 = ±1, ± 2, ± 3,K .
(12.42)Îñíîâíàÿ ìîùíîñòü âîëíû ñêîíöåíòðèðîâàíà â ïðåäåëàõ öåíòðàëüíîãî äèôðàêöèîííîãî ïÿòíà-ïðÿìîóãîëüíèêà, óãëîâûå ðàçìåðû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ èç (12.42) ïðè m1 = ±1, m2 = ±1. ×åì ìåíüøå ðàçìåðû îòâåðñòèÿ, òåì áîëüøåóãëîâûå ðàçìåðû ýòîãî ïÿòíà (è âñåé äèôðàêöèîííîé êàðòèíû). Óñëîâèÿ (12.42)îçíà÷àþò, ÷òî â ñïåêòðå âîçìóùåíèÿ (12.38) ïðîñòðàíñòâåííûå ÷àñòîòû, êðàòíûå íèçøèì ÷àñòîòàì 2p/d1 è 2p/d2, îòñóòñòâóþò.3. Èíòåíñèâíîñòü I (0, 0) â öåíòðå êàðòèíû ìåíüøå I0. Âåëè÷èíó I (0, 0) ìîæíî îöåíèòü, èñõîäÿ èç ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìîùíîñòè I0d1d2 âîëíû, ïðîøåäøåé ÷åðåç ïðÿìîóãîëüíîå îòâåðñòèå. Ëèíåéíûå ðàçìåðû öåíòðàëüíîãî ïÿòíàíà ðàññòîÿíèè b ðàâíû d1¢ = 2b cos am = 2bl/d1; d 2¢ = 2b cos bm = 2bl/d2.
Åñëèïðèíÿòü, ÷òî ìîùíîñòü ñêîíöåíòðèðîâàíà â ïðåäåëàõ ïðÿìîóãîëüíèêà d1¢/2 ´ d2¢/2, òîI 0d1d 2 = I (0, 0)d1¢ d 2¢.2 2(12.43)ÏîýòîìóI (0,0) =Ðèñ. 12.7138I 0 (d1d 2 ) 2l 2b 2(12.44)è ñîâïàäàåò ñ àíàëîãè÷íîé âåëè÷èíîé â (12.39).Åñëè ïðÿìîóãîëüíîå îòâåðñòèå ñèëüíî âûòÿíóòî (d2 ? d1), òî ãîâîðÿò î ùåëè øèðèíîé d1.Ìàêñèìóìû âäîëü íàïðàâëåíèÿ, ïàðàëëåëüíî-Ðèñ. 12.8ãî îñè Oy, ðàñïîëàãàþòñÿ íàñòîëüêî áëèçêî, ÷òî äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíàñòàíîâèòñÿ îäíîìåðíîé (ðèñ. 12.8).Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà êðóãëîì îòâåðñòèè.
Ïóñòü â ýêðàíå èìååòñÿ êðóãëîå îòâåðñòèå ðàäèóñà r0. Ïðîâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëÿðíûõêîîðäèíàò, ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â âèäå2I (Ð ) = I (k ^ ) =I 0 (pr02 ) 2 é 2J 1 (k ^ r0 ) ù.l 2b 2 êë k ^ r0 úû(12.45)Çäåñü k ^ = k x2 + k y2 = k sin J, J óãîë ìåæäó îñüþ Oz è íàïðàâëåíèåì â òî÷êóP. Ïî ñâîåé ñòðóêòóðå âûðàæåíèå (12.45) î÷åíü ïîõîæå íà (12.39). ÔóíêöèÿJ1(x) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Áåññåëÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Íà ðèñ. 12.9 ïðåäñòàâëåí2é 2J (x) ùãðàôèê çàâèñèìîñòè ê 1 ú îò âåëè÷èíû x.ë x ûÄèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà â äàëüíåì ïîëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôðàêöèîííûå êîëüöà, îêðóæàþùèå ÿðêîå êðóãëîå ïÿòíî.Íà ðèñ. 12.10 ïîêàçàíà ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìàÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà.Äèôðàêöèîííûå êîëüöà íàçûâàþòñÿ êîëüöàìè Ýéðè. Óãëîâîé ðàçìåð öåíòðàëüíîãî ïÿòíà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ(12.46)x = k ^ r0 = kr0 sin J 0 = 1,22p.Îòñþäàsin J 0 =Ðèñ.
12.90,61l.r0(12.47)Ðèñ. 12.10139Ðèñ. 12.11Îáû÷íî r0 > l, ïîýòîìósin J 0 » J 0 =0,61l.r0(12.48)Ðàäèóñ öåíòðàëüíîãî ïÿòíà r0b (è äðóãèõ êîëåö) ëèíåéíî íàðàñòàåò ñ ðàññòîÿíèåì b: r0b = J0b. Çà ýêðàíîì ñ îòâåðñòèåì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ðàñõîäÿùèéñÿñâåòîâîé ïó÷îê, îñíîâíàÿ ìîùíîñòü êîòîðîãî çàêëþ÷åíà âíóòðè êîíóñà ñ óãëîì 2J0 ïðè åãî âåðøèíå. Ýòó óãëîâóþ ðàñõîäèìîñòü íàçûâàþò äèôðàêöèîííîé;îíà õàðàêòåðèçóåòñÿ óãëîì J0, èëè óãëîì äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè.Íà ðèñ. 12.11 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî ðàñïðîñòðàíåíèå âäîëü îñè Oz ïó÷êàñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè. Äëÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè øòðèõîâîé ëèíèåé âûäåëåíà öèëèíäðè÷åñêàÿ îáëàñòü ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì íà÷àëüíîìó ðàäèóñó r0 ñâåòîâîãî ïó÷êà, è îòòåíåíà îáëàñòü íà ãðàôèêàõ I(r), â êîòîðîéçàêëþ÷åíà îñíîâíàÿ ìîùíîñòü ïó÷êà.Âèäíî, ÷òî îñíîâíàÿ ìîùíîñòü çàêëþ÷åíà âíóòðè ïðîñòðàíñòâà, õàðàêòåðíûå ãðàíèöû êîòîðîãî èçîáðàæåíû äâóìÿ èçãèáàþùèìèñÿ ëèíèÿìè, ñòðåìÿùèìèñÿ â äàëüíåì ïîëå (z > L0 = r02/l) ê àñèìïòîòàì ñ óãëîì 2J0 ìåæäó íèìè.Ïîëå â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû.
Ïðè ïàäåíèè ïëîñêîé âîëíû íà ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ðàäèóñîì r0 è ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ôîðìèðóåòñÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà Ôðàóíãîôåðà.Äåéñòâèòåëüíî, ëèíçà, ñ îäíîé ñòîðîíû, âûïîëíÿåò ðîëü êðóãëîãî îòâåðñòèÿ ðàäèóñà r0, à ñ äðóãîé ñîáèðàåò â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíûåëó÷è îò âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ. Ïîýòîìó â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè áóäåò ðàñïîëîæåíî öåíòðàëüíîå ïÿòíî, îêðóæåííîå êîëüöàìè Ýéðè. Ðàäèóñ ýòîãî ïÿòíàïîëó÷àåòñÿ ïðè b = f ðàâíûì:rF = J 0 f =0,61lf.r0(12.49)Íà ðèñ. 12.12 ïîêàçàíà ñõåìà ôîêóñèðîâêè êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà ñîáèðàþùåé ëèíçîé.Êðèâûìè ëèíèÿìè îòìå÷åíà ãðàíèöà îáëàñòè, â êîòîðîé ñîñðåäîòî÷åíà îñíîâíàÿ ìîùíîñòü âîëíû.
Ïîñëå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ïó÷îê ïðèîáðåòàåò áîëüøóþ ðàñõîäèìîñòüJF »140l.rF(12.50)Åñëè áû ëèíçû íå áûëî, òî ïó÷îê â äàëüíåì ïîëå ïðèîáðåë áû ìåíüøóþ ðàñõîäèìîñòüJ0 ~ l/r0 < JF, ïîñêîëüêó rF < r0.Îöåíèì ðàäèóñ ïÿòíà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî îáðàòèìîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, çàëîæåííîå âÐèñ. 12.12óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîïó÷îê, èñïóùåííûé èç ôîêàëüíîé ïëîñêîñòèâ íàïðàâëåíèè ëèíçû (ñïðàâà íàëåâî), ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ ïîñëå ëèíçûâ èñõîäíûé ïó÷îê ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè è ïëîñêèìôðîíòîì.
Äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåííîñòè ñâåòîâîãî ïîëÿ (àìïëèòóäûè ôàçû) â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè äîëæíî áûòü òàêèì æå, êàê è â äèôðàêöèîííîéêàðòèíå Ôðàóíãîôåðà, îáðàçóþùåéñÿ ïîçàäè êðóãëîãî îòâåðñòèÿ.Âáëèçè ëèíçû äèôðàêöèîííàÿ ðàñõîäèìîñòü ïó÷êà, ñ îäíîé ñòîðîíû, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (12.50), à ñ äðóãîé, êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 12.12, ðàâíàJF »r0.f(12.51)Ïðèðàâíÿâ (12.50) è (12.51), ïîëó÷èìrF »lf.r0(12.52)Ýòà îöåíêà ñîâïàäàåò ñ ïðîâåäåííûìè ðàíåå îöåíêàìè ñ èñïîëüçîâàíèåìçîííîé òåîðèè è äèôðàêöèîííîãî èíòåãðàëà Ôðåíåëÿ Êèðõãîôà.Äèôðàêöèÿ ãàóññîâà ïó÷êà. Ïóñòü â ïëîñêîñòè Oxy âîçìóùåíèåæ x2 + y2 öU å ( x, y ) = U 0 exp ç .r02 ÷øè(12.53)Ýòî âîçìóùåíèå ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïîëÿ â ãàóññîâîìïó÷êå.
Åãî ôóðüå-àìïëèòóäà2U å (k x , k y )= U 0 pr022æ -k y r02 öæ -k r 2 öexp ç x 0 ÷ exp ç.è 2 øè 2 ø÷(12.54)Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ôóðüå-àìïëèòóäà îò ãàóññîâîé ôóíêöèè òàêæåÿâëÿåòñÿ ãàóññîâîé ôóíêöèåé. Ñîãëàñíî (12.37) èíòåíñèâíîñòü â äàëüíåì ïîëåI 0 (pr02 ) 2exp éë -r02 (k x2 + k y2 )ùû .(12.55)l 2b 22p x2p yÄëÿ òî÷êè P ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z èìååì b » z , k x =.
Ïî; ky =l zl zýòîìóI (Ð ) = I (k x , k y ) =I (Ð ) = I ( x, y, z ) =æ x2 + y2 öI0exp ç - 2 2 2 ÷ ,2è r0 z z 0 øz z02(12.56)ãäå z0 = pr02/l äèôðàêöèîííàÿ äëèíà ãàóññîâà ïó÷êà. Åñòåñòâåííî, ÷òî (12.56)ñïðàâåäëèâî ïðè z ? z0.Òàêèì îáðàçîì, â äàëüíåì ïîëå ãàóññîâ ïó÷îê îñòàåòñÿ ãàóññîâûì. Åãî øèðèíà r0z = r0z /z0 (ñì. ðèñ.) âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîéäåííîìó âîëíîé141ðàññòîÿíèþ, à èíòåíñèâíîñòü íà îñè óáûâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòóýòîãî ðàññòîÿíèÿ.Êâàçèîïòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íàïðàâëåííûõ ïó÷êîâ ñâåòà ïðèìåíÿåòñÿ êâàçèîïòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. Âñëåäñòâèå ìàëîé äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè òàêèå ïó÷êè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êâàçèïëîñêèå (ïî÷òè ïëîñêèå) íåîäíîðîäíûå âîëíû.Ïóñòü âäîëü îñè Oz ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ïó÷îê ñâåòà:U ( x, y, z , t ) = A( x , y, z , t ) exp [i (wt - kz )] .(12.57)Àìïëèòóäà âîëíû â ïëîñêîñòè Oxy èçìåíÿåòñÿ íà ìàñøòàáå øèðèíû ïó÷êàr0, à âäîëü îñè Oz íà ìàñøòàáå äèôðàêöèîííîé äëèíû L0 ~ r02/l ? r0.
Ýòîïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿæ ¶ 2U ¶ 2U ¶ 2U ö¶ 2U= c2 ç 2 ++2¶t¶y 2¶z 2 ÷øè ¶x(12.58)áîëåå ïðîñòîå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû A.Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå:¶ 2U¶ 2U¶2 A¶ 2U¶2A= (i w)U ;==exp [i (wt - kz )] ;exp [i (wt - kz )] ;2222¶t¶x¶x¶y¶y 2æ ¶2 Aö¶ 2U¶A=- k 2 A ÷ exp [i (wt - kz )] .ç 2 - 2ik2èø¶z¶z¶z(12.59)Îöåíèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ:¶2A¶2AA:: 2;2¶x¶y 2r0¶AA¶2AA:: 2.;¶zL0¶z 2L0¶2 A.
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (12.59)¶z 2â (12.58) è ñîêðàùåíèÿ íà ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü ïîëó÷àåì èñêîìîåóðàâíåíèåÏîýòîìó â (12.59) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì¶A1 æ ¶2 A ¶2 A ö=+.¶z¶ y 2 ÷ø2ik èç ¶ x 2(12.60)Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû.Ïðîöåññ äèôðàêöèè, îïèñûâàåìûé ýòèì óðàâíåíèåì, èìååò íàãëÿäíóþàíàëîãèþ ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì òåïëà íà ïëîñêîñòè Oxy ñ òå÷åíèåì âðåìåíè t.Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèäæ ¶ 2T ¶ 2T ö¶T= cç 2 + 2 ÷,è ¶x¶t¶y ø(12.61)ãäå T òåìïåðàòóðà; c êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè (äèôôóçèèòåìïåðàòóðû). Åñëè â ìîìåíò t = 0 âáëèçè íà÷àëà êîîðäèíàò îñóùåñòâèòü ëîêàëüíûé íàãðåâ, ñîçäàâ ïðîôèëü òåìïåðàòóðû T (x, y, 0), òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýòîò ïðîôèëü T (x, y, t ) áóäåò ðàñïëûâàòüñÿ.142Àíàëîãè÷íî, íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå A(x, y, 0) ïðè z = 0 ïî ìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ áóäåò ðàñïëûâàòüñÿ âñëåäñòâèå äèôðàêöèè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
