Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Заметим, наконец, что вместо (64.14) можно написать и 66. Формулы Френеля !е„а,) , [ееа!1 !ееае) е,= — е;= — е,= —. а, ' а, ее (65.1) В случае полного отражения вектор ее комплексный, его геометрическая интерпретация как единичного вектора, перпендикулярного к преломленному лучу, теряет смысл. Поэтому, чтобы охватить не только обыкновенное, но н полное отражение, дальней- 1. При выводе геометрических законов отражения и преломле-' ния волн явный вид граничных условий не использовался. Для определения амплитуд отраженной и проходящей волн необходимо использовать граничные условия в яаном виде.
Разложим электрическое поле каждой волны на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости падения, другая перпендикулярна к этой плоскости. Часто эти составляющие называют главными составляющими соответствующих волн. Они обозначаются значками !! и ! соответственно. Пусть е, ее, е, — единичные векторы вдоль координатных осей, а ео е'„е, — единичные векторы, лежащие в плоскости падения и перпендикулярные соответственно к падающему„отраженному и преломленному лучам (рис. 238).
Тогда 407 ФОРМУЛЫ ФРВНВЛЯ 4 6Б) Н„"'= — п,сох(р Ж„Н„"=пЯц, Н,'"=п,з!п(р Жк. (65.3а) Для отраженной волны: Е(.') = — соз(р Я,~, Е(') =Як, Е',") = — з(п(р Вц, (65.4) Н, =п,соз(р Й„Н„=п(Нц, Н, =-п,яп(р Н,. (к) (х) (к) Для прошедшей волны: Е(ю=Рк, Е,'"'= — зш(Р Оц, Н,,~~ = п,Рц, Нх(~) = Рцпз яп )р.
(ц) Е.(~) =сох(р Рц, Н = — пзсоз(р Рк, (ц) (65.5) Для определения четырех неизвестных Нх, Вц, Рц, Рц электро- динамика дает четыре независимых граничных условия: Н( ) + Н(х) Н(ц) Н(к) + Н( ) Н(ц) (65.6) к х — х ~ у У У Подставляя в них найденные выше значения, получим соз(р(Жц — Вц)=соз(р Вц, Ж„+К, =0„ и соз(р(Ж( — Н()=п соз(() 0„, п((Жц+йц)=пхРц. шие вычисления проводятся чисто аналитически, не прибегая к чертежу, Введем разложения Ж = Ж,ец+ Жце„ Ю = В, е„+ Н((е;, (65.2) В=О,е„+Рце, и определим амплитуды ))ц, Нц, Рц, Рц. Умножая скалярно пер- вое нз уравнений (65.2) на е„находим Фц $(, Ж, = Кц (е,е ) =+(е„[е„й()) = —,([е„еу) й,) = — (е,й,) = Ж, соз(р, 1 1 1 Аналогично, Ж„= Жц, Ж, = — Жц з)п Ч).
Таким образом, х-, В-, г-составляющие электрического поля на границе раздела сред (т. е. при г = 0) будут Е(,"'=соз(р Жц, Е'„"=В), Е',"= — яп(р Жц. (65.3) При этом мы всюду опустили фазовые множители, так как в любой точке границы раздела онн одинаковы для всех трех волн: падаю- щей, отраженной и прошедшей. Магнитные свойства сред учиты- вать не будем, считая, что Н = В. Магнитное поле вычисляем по формуле (5.6) и находим 408 )гл.
ч отражение и пееломлениа светл (65.9) Отсюда )с л совф — л сов ф 0 2л сов ф гх — = — —— В„л с<вф+л ссл1р' ~ 'и л совф+л сслф ' )с ( л совф — л сов ф Рп 2л совф (65.7) л, совф+л совф ' фк л с(Вф+л сов ф Отношения )с)IЖь, 0г)бг, ... называются коэффициентами Френеля. С помощью соотношений (64.10) формулы (65.7) легко привести к виду )р в)п(ф — 1р) 0 2 сов ф яп ф в)п (ф+ ф) ' б яп (ф+ф) )2(,р ф) О, 2с<вф яп ф (65.8) = )е(ф+вр) ' ~,, яп(ф+ф)сов(ф — ф) ' Эти формулы и решают поставленную задачу. Они были впервые получены в 1821 г.
Френелем из механической теории упругого эфира с помощью весьма простых, но нестрогих и противоречивых рассуждений. Последующие попытки строгого решения задачи с помощью уравнений упругости ухудшили дело: в случае волн, поляризованных в плоскости падения, они приводили к формулам, не согласующимся с опытом.
Только электромагнитная теория света впервые дала строгое и удовлетворителыюе решение задачи. 2. При обыкновенном отражении угол вр, а с ним и все коэффипиенты Френеля вещественны. Отсюда следует, что отражение и преломление не сопровождаются изменением фаз, за исключением быть может, изменения фазы отраженной волны на !80'. Если падающая волна была линейно поляризована, то отраженная и преломленная волны будут также линейно поляризованы, При нормальном падении формулы (65.7) дают )) )1р л — л л+о В этом случае исчезает разница между волнами, поляризованными в плоскости падения и перпендикулярно к ней. Различие в знаках коэффициентов Френеля )4) )б) и ЯпЯп связано с условным выбором положительных направлений, в которых проведены векторы е, и е,': в предельном случае нормального падения эти векторы направлены прямо противоположно (рис.
238). Если и, ( п„то )Р ь)Т < 0; если и, > п.„то Я ьlб)) ) О. В первом случае отраже.ние свети сопровождается скачкообразным изменением фазы на 180'. .Во втором оно происходит без изменения фазы. При скользящем падении, когда угол ф близок к 90', Р )Р)1 8, Жв 409 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ т, е, отражение практически полное. С этим связано происхождение ярких и красивых изображений противоположных берегов в спокойных водоемах. Этим же объясняется, почему изображение заходящего солнца в тех же условиях по яркости почти не уступает самому солнцу.
.Как видно из формул (65.?) или (65.8), отношение гс! (Рг никогда не обращается в нуль, за исключением тривиального случая и, = п, Напротив, при гр+ ф = п(2 знаменатель 1е (гр + ф) обращается в бесконечность. В этом случае (с, = — О, т. е. отражение отсутствует. Таким образом, если электрический вектор падающей волны лежит в плоскости падения, то при некотором угле падения отражение света исчезает. В этом состоит закон Брюстера (1781— 1868), открытый им экспериментально в 1815 г.
Соответствующий угол падения грв называется углом Брювтвра. Для его вычисления заметим, что при гр + ф = я!2 направления прошедшего и отраженного лучей взаимно перпендикулярны (рис. 239). Следова- ! тельно, соз грв — — з1п трв = — — з(п грв, т. е. 1е !рв = п. Если нвполяризвванный свет падает под углом Брюстера, то свставляюи4ая с электрическим вектором Ез отражаться не будет.
Отраженный свет окажется линейно поляризованным и притом перпендикулярно к плоскости падения '). Отражение под углом Брюстера дает (л г простейший способ получения поляризованного света. Недостаток этого спо- к соба — малая интенсивность отражен- о ного света. Для его устранения применяют несколько стеклянных пластинок, сложенных в стопу (стопу Столетова). При большом числе пластинок отражается почти половина падающего света.
Рис. 239. Если свет падает под углом Брюстера, то отраженный свет оказывается полностью поляризованным перпендикулярно к плоскости падения. Прошедший свет поляризован в плоскости падения, но эта поляризация не совсем полная. В настоящее время стопа для получения поляризованного света почти не употребляется, так как существуют более удобные и совершенные способы (поляризаг4ионные призмы, поляроиды). г) Милюс, открывший поляризацию света при отражении, назвал плоскость падения плоскостью поляризации отраженного света.
В настоящем руководстве под ялоскооглью поляризоиии понимается плоскость, перпендикулярная к плос- коста поляризации Малюса, 410 1ГЛ. О отрлжвнив и пяаломление светл 3. Отношение отраженной энергии к энергии падающей называется коэ4зфициентом отражения. Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то формулы (65.7) дают для коэффициентов отражения главных составляющих падающей волны следующие выражения: смф — лсозф 1 / лсозф — с'лф ~ (65 11) созф+лиюф / ' ' 1, лсовф+созф =( /' =( ' ( Коэффициент отражения при нормальном падении /с называется отражательной способностью: (65. 12) Для стекла (и = 1,5) /с = 0,04 = 4'о1 для воды (п = 1,33) /Р =- 2фв. При отражении от воды длинных электромагнитных волн (и=)/з=й) /з=64о,', Эти цифры показывают, что ни вода, ни стекло при нормальном падении ие могут служить зеркалом.
Обычные зеркала используют отражение света от металлических поверхностей. Стекло служит только для защиты их задних посеребренных поверхностей. Однако наличие даже слабого отражения от гередней стороны стекла делает такие посеребренные с задней стороны зеркала непригодными для оптических целей.
Для этих целей необходимо покрывать металлом (лучше всего радием) переднюю поверхность стекла. Отношение Ь прошедшей энергии к энергии падающей называется коэфсрициентом лропусканил. Коэффициент пропускании можно также определить как отношение нормальных компонент' усредненного по времени вектора Пойнтинга прошедшей и падающей волн. На основании (65.3) и (65.3а) находим для падающей волны = з"„' соз р(1Ж !в+)Ж11!'), а для прошедшей я,'1= ~~~' сов зр(~В ~'+~0а,л). Предполагая сначала, что вектор Е перпендикулярен к плоскости падения, а затем параллелен ей, находим ловвф / 2созф ')з 1 лсовзР / 2совф созф (совф+лсовф/ ' 1' созф (лсозф+созф/ ' Нетрудно проверить, что рв + Ьв = р„+ Ьа — — 1, как и должно быть согласно закону сохранения энергии.
411 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ Коэффициент пропускания при нормальном падении 4л в=,„ (65. 14) называется поверхностной прозрачностью. Измерения отражательной способности и поверхностной прозрачности дают удобный метод измерения показателей преломления в инфракрасной части спектра. Найдем теперь коэффициент отражения для случая, когда плоскость поляризации падающей волны составляет с плоскостью падения угол а. Этот угол называется азимутом поляризации падающей волны. Очевидно, 8ь — — А соз а, Жх = А з(п а, где А — амплитуда падающей волны. Полная отраженная энергия пропорциональна р,,Ж',, + рй'-", =- А'(р„соз'а + рх з(пса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
