Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Условия (63.1) вытекают из уравнений ~ Ес(1= — — ~ Вс(Р, ! ~д 4л (63. 3) а условия (63.2) — из уравнений йп Р=О, фВ(Р=О Аналогично, ~В (Р=)))т (Р. Р Р (63.4) (см. т. 111, ~ 82). 2. Уравнения (63.1) и (63.2) не совсем независимы. Для исследования этого вопроса построим бесконечно короткий цилиндр, образующие которого перпендикулярны к границе раздела, а основания Р, и Р, лежат по разные стороны от нее (рис.
237). На основании теоремы о циркуляции вектора Н получим сг Н; (1=' ~й,(Р, е Е 1 Б ! с Г.~ Н!" х(1 = — '! Ос" с(Р,. г !с В пределе, когда высота цилиндра обратится в нуль, контуры !'., и Е, Рис. 237. сольются в общий контур ь, а основания Р, и Р, — в общую площадку Р, ограниченную контуром Е. При этом, ввиду непрерывности тангенцнальных составляющих вектора Н, контурные интегралы совпадут между собой, а потому (1)„,(Р= ~ О.'" (Р.
Р Р 40ч ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА (гл. у Отсюда, ввиду произвольности области интегрирования, Р. =М, В2=В2. (63.5) Таким образом, граничные условия (Я.б), как видно из их вывода, являются следствиями граничных условий (Я,1) и уравнений й4аксвелла для пиркуляций векторов Е и гт. В случае монохроматического поля Р = !еьР, В = !еэН, так что условия (Я.5) переходят в (63.2). Отсюда следует, что для монохроматических полей граничные условия (63.2) выполняются автоматически, если только выполняются условия (63.!), Поэтому а дальнейшем можно пользоваться только условиями (63.1), не заботясь о выполнении условий (63.2). Если условия (63.1) записать в координатной форме, то получатся четыре уравнения, так как каждый из векторов Е или гт можно разложить на две тангенциальные н одну нормальную составляющие. Таким образом, электродинамика приводит к четырем неэависимьии граничным условиям.
.В старых теориях упругого эфира число независимых граничных условий было шестьс равенство трех составляющих смещений и трех составляющих сил упругих напряжений по обе стороны границы раздела. Чтобы удовлетворить этим шести граничным условиям, вообще говоря, необходимо, чтобы кроме поперечных волн существовали также и продольные. Но опыт говорил против существования продольных волн. Возникшую трудность теория пыталась устранить, наделяя эфир такими свойствами, чтобы продольные волны в нем никогда не возникали (несжимаемый или бесконечно сжимаемый эфир).
Однако удовлетворительного решения проблемы таким путем получено не было. Электромагнитная теория не знает этой трудности, поскольку число независймых граничных условий в ней равно четырем. Им можно удовлетворить с помощью двух поперечных составляющих отраженной и двух поперечных составляющих преломленной волн. $64.
Геометрические законы отражения и преломления волн 1. Необходимость отражения и преломления света на границе раздела двух сред следует уже из граничных условий. Действительно, как будет видно из дальнейшего, граничные условия могут быть удовлетворены, вообще говоря, лишь при наличии отраженной и преломленной волн, Будем обозначать падающу1о волну значком е (еп(!а!!епбе), отраженную — значком г (ге!!ек(1ег(е), проходящую — значком с( (бпгсйде(тепйе). Пусть на плоскую неподвижную границу раздела падает плоская монохроматическая волна ЕИ! й ~КЕЕ АеЕ1 (64, 1) 4 м! гвомвтяичяскнв законы отэлжвния и пявломлвния лоз (4з соображений симметрии следует, что отраженная и прошедшая волны Е!»! !эсл (»! - л',»1 (64.2) )ле!!н! — м»! (64.3) будут также плоскими и притом той же частоты оь равенство частот следует из линейности и однородности граничных условий.
Если среды неподвижны, то коэффициенты при напряженностях полей в граничных условиях могут зависеть от координат, но не от времени. Пусть »л„и !вл — частоты отраженной и прошедшей волн. Тогда любое из граничных условий (63.1) приш мает вид А(г) е'"'+В (г) е"""+С(г) е! л' =О. Коэффициенты А (г), В (г), С (г) отличны от нуля, если только отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Следовательно, функции е, е "»', е""л линейно 'зависимы, а это возможно лишь при»в = н, = а„.
ЕСли граница движется, то А, В и С зависят ие только от г, но и от времени. Тогда имеет место изменение частоты (эффект Допплера). В этой главе всюду предполагается, что среды неподвижны. 2. Найдем теперь волновые векторы отраженной и прошедшей волн. Формулы, определяющие эти векторы, называются геометрическими законами отралсения и преломления волн.
Они определяют направления распространения отраженной и прои!едше!! волн, а в случае их неоднородности также и затухание в пространстве. Примем границу раздела сред за координатную плоскость Х)». За ось Х возьмем линию пересечения плоскости раздела сред с плоскостью падения. Ось Е направим вниз, т. е, в сторону второй среды.
Тогда ось У окажется перпендикулярной к плоскости падения и будет лежать в плоскости раздела сред. Так как по доказанному частоты падающей, отраженной и прошедшей волн одинаковы, то любое из граничных условий (63.1) примет внд Ае '(~! '» ~ Ю+Ве '(~!""+~!л")+Се '(~ "' ~»л!4 =О где А, В, С вЂ” постоянные и притом отличные от нуля, если только отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Полагая у = О, получаем линейную зависимость между функциями м!»'" -!м» !»»" е '" е !» е !' и поэтому заключаем, что й! =й! =й, .
(64.4) Аналогично, (64.5) Таким образом, тангенциальные составляющие волновых векторов отраженной и прошедшей волн равны тангенциальной составляю- игл: ч ОТРАжение и пРелОмление светА щей волнового вектора падающей волны. Остается найти нормаль- ные составляющие этих векторов. Согласно соотношению (5. 14), И г й, =й,*= — ем (64.7) где а, и е, — диэлектрические проницаемости первой и второй сред. Далее й;, = — )/й;:йг„, й„= )/ег' — й,'„, (64.8)~ (64.9) Знак минус перед корнем в формуле (64.8) взят потому, что плюс. соответствует падающей волне. Что касается анака перед корнем в (64.9), то он будет определен в дальнейшем из физических соображений.
Если падающая волна однородна, то из (64.4), (64.5) и (64.8) следует, что отраженная волна также однородна. Ее волновая нормаль лежит в плоскости падения, а угол отражения равен углу падения. Для проходящей волны надо различать два случая. П е р в ы й с л у ч а й. й', ) й',„, т. е. преломленная волна однородна. Определим, какой знак следует выбрать в этом случае перед. квадратным корнем в (64.9).
ЗнаЮг е,' ~, ку плюс соответствует волна, рас- пространяющаяся сгг границы раз= )Р дела, — направление ее распро/г, странення обозначено на рис. 238: сплошной стрелкой. Знаку минус Ег соответствует волна, идущая к гра- / нице раздела, — ее направление. / /гг обозначено пунктирной стрелкой. Эти стрелки указывают направРис. Езз. ления распространения волновых, фронтов, т. е. плоскостей равных фаз. Ясно, что отраженная и преломленная волны должны быть уходящими от границы раздела. Этим требованием обеспечивается однозначность решения задачи.
Однако требование ухода относится не к фазе, а к энергии волны. Можно показать, что в случае электромагнитных волн в изотропных средах направления распространения фазы и энергии волны совпадают. Поэтому знак минус перед корнем в (64.9) следует отбросить; условиям задачи удовлетворяет только знак плюс. Как видно из (64.4), нормали к падающей н преломленной волнам лежат в плоскости падения. Если ср — угол падения, а гр — угогз 4 м! ГеОметРические зАконы ОтРАжения и НРеломления 4% преломления, то О) ОЭ й,„= я, з)п ф = — з(п ф, й „= й, з)п ф= — „з(п ф, «1 г ЗХ $ В самом деле, тогда (64.3) принимает вид ВФ~ = гте-*и«е'(ы 41~), (64.1 2) т.
е. волна во второй среде будет затухать в направлении оси 2, чего не получилось бы, если бы в (64.11) вместо минуса взять плюс. Плоскости равных фаз волны (64.12) перпендикулярны к оси Х и распространяются вдоль нее с фазовой скоростью о„= «т/я, . Плоскости равных амплитуд параллельны границе раздела. При смещении вглубь среды на й интенсивность волны (пропорциональная квадрату амплитуды) убывает в е раз. Величина й называется глубиной проникновения волны во вторую среду. Она равна и— (64.13) Г А~1х — А( 4ну ап'ф — и' где Х, — длина волны в первой среде. Из (64.12) видно, что на больших (по сравнению с глубиной проникновения) расстояниях от границы раздела волна во второй среде практически полностью затухает.
А так как поглощения света нет, то энергия падающей волны, проникшая во вторую среду, должна снова целиком возвратиться в первую среду. Иными словами, при з1п ф ) и отражение света должно быть полным. Угол ф„определяемый соотношением яп ф = п, называется предельным углом полного отражения.
й. В случае обыкновенного отражения з(п ф = я, /йн соз ф = йм/й„ зш ф = и,„/ям соз ф = Ь„/йм (64.14) откуда на основании (64.4) (64. 10) япф о, и, г е,' В то р о й с л у ч а й. й)( й,'„, или «Р/о',( оР ейпзф/О1„ откуда з!и ф ) о,/о, = и. Здесь и — относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Так как з1п ф( 1, то рассматриваемый случай возможен только при п( 1. Составляю щая й„чисто мнимая, а.волна во второй среде, если она существует, неоднородная.
Знак корня в (64.9) определится из требования„ чтобы при удалении от границы раздела амплитуда волны затухала., Этому требованию удовлетворяет только выражение й.. = — /)/4.-й; = — —,'„. (64.11) ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЯТА [ГЛ Р В случае полного отражения не существует вещественного угла ф, удовлетворяющего соотношениям (64.14), так как они дают для з)п ф значения, превосходящие единицу, а для соз ф — мнимые значения.
Однако в целях сохранения единой формы записи при обыкновенном н полном отражениях целесообразно сохранить формулы (64.14) как простые определения з(п ф и соз ф. Поскольку эти величины удовлетворяют соотношению з!и'ф + созеф =- 1, онн могут рассматриваться как синус и косинус комплексного аргумента ф в смысле теории функций комплексного переменного: е' — е-'В е Ч+е- В созф= Если з(п ф и соз ф известны, то этими формулами аргумент ф определяется с точностью до целого кратного от 2л.
Это не может сказаться на однозначности физических выводов, так как во все формулы будет входить не сам комплексный угол ф, а его синус и косинус. К так Определенным функциям гйп ф и соз ф применимы все формальные соотношения обычной тригонометрии. Поэтому над комплексными з1п ф н соз ф можно выполнять все преобразования, как если бы они были обыкновенными синусом и косинусом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
